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MINISTERE DE L'AGRICULTURE
CENTRE TECHNIQUE DU GENIE RURAL DES EAUX ET DES FORETS
" C.T.G.R.E.F. "
L'APPLICATION DE LA METHODE DU GRADEX
A L'ESTIMATION DES CRUES DE FAIBLE FREQUENCE
Division Hydrologie juillet 1972
MINISTERE DE L'AGRICULTURE
CENTRE TECHNIQUE DU GENIE RURAL DES EAUX ET DES FORETS
" C.T.G.R.E.F. "
L'APPLICATION DE LA METHODE DU GRADEX
A L'ESTIMATION DES CRUES DE FAIBLE FREQUENCE
Division Hydrologie juillet 1972
SOMMAIRE
1 - EXPOSE DE LA METHODE
1.1 - INTRODUCTION 1
1 .2 - REPARTITION DE FREQUENCE DES PLUIES : MISE EN EVIDENCE DU GRADEX 1
1.3 - DEFICITS D ECOULEMENT ET DEBITS 2
1 .3.1 Relation entre pluies et d ébits 2
1 .3.2 - Etablissement de la fonction de répartition des debits journaliers de crue 3
1.3.3 - Débits de pointe 4
2 - LA PLUIE
2.1 - INTERVALLES DE TEMPS UTILISES POUR DEFINIR LA PLUIE 4
2.2 - ECHANTILLONNAGE DES PLUIES MAXIMALES 5
2.3 - MOYENNE PLUVIOMETRIQUE D ' UN BASSIN VERSANT 5
2.3.1 - Position du problème 5
2.3.2 Bassins de plusieurs milliers de km 5
2.3.3 - Bassinsde l'ordre de 1000 km2 6
2.3.4 - Petits bassins 6
3 - REACTION DU BASSIN VERSANT . FORMATION DES DEBITS
3.1 - CHOIX DU PAS DE TEMPS A PRENDRE EN COMPTE 6
3.2 - DEFICIT D'ECOULEMENT 7
4 - CONCLUSIONS
4.1 - COMPARAISON AVEC D'AUTRES METHODES 7
4.2 - DOMAINE D'APPLICATION 8
5 - PRATIQUE DE LA METHODE
5.1 - CONDITIONS D'APPLICATION 8
5.2 - CHOIX DU PAS DE TEMPS 8
5.3 - ESTIMATION DU RAPPORT DEBIT DE POINTE/ DEBIT MOYEN .
MODIFICATION EVENTUELLE DU PAS DE TEMPS 9
5.4 - ETUDES DES PLUIES 9
5.4.1 - Etude sur carte 9
5.4.2 Maximums mensuels, saisonniers, annuels 9
5.5 - DISTRIBUTION DES DEBITS 11
5.5.1 Débit moyen dans l'intervalle de temps de durée h 11
5.5.2 - Débits de pointe 13
5.6 - OPERATION POUVANT DONNER LIEU A TRAITEMENT AUTOMATIQUE 13
ANNEXE 1 - ESTIMATION DES PARAMETRES DE LA LOI DE GUMBEL 15
ANNEXE 2 - RECHERCHE DE LA LOI DE PROBABILITE DUN MAXIMUM 15
ANNEXE 3- EXTRAPOLATION DE LA FONCTION DE REPARTITION DES DEBITS 16
BIBLIOGRAPHIE 19
1 - EXPOSE DE LA METHODE
1.1 - INTRODUCTION
La méthode du Gradex, mise au point à la Division Technique Générale d'EdF, a pour objet l'estimation des crues de faible fréquence à partir des pluies. Une des idées de base est que, d'une façon générale, l'information pluviométrique est plus abondante que l'information hydrométrique, tant par le nombre des stations d'observation que par la longueur des séries de données disponibles, en conséquence de quoi il parait beaucoup moins risqué de s'appuyer sur des données pluviométriques que sur des données hydrométriques
pour estimer les crues de fréquence rare.A l'origine, la méthode a été employée à partir de données moyennes journalières de pluies et de débits, et appliquée à des bassins relativement imperméables de l'ordre du millier de km2. Nous nous en tiendrons à ces hypothèses pour l'exposé de la méthode. Le problème de son application dans d'autres conditions sera examiné dans les paragraphes suivants.
La présente note résulte de discussions menées au CERAFER à partir des documents [2] établis par les auteurs de la méthode, MM.GUILLOT et DUBAND, de divers compléments théoriques, et des applications de la méthode par le Service Central Hydrologique du Ministère de l'Equipement et l'ancienne Division des Travaux d'Hydraulique du CERAFER.
1 .2 - REPARTITION DE FREQUENCE DES PLUIES : MISE EN EVIDENCE DU GRADEX Les auteurs indiquent que d'après leurs propres études en France métropolitaine, et d'autres études menées aux Etats-Unis, en Australie, en Afrique du Sud, en Israël, on peut admettre que la loi de probabi¬
lité des valeurs extrêmes de pluies journalières présente asymptotiquement un caractère exponentiel pour les
fortes valeurs.*
Plus précisément, en considérant la plus forte hauteur pluviométrique journalière p d'une période calendaire quelconque de l'année, cette variable aléatoire a une fonction de répartition qui tend pour les fortes valeurs de p, vers la forme :
F(p) = 1 - exp(-u) (l)
avec : u = (p - p0) / a (2)
Po et a étant des constantes positives.
Exprimons par ailleurs le développement en série de l'expression
F ' (p) = exp [ - exp (- u) ] (3)
qui est celle de la loi de probabilité de GUMBEL ; nous obtenons :
F ' (p) = 1 - exp (- u) + Ai [ exp (- u) ]2 - ....
et, lorsque p et u tendent vers l'infini, l'on a : F ' (P) * F (p)
Ainsi la loi de GUMBEL et la loi exponentielle sont asymptotiques l'une à l'autre lorsque la variable p croft.
Sur un "papier à graduation de GUMBEL", gradué en abscisses selon la variable u avec report des valeurs F = exp [ exp (u)] , F ' (p) est représentée par une demi droite, et F (p) est asymptotique à cette demi droite (fig. 1).
* Cette hypothèse est contestée par certains hydrologues pour les climats des régions proches de l'équateur, en particulier dans les régions susceptibles d'être affectées par les cyclones tropicaux.
L'expression (2) s'écrit plus couram¬
ment sous la forme :
p = a u + b (4)
qui est tout simplement l'équation de la demi droite F '(p).
Il apparaît que les valeurs de pluie de fréquence rare sont essentiellement sous la dépendance du paramètre a, gradient des valeurs extrêmes, ou gra¬
dient de l'exponentielle, ou "gradex".
i
0,1
-1
0,5 0,9 0,99 0,999
Ce paramètre varie en fonction de la
saison et dans l'espace. Pour une pério- Fig. 1
de calendaire donnée , la variation spa¬
tiale est régulière, ce qui permet une
cartographie en "lignes isogradex" et des interpolations comme avec n'importe quel autre paramètre climatique.
L'estimation du gradex est explicitée au § 5.
1.3 - DEFICITS D'ECOULEMENT ET DEBITS 1.3.1 - RELATION ENTRE PLUIES ET DEBITS
Debits /
/
I S Debits
/ _|l C-de probab.ljte
/ | ./ conditionnelle 0.95
/ v
Fig. 2
Considérons des chroniques de débits moyens journaliers et de pluies moyen¬
nes journalières concomitantes et rela¬
tives à un bassin remplissant les condi¬
tions explicitées au § 1.1. On peut facilement faire le rapprochement des pluies p précédemment définies et des débits moyens journaliers exception¬
nels q correspondants.
Reportons sur un graphique les couples (p,q) ainsi définis, en exprimant les débits par leurs hauteurs d'eau équiva¬
lentes en 24 h.
Les observations se situent évidem¬
ment toutes en dessous de la bissectri¬
ce q= p, sauf exception éventuelle due à une fonte de neige venant s'ajouter à la pluie, ce qui de toute façon consti¬
tue un appoint faible en valeur relative et notamment pour les plus fortes
crues.
Pour les différents couples pluie-débit, nous avons donc généralement des déficits d'écoulement A, qui tendent évidemment à croître avec l'importance de la pluie.
Sur la fig.. 2, la loi de probabilité conditionnelle des déficits A par rapport aux pluies p, et par voie de conséquence la loi de probabilité conditionnelle des débits q par rapport à p, sont matérialisées par des courbes donnant la variation des quantiles en fonction de p.
Le problème est évidemment de savoir ce que deviennent ces lois pour des couples pluies- débits situés hors du domaine des valeurs observées (p > p0 , q > q.)-
L'hypothèse de base de la méthode du gradex est que pour p > p0, on peut poser que le supplément de pluie p - p0 s'écoule entièrement, ce qui donnera une extimation par excès des crues excep¬
tionnelles.
Dans ces conditions, au-delà de p0, les déficits A n'augmentent plus, et les courbes "isoqüanti- liques" de la fig. 2, doivent être extrapolées sous forme de demi droites de pente égale à 1 .
1.3.2 - ETABLISSEMENT DE LA FONCTION DE REPARTITION DES DEBITS JOURNALIERS DE CRUE
Connaissant la fonction de répartition des pluies F (p) et la loi de probabilité conditionnelle des débits g (q) , il est théoriquement possible d'en déduire la fonction de répartition des débits par la
relation :
G(q)
/ /*p = <
Jo=0 Jp=0 gp(q).dF(p).dQ
Les auteurs de la méthode ont d'ailleurs procédé à des intégrations numériques pour obtenir de cette façon la fonction de répartition des débits. Cependant, il faut bien voir que l'on dispose rarement en pratique de données en quantité suffisante pour établir valablement le graphique de distribution de fréquence à deux dimensions de la fig. 2.
Par contre, les hypothèses de la méthode conduisent à un résultat fondamental facilement exploitable : on démontre (annexe 3) que, compte tenu de la forme asymptotiquement exponentielle de F (p) et de la distribution homoscédastique de g (q) pour p > p0 , la courbe représentative de G (q) se déduit de la courbe représentative de F (p) pour p > p0 par simple translation suivant l'axe des variables.
Les fig. 3 et 4 représentent ce résultat respectivement sur un graphique classique et sur le papier à probabilité de GUMBEL.
en mm de hauteur d eau
PoAo
p,q en mm de
hauteur d eau F, G
Fig. 3 Fig. 4
Contrairement à ce que peut laisser croire l'intuition, le parallélisme des courbes isoquantiliques de la fig. 2 n'entraîne pas a priori le parallélisme des courbes représentatives de F (p) et G (q) sur la fig.4.
Cette propriété est liée au caractère asymptotiquement exponentiel de F (p) qui constitue donc une condition nécessaire à l'application de la méthode ; cette remarque originale est explicitée dans l'annexe 3.
Le résultat obtenu suggère la méthode suivante pour l'estimation des débits de différentes fréquences. Sur la fig. 4, on porte la courbe représentative de F (p), et la répartition de fréquence empirique des débits de crues q. A partir de la plus forte valeur q0 observée, on prolonge G (q) parallèlement à F (p).
Cette façon de procéder soulève une critique importante sur le plan statistique : la plus forte valeur q0 de l'échantillon des observations de crues est soumise à une forte variation d'échantillonnage. En contrepartie, le choix du point de départ influe peu sur l'estimation des débits de crue de fréquence rare, qui dépend avant tout du gradex des pluies. Dans ces conditions, il faut adopter une attitude moins systématique et l'on trouvera à ce sujet des indications complémentaires au § 5.
1.3.3 - DEBITS DE POINTE
Ayant défini la fonction de répartition des débits journaliers maximaux annuels, il convient de passer aux débits instantanés de pointe. D'après l'étude [2] , il semblerait que le rapport R = (débit de pointe / débit moyen journalier maximal) ne soit pas corrélé avec les débits, ce qui autoriserait à poser que la distribution de probabilité des débits de pointe se déduit de celle des débits journaliers par simple affinité effectuée avec la moyenne empirique de R estimée sur un grand nombre de crues.
Une étude plus poussée de la question [5] , faisant intervenir la loi de probabilité de la crue journalière et celle de R, a montré que cette façon de procéder reste une approximation, même lorsque l'indépendance entre R et q est vérifiée.
Après avoir examiné les principes de la méthode, il convient maintenant de préciser un certain nombre de détails de mise en oeuvre et de difficultés apparaissant à ce niveau.
2 - LA PLUIE
2.1 - INTERVALLES DE TEMPS UTILISES POUR DEFINIR LA PLUIE
A propos des pluies de 24 h ou de n'importe quelle autre durée, une question fondamentale consiste à savoir comment le découpage des intervalles de temps a été effectué.
En effet, si on s'intéresse par exemple à la pluie maximale de 24 h sur une certaine période, on peut concevoir d'adopter soit la plus grande des hauteurs pluviométriques relevées dans des intervalles de temps fixes, par exemple entre 7 h et 7 h, soit la hauteur tombée dans un intervalle de 24 h choisi de telle façon que l'on obtienne la plus grande valeur possible (intervalles de temps d'origine variable). Il est bien évident qu'avec la première méthode le hasard peut conduire à couper en deux des averses exceptionnelles, et que la deuxième méthode donne ainsi des résultats plus élevés. En France, pour les pluies de 24 h, les résultats corres¬
pondant à la même fréquence sont dans un rapport variant de 1,10 à 1,15 [4]. Le rapport tend d'ailleurs vers 1 lorsqu'on prend un intervalle de temps de plus en plus petit. Toujours est-il qu'il importe de savoir dans tous les cas comment ont été établies les données que l'on utilise.
Pour ce qui est des pluies de 24 h ou relatives à des intervalles de temps multiples de 24 h, les relevés disponibles dans l'immense majorité des cas résultent de mesures effectuées avec des pluviomètres et correspondent donc à des intervalles de temps fixes.
De façon habituelle les valeurs publiées ou cartographiées pour le gradex des pluies relèvent d'observations de ce type pour une durée de 24 h. La question se pose de savoir comment les choses se passent pour d'autres intervalles de temps.
Tout d'abord, il semble admis que lorsque les pluies de 24 h sont asymptotiquement exponen¬
tielles, il en va de même des pluies relatives à des intervalles de temps différents, pour lesquels on peut donc également définir un gradex.
Quelques études basées sur des enregistrements pluviographiques semblent montrer que l'inverse du gradex des pluies varie linéairement avec l'intervalle de temps considéré.
D'autres études envisagent le passage des intensités des pluies de 24 h aux intensités des pluies de durée différente par référence à la "loi" de MONTANA, dont la forme est : *
it = ii . t":-m
* Cette "loi" s'exprime aussi sous la forme : h= a.tn :, où h est la hauteur de pluie pour un épisode de durée t ;les paramètres n et m sont liés par la relation m= 1 - n et ne doivent pas être confondus.
dans laquelle it est l'intensité de la pluie de t * jours, it l'intensité de la pluie journalière de même fréquence, et m le paramètre de la "loi". Dans l'hypothèse où cette dernière façon de procéder s'avérerait valable de façon générale, le paramètre m et le gradex de 24 h suffiraient à définir les pluies de fréquence rare en un point.
Des études systématiques seraient nécessaires pour obtenir, à partir des enregistrements pluvio- graphiques existants, des résultats de portée générale, au sujet de la liaison entre pluies extrêmes de durées différentes, de façon à pouvoir estimer en n'importe quel point dépourvu d'enregistrements pluviographiques le gradex d'un intervalle de temps quelconque à partir du gradex de 24 h, lequel peut être facilement estimé sur l'ensemble du territoire grâce aux relevés pluviométriques journaliers.
2.2 - ECHANTILLONNAGE DES PLUIES MAXIMALES
De façon courante, le gradex est estimé à partir des pluies maximales mensuelles dont les distributions sont ensuite combinées pour obtenir le résultat annuel (cf. § 5). Le mois constitue ainsi le plus petit intervalle de référence dont on extrait le maximum. On pourrait concevoir de prendre un intervalle de référence plus petit, par exemple la décade, de façon à augmenter l'effectif de l'échantillon utilisé pour estimer le gradex. En contrepartie on risque d'obtenir ainsi des observations statistiquement dépendantes, ce qui d'une part biaise l'estimation de la variance de l'échantillon, et d'autre part n'autorise plus théoriquement à utiliser la relation (5) (§ 542.1) pour la composition des fonctions de répartition.
Il serait du plus grand intérêt d'étudier de façon empirique sur quelques stations jusqu'à quel intervalle de référence on peut descendre sans biaiser l'estimation du gradex, tout en gardant la possibilité d'ajuster l'échantillon obtenu à une loi de probabilité connue et asymptotiquement exponentielle (loi de GUMBEL, loi T OU de PEARSON III).
2.3 - MOYENNE PLUVIOMETRIQUE D'UN BASSIN VERSANT 2.3.1 - POSITION DU PROBLEME
D'après [2] le caractère asymptotiquement exponentiel de la pluie ponctuelle se retrouve dans la lame d'eau moyenne précipitée sur une surface.
En fait, ceci n'est nullement évident, comme le montre le raisonnement suivant. Sur le plan théori¬
que, on cherche quelle peut être la forme asymptotique d'une moyenne pondérée de plusieurs variables aléatoires asymptotiquement exponentielles. Deux cas extrêmes conduisent à une conclusion simple. D'une part, si les varia¬
bles sont reliées de manière fonctionnelle et linéaire, la moyenne conserve évidemment le caractère exponentiel.
D'autre part, si les variables sont indépendantes, quand leur nombre augmente la loi de la moyenne tend vers
une loi normale.
Bien entendu, ce raisonnement reste schématique mais a l'avantage d'attirer l'attention sur le fait que l'approximation exponentielle n'est pas obligatoirement satisfaisante a priori.
2.3.2 - BASSINS DE PLUSIEURS MILLIERS DE KM2
Si l'on admet l'approximation exponentielle pour un bassin de l'ordre de 1 000 km2 en climat tempéré, compte tenu de l'extension des phénomènes pluvieux exceptionnels, il n'est pas évident que cette approximation s'applique encore à des bassins de plusieurs milliers de km2 susceptibles de subir des phénomènes météorologiques hétérogènes.
La méthode du gradex a été appliquée au bassin de la Loire à Villerest [2], qui a une superficie de 6 520 km2 et est soumis à la fois à des influences océaniques et méditerranéennes.
Les auteurs envisagent d'ailleurs de décomposer éventuellement les bassins importants en sous- bassins auxquels ils appliqueraient indépendamment la méthode du gradex, et dont ils recomposeraient ensuite les résultats.
t pouvant être inférieur ou supérieur à 1.
En fait, la répartition spatiale des phénomènes pluvieux sur de grandes surfaces constitue a priori un problème difficile, qui ne peut que se compliquer si on envisage des phénomènes exceptionnels au sujet desquels les observations risquent d'être trop rares pour permettre un traitement statistique.
2.3.3 - BASSINS DE L'ORDRE DE 1 000 km2
Pour un bassin que l'on estime justiciable de la méthode, on étudiera la distribution statistique des lames pluviales estimées à partir des diverses stations du bassin, lorsqu'elles existent. Pour chaque saison on obtiendra ainsi une valeur de gradex des pluies moyennes.
L'expérience [2] montre que sur une surface assez petite pour que les coefficients de corrélation entre stations soient suffisamment élevés (de l'ordre de 0,7 et plus), le gradex de la moyenne est à peu près
égal à la moyenne des gradex aux différentes stations. Cette observation permet éventuellement d'utiliser une carte isogradex, sans refaire le calcul du gradex de la lame d'eau moyenne, pour l'estimation des crues
exceptionnelles sur un bassin.
2.3.4 - PETITS BASSINS
Pour de petites surfaces, le plus souvent, il y aura lieu de se référer à un seul poste pluviométrique, situé ou non dans le bassin versant. La question se pose alors de savoir quel coefficient d'abattement il convient d'appliquer à une pluie ponctuelle pour obtenir la pluie moyenne de même fréquence, mais ce problème n'est
évidemment pas spécifique de la méthode du gradex.
3 - REACTION DU BASSIN VERSANT. FORMATION DES DEBITS 3.1 - CHOIX DU PAS DE TEMPS A PRENDRE EN COMPTE
Comme nous l'avons vu au § 2.1, le gradex des pluies varie avec le pas de temps considéré.
La question se pose donc de savoir quel est le pas de temps adapté à un bassin versant donné ; nous verrons par la suite qu'il s'agit là d'un point particulièrement délicat dans l'application de la méthode.
Supposons pour le raisonnement que nous adoptions la formule des intervalles de temps d'origine
variable (voir § 2.1), moins arbitraire que l'autre sur le plan physique. Nous aurons ainsi le maximum pluvio¬
métrique et le maximum d'écoulement qui se sont manifestés dans un intervalle de temps de longueur h (fig. 5).
Pour respecter l'hypothèse fonda¬
mentale de la méthode du gradex en ce qui concerne les débits, il faudrait qu'au delà de certaines va¬
leurs de la pluie, tout supplément de pluie dp de l'intervalle de temps h1 donne lieu à un supplément d'écoulement égal dq dans l'inter¬
valle de temps h2.
En fait, il est impossible de trouver un pas de temps satisfaisant rigou¬
reusement cette condition : le sup¬
plément de pluie qui tombe pen¬
dant une durée h engendre un sup¬
plément d'écoulement qui s'étale dans un intervalle de temps de l'ordre de h + t.c, t.c. étant le temps de concentration du bassin.
Pluies
Debits
Fig. 5
Pour diminuer l'erreur introduite par l'adoption d'un pas de temps égal entre pluies et débits,
il y a intérêt à prendre un grand pas de temps. En contrepartie, plus le pas de temps est important, plus le rapport R = (débit maximum instantané / débit moyen) est aléatoire, et par conséquent moins le débit
instantané est estimé avec précision.
En pratique, plusieurs utilisateurs de la méthode adoptent une valeur de l'ordre de t.c. On
cerne de cette façon dans l'intervalle h2 (fig. 5) une très grosse proportion de dq. Par contre, les auteurs de la méthode adoptent un temps plus court, légèrement supérieur au temps de montée pour diminuer la dis¬
persion de R.
Une solution rationnelle consiste à essayer deux valeurs de h. L'étude des crues de la Vézère
à Montignac [6], menée à partir des pluies de 24 h et 48 h, a donné des résultats à peu près identiques dans
les deux hyptohèses pour la crue millennale. Dans un cas où il n'y aurait pas coincidence des résultats, il serait sans doute justifié d'adopter la plus grande des deux valeurs de crue .Il importe de voir que de toute façon l'erreur introduite en affectant à l'intervalle de temps h2 un écoulement qui s'étale sur un plus grand laps de temps introduit une erreur par excès dans l'estimation des
risques de crue.
3.2 - DEFICIT D'ECOULEMENT
Notons d'abord que là où nous employons le terme de "déficit d'écoulement", les auteurs de la méthode utilisent parfois l'expression de "rétention du bassin versant". Ce dernier terme est trop restrictif, car la différence entre pluies et débits, telle qu'elle ressort de la méthode du gradex, est une combinaison statistique complexe des facteurs suivants :
rétention par le sol et le sous-sol ; évapotranspiration ;
report d'une partie de l'écoulement hors de l'intervalle de temps utilisé ; pour les fortes intensités, vitesse d'infiltration du sol ;
éventuellement fusion nivale, qui joue en sens contraire des facteurs précédents.
On peut penser que pour d'assez grands bassins versants, et pour les bassins perméables, la rétention au sens strict et le report d'écoulement jouent le rôle essentiel. Pour un petit bassin versant peu perméa¬
ble, le phénomène est plus complexe car les fortes intensités prises en compte risquent de dépasser la vitesse
d'infiltration du sol.
Quoi qu'il en soit, il parait actuellement difficile de se baser sur des considérations physiques pour estimer le déficit d'écoulement résultant des plus fortes pluies. La méthode consistant à extrapoler la fonction de répartition des débits, parallèlement à celle des pluies, à partir des plus fortes valeurs observées, a le mérite essentiel de fournir une estimation presque certainement par excès.
La question qui se pose pour définir le domaine d'application de la méthode est de déterminer les cas où la surestimation est admissible. Il semble assez généralement admis que pour des bassins soumis à un climat homogène et relativement imperméables, l'utilisation de la méthode est justifiée. En contrepartie, un désacord subsiste sur son application aux bassins très perméables, pour lesquels la saturation de la capacité de rétention correspond peut-être à une probabilité extrêmement faible sans commune mesure avec la durée des observations disponibles pour tracer le début de la courbe de fréquence cumulée des débits. Nous avons vu aussi ce qu'il en est des bassins de grande superficie soumis à des conditions climatiques hétérogènes (§ 2.3.2).
Par ailleurs, l'application de la méthode aux très petits bassins se heurtera généralement au fait que l'on ne dispose pas de l'information nécessaire, comprenant à la fois des enregistrements pluviographiques et des enregistrements hydrométriques d'une durée suffisante. Sur le plan hydrométrique, la méthode du gradex est plus exigeante que les méthodes apparentées à l'hydrogramme unitaire.
4 - CONCLUSIONS
4.1. - COMPARAISON AVEC D'AUTRES METHODES
La méthode du gradex, qui repose sur une extrapolation statistique, présente de ce fait une certaine parenté avec les méthodes d'extrapolation classiques à partir des seules observations de débit. Notons qu'elle donne pour les crues de fréquence rare un résultat supérieur à celui que propose la loi de GUMBEL ajustée aux débits, et inférieur à celui que propose la loi de FRECHET. Elle présente vis-à-vis des lois ajustées aux seuls
débits l'avantage de s'appuyer sur l'information pluviométrique, beaucoup plus importante que l'information hydrométrique en termes de stations-années, et dont on connaît beaucoup mieux le comportement asymptotique.
Il est certain que sur le plan physique cette méthode est simplifiée par rapport à celles qui dérivent de l'hydrogramme unitaire ; le développement de ces dernières pourrait permettre de préciser certains points de la méthode du gradex, notamment la crédibilité de l'indépendance entre R et débits de crue et le choix du pas de temps qui constitue d'ailleurs un point particulièrement délicat dans l'application de la méthode.
En contrepartie de son caractère plus approximatif sur le plan physique, la méthode du gradex présente vis-à-vis des méthodes analytiques l'avantage de la rapidité de mise en oeuvre, tout en proposant des résultats auxquels a priori il n'y a pas de raison d'accorder un moindre degré de confiance, d'où son intérêt actuel pour l'ingénieur, même si à long terme l'avantage devait revenir à des procédés plus raffinés basés sur des modèles spatio-temporels de pluies et des modèles physiques d'écoulement de plus en plus précis.
4.2 - DOMAINE D'APPLICATION
En attendant que des études complémentaires permettent de préciser sa validité éventuelle pour d'autres domaines d'application, la méthode du gradex est bien adaptée à la prévision des crues de fréquence rare en climat tempéré homogène, pour des bassins versants relativement imperméables.
Cependant sa mise en oeuvre exige des précautions et ne peut être simplement considérée comme l'application d'une recette valable en toutes circonstances ; les chapitres 2 et 3 ont été élaborés dans cette
intention.
5 - PRATIQUE DE LA METHODE
Après l'exposé théorique des éléments de la méthode du gradex et des problèmes relatifs à son utilisation, il parait utile de définir les différentes étapes de sa mise en oeuvre pratique.
5.1 - CONDITIONS D'APPLICATION
Dans un cas concret il s'agit évidemment de voir d'abord si les conditions d'applications sont respectées.
En premier heu il est nécessaire que la distribution des valeurs pluviométriques extrêmes ait un caractère asymptotiquement exponentiel. Cette condition peut sans doute être considérée comme acquise
en climat tempéré, mais devra être vérifiée en cas d'application éventuelle à d'autres climats (cf. § 1.2).
Ensuite, il semble prudent d'écarter du champ d'application de la méthode les bassins recouvrant des domaines climatiques hétérogènes et les bassins très perméables (cf. § 23.2 et 3.2).
Enfin, il faut disposer d'une série d'observations hydrométriques qui ne doit pas être très
inférieure à 10 ans.
5.2 - CHOIX DU PAS DE TEMPS
L'observation de quelques hydrogrammes permet d'estimer l'ordre de grandeur du temps de montée et du temps de concentration du bassin concerné. Ces éléments servent de base pour le choix du ou des pas de temps à retenir. Comme cela apparaît au § 3.1, ce choix est assez délicat. Il semble néanmoins qu'on puisse dans un premier temps adopter un (ou deux) pas de temps de l'ordre de grandeur du temps de concentration. De toute façon, l'imprécision d'un tel choix fait que l'on retiendra toujours des valeurs
arrondies.
S'il apparaît nécessaire de travailler avec un pas de temps inférieur à 24 h, il faut disposer d'une dizaine d'années d'enregistrements limnigraphiques à la station considérée, et d'une dizaine d'années d'enregis¬
trements pluviographiques à proximité. Ces conditions pourront évidemment obliger parfois à renoncer à la
méthode.
S'il y a lieu de se baser sur des données provenant de pluviomètres (permettant parfois de
descendre à un pas de temps de 12 h), ce qui conduit par définition à des intervalles de temps d'origine fixe,
il faut adopter ces mêmes conventions pour les débits (cf. § 2.1).Dans le cas d'enregistrements pluviographiques, il est préférable d'adopter des intervalles de temps d'origine variable pour pluies et débits.
5.3 - ESTIMATION DU RAPPORT DEBIT DE POINTE / DEBIT MOYEN. MODIFICATION EVEN¬
TUELLE DU PAS DE TEMPS
Le pas de temps et la convention d'origine des intervalles de temps étant choisis, on calcule le rapport (R = débit de pointe/débit moyen de l'intervalle de temps) pour les hydrogrammes de crues d'une certaine importance. L'examen des valeurs R obtenues permettra de vérifier si elles ne sont pas trop dispersées et si l'hypothèse d'indépendance entre R et débits n'est pas invraisemblable (cf. § 1.3.3).
Si les valeurs de R ne sont pas trop dispersées, c'est-à-dire en moyenne nettement inférieures à 2, on adopte pour coefficient de passage des débits moyens aux débits de pointe la moyenne R des valeurs
R observées.
Si la dispersion des valeurs R est très forte, il est possible soit de remplacer le pas de temps initialement chosi par un pas de temps plus court (§ 3.1), soit de tenir compte de la dispersion statistique de R, ce qui nécessite le recours au calcul automatique (§ 5.6).
5.4 - ETUDES DES PLUIES
5.4.1 - ETUDE SUR CARTE
Si par chance on pense pouvoir travailler avec un pas de temps de 24 h dans une région déjà explorée en ce qui concerne la cartographie en courbes isogradex, le gradex de la lame d'eau moyenne peut être pris égal à la moyenne des gradex du bassin, du moins en climat océanique où la validité de cette approximation
a été vérifiée (cf. § 2.3.3).
5.4.2 - MAXIMUMS MENSUELS, SAISONNIERS, ANNUELS 5.4.2.1 - METHODE DE BASE
En dehors du cas où il est possible de se référer ainsi à une carte, il est nécessaire, en principe, pour chaque mois de l'année, de calculer la plus grande lame d'eau moyenne observée, en respectant le pas de temps
et la convention de découpage précédemment fixés.
L'expérience semble montrer que pour les données de France métropolitaine, les distributions relatives à chaque mois s'ajustent à une loi de GUMBEL. Il y a lieu dans ce cas d'estimer les paramètres de cette loi, soit graphiquement, soit par les méthodes statistiques. On se référera pour cela à [1 ] , [3] , ou à l'annexe 1 du
présent document.
A partir des fonctions de répartition des pluies maximales mensuelles Fj F12, on obtient la fonction de répartition de la pluie maximale de l'année par la relation :
F (p) = F! (p) X F2 (p) X F12 (p) (5)
La démonstration de ce résultat classique figure à l'annexe 2.
Avec le papier à probabilité de GUMBEL, la courbe représentative de F (p) peut s'obtenir en multipliant, pour chaque valeur de p, les valeurs de F. (p), F2 (p), F. (p) lues sur le graphique.
En analysant les demi-droites représentatives de différents mois, on verra que des "saisons"
de plusieurs mois successifs peuvent être considérées comme homogènes, c'est-à-dire qu'on assimile les fonctions de répartition des différents mois à une fonction unique. Pour une saison de n mois pendant lesquels le maximum
mensuel a pour fonction de répartition F '(p), l'expression (5) devient :
F(p) = F'(p)nce qui donne, en utilisant la relation u = Log (- Log F),
u = u ' - Log n.
Frequences
19990
VI LLENEUVE D AMONT
PLUIES DE 2 JOURS
+ ETE -HIVER
120 135 150
Hauteurs d'eau
Fig. 6
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Sur le papier de GUMBEL, une simple translation de Log n permet donc de passer de la dis¬
tribution du maximum mensuel à la distribution du maximum saisonnier (cf. fig. 6).
Pour la recherche des saisons homogènes, il y a lieu de comparer les écarts-types des distributions mensuelles. En effet, si ces distributions sont gümbeliennes, les écarts-types sont proportionnels au gradex (cf.
annexe 1). Le regroupement saisonnier se fera "au jugé" entre des mois présentant aes écarts-types voisins de façon à obtenir des saisons formées d'observations relativement homogènes. Il y a un optimum à trouver entre un trop faible nombre de saisons qui risquent de se voir composées d'observations assez hétérogènes, et un nombre trop élevé conduisant à des échantillons saisonniers réduits. La décision est affaire de cas d'espèce mais il semble dépourvu d'intérêt de retenir plus de 3 ou 4 saisons.
Enfin les fonctions de répartition saisonnières sont multipliées entre elles pour obtenir la fonction de répartition du maximum annuel (fig. 6), qui n'est plus elle-même rigoureusement exponentielle dans le domaine usuel d'extrapolation.
La multiplication ainsi effectuée entre des expressions du type 1 exp ( u) fait ressortir l'influ¬
ence prépondérante d'une des saisons, celle qui donne le plus fort gradex saisonnier, vers lequel tend le gradex annuel pour les valeurs de pluies croissantes.
Inversement, la période d'étiage peut avoir une influence négligeable sur le résultat annuel.
5.4.2.2 - VARIANTES
Compte tenu des constatations précédentes, il y a le plus grand intérêt à se référer le cas échéant à des applications effectuées dans le voisinage du bassin concerné, de façon à éliminer dès le départ les mois dont l'influence s'avère négligeable dans l'estimation du gradex. Cette même référence à des études antérieures pourra permettre également de choisir sans tâtonnements un découpage saisonnier d'observations.
Dans un autre ordre d'idées, lorsqu'il s'agit de travailler avec des durées d'observations courtes, il peut être intéressant d'augmenter les échantillons destinés à l'estimation du gradex. Une méthode qui a donné de bons résultats, dans certains cas, pour les pluies de 24 h, malgré les objections théoriques qu'elle soulève (cf. § 2.2), consiste à estimer leur loi de probabilité sur un échantillon constitué par les pluies journalières, pratiquement indépendantes entre elles, observées les 5, 10, 15, 20, 25 et 30 de chaque mois. Une translation de Log 30 le long de l'axe u permet de passer de cette distribution des pluies journalières à la distribution de la plus grande pluie journalière du mois.
5.5 - DISTRIBUTION DES DEBITS
5.5.1 - DEBIT MOYEN DANS L'INTERVALLE DE TEMPS DE DUREE h
La méthode d'estimation des crues de fréquence rare consiste â extrapoler la distribution de fréquence des débits maximums annuels parallèlement à la distribution de fréquence des pluies (cf. § 1.3.2).
En théorie cette opération n'est justifiée qu'avec une distribution de pluie assimilable à une distribution exponentielle dans la zone d'extrapolation, cette condition n'étant pas forcément respectée rigou¬
reusement par la distribution des maximums annuels obtenue par multiplication de distributions saisonnières (cf. § 5.4.2.1).
En pratique, on considère que la réalité est proche de l'hypothèse théorique, en vertu de quoi la courbe de répartition de fréquences des débits est extrapolée parallèlement à la courbe de répartition de fréquences des pluies, même si cette dernière n'est pas tout à fait assimilable à une demi-droite.
Il faut évidemment que les pluies et les débits soient exprimés dans les mêmes unités, soit en mm de hauteur d'eau (cf. fig. 4), soit en m3 /s (cf. fig. 7). Avec un intervalle de temps de h heures et un bassin versant de S km2, le passage du gradex des pluies en mm au gradex des débits en m3 /s est donné par la formule :
Gadex débits = (S / 3,6 h ) . gradex pluies
3 1
m /s km heures mm
n
160 180
Debits en m/s
Fig. 7
12
Le point à partir duquel il y a lieu d'effectuer l'extrapolation ne peut être déterminé de façon objective, mais influe relativement peu sur le résultat en ce qui concerne les crues de fréquence rare. Puisqu'un choix doit néanmoins être fait, on peut suggérer quelques solutions, laissées dans chaque cas particulier à l'appréciation de l'utilisateur :
ajustement des débits maximaux annuels observés à une loi théorique, avec extrapolation suivant le gradex à partir du point de fréquence 0,9 sur la courbe représentative de cette loi (cf. fig. 7) ;
même ajustement avec extrapolation à partir du point correspondant à la fréquence de la plus grande observation ;
extrapolation à partir d'un point où la distribution de fréquence des débits semble adopter une pente à peu près égale au gradex.
5.5.2 - DEBITS DE POINTE
Le débit de pointe correspondant à une fréquence déterminée s'obtient en multipliant par R le débit moyen de l'intervalle de temps h correspondant à la même fréquence (cf. § 5.3 & fig. 7), ce qui permet en définitive d'aboutir à un débit de pointe de fréquence quelconque.
5.6 - OPERATION POUVANT DONNER LIEU A TRAITEMENT AUTOMATIQUE
Dans l'état actuel des programmes disponibles au CTGREF , il est possible d'obtenir par calcul automatique :
ajustement d'un échantillon à diverses lois de probabilité, dont la loi de GUMBEL, avec report graphique des observations et tracé des courbes d'ajustement (programme "GGPF") ;
pour un petit bassin, et à condition de disposer de relevés simultanés à plusieurs postes de ce bassin, coeffi¬
cient d'abattement permettant de passer de la distribution des pluies ponctuelles à la distribution des lames d'eau moyennes du bassin (programme "ABAT") ;
prise en compte de la variabilité des observations de R pour l'estimation des débits de pointe de crue.
Il est probable que dans un délai rapproché des programmes seront disponibles, soit au Bureau d'Etudes Techniques du Service de l'Hydraulique, soit au CTGREF , pour le dépouillement des pluviogrammes et hydrogrammes en vue d'en extraire les valeurs extrêmes.
13
ANNEXE 1
ESTIMATION DES PARAMETRES DE LA LOI DE GÜMBEL
Il est possible d'estimer les paramètres de la loi de GÜMBEL par la méthode des moments et par
la méthode du maximum de vraisemblance.
Cette dernière façon de procéder donne des expressions assez complexes, et présente en outre l'inconvénient d'attribuer dans l'estimation une influence importante aux erreurs pouvant affecter éventuellement des valeurs relativement faibles de l'échantillon. Cette observation présente la plus grande importance lorsque l'échantillon ne s'ajuste pas très bien à la loi théorique pour les plus faibles valeurs, qui nous intéressent le
moins ici.
En définitive, nous ne proposons donc ici que les estimations obtenues par la méthode des
moments.
Soit ¡i la moyenne de l'échantillon de n valeurs p, et â2 l'estimation sans biais de la variance
théorique, c'est-à-dire :
2 _ S(P-£ï2 = Sgl _ (S p)2
a - n-1 n-1 n (n-1)
Les paramètres a et b de la formule (4) s'obtiennent par les équations suivantes :
a = 0,780 . o
b = m - - 0,577 . a
ANNEXE 2
RECHERCHE DE LA LOI DE PROBABILITE D'UN MAXIMUM
Soient Ft , F2 F¿ les fonctions de répartition respectives de variables, Pi , P2 Pi- Nous cherchons la loi de probabilité de P, maximum des valeurs Pt , P2 P¡ . La variable aléatoire P prend
des valeurs p .
L'événement P < p est équivalent aux événements simultanés P! < p , P2 < p P¡ < P- Dans ces conditions, si P! , P2 Pi peuvent être considérées comme mutuellement indépen¬
dantes, nous en déduisons :
Prob[P<p]= Prob [Pi <p] X Prob [P2 < p] X X Prob [P¡<p]
autrement dit :
F (P) = Fj (p) X F2 (p) X Fi (p)
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ANNEXE 3
EXTRAPOLATION DE LA FONCTION DE REPARTITION DES DEBITS
Soient p les pluies, q les débits, A les déficits d'écoulement.
Le plan (p , q) se divise en deux domaines : Di , défini par p <p0 et q <q0 (fig. 2), à l'intérieur
duquel on peut estimer les différentes lois de probabilité à partir des observations, et D2 , domaine des extra¬
polations.
Soient f (p) , g (q) , h (A) , les densités de probabilités respectives de p, q, A, et r (p , A) la densité de probabilité bidimensionnelle de p et A.
La relation q = p - A peut se traduire par la relation suivante en terme de lois de probabilité :
g(q)s| r(q+A,A)dA
Joou encore, en appelant h a (A) la densité de probabilité conditionnelle de A connaissant q + A :
/
g(q)=J f(q + A).hq + A(A)dA
Dans le domaine de D2 , la méthode du gradex implique l'hypothèse que la distribution de A est identique à elle-même quelle que soit la valeur de la pluie, ce que nous traduisons en remplaçant h & (A)
= hp(A)parh(A):
-l
g(q)=| f (q + A).h{A)dA (6)
Jo
Admettons que dans le domaine D2 la fonction F soit assimilable à son asymptote exponentielle, ce que nous écrirons :
F (q + A) ~ 1 - exp j- [(q + A - k)/a] j avec K constante positive, d'où la densité de probabilité : f (q + A) ~ (1/a) . exp j - [(q + A - k)/a] j
ou bien : f (q + A) ~ f (q) . exp j - A/a j
ce qui nous donne pour g (q) : g (q) ~ f (q) . j exp I - A/a J . : h (A) d A
Dans cette expression, l'intégrale est définie et égale à une constante e (0,1) que nous posons
égale à exp Aq /a ! , d'où le résultat :
g(q) = f(q+Ao) (7)
Dans ces conditions, dans le domaine D2 la densité de probabilité g se déduit de f par translation d'une constante Aq sur l'axe des variables. Il en va de même des courbes représentatives des fonctions de répartition G et F.
L'écart A- établi empiriquement à partir des observations à la limite des domaines Dt et D2 , entre F et G, est donc reportable dans tout le domaine D2 .
Le résultat obtenu est conditionné par le caractère asymptotiquement exponentiel de F, et non pas uniquement par l'hypothèse selon laquelle la loi de probabilité des déficits d'écoulement reste identique à elle-même pour les fortes valeurs de pluie. Pour s'en convaincre, il suffit de répondre à la question suivante :
"quelle doit être la forme des lois f et g pour que l'on puisse trouver une constante Ao telle que l'identité (7) soit satisfaite ? " .
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(6) et (7) conduisent à la relation :
f(q+A0) = f(q +A).h(A).dA
Posons Q = q + A0 ; l'expression devient :
f(Q) = ) f (Q +A- A0).h (A).dA
qui peut s'écrire également :
[f (Q + A - A0) / f (Q)] . h (A) . dA = 1
r
/ola possibilité de cette identité par rapport à Q implique que le rapport :
f (Q + A - A0) / f(Q)
soit une constante par rapport à Q.
Les seules fonctions continues qui présentent cette propriété sont les fonctions exponentielles de la forme A exp (BQ) , avec A et B constantes.
Par conséquent f est de cette forme, ainsi que g du fait de (7).
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BIBLIOGRAPHIE
[l ] - BERNIER (J) & VERON (R) - "Sur quelques difficultés rencontrées dans l'estimation d'un débit de crue de probabilité donnée" - Revue de Statistique Appliquée.
Vol. XII, n'1, 1964.
[2] - GUILLOT (P) & DUBAND (D) - "La méthode du gradex pour le calcul de la probabilité des crues à partir des pluies". Question 1, rapport 7, Xe journée de l'Hydraulique
1968.
[3] - HLAVEK (R) - "Exemples de lois statistiques utilisées en hydrologie" - Formation
continue, ENGREF et Division Hydrologie du CERAFER - 1970.
[4] - PANETIER (J.M) & MEUNIER (M) - "Courbes intensités, durées, fréquences en France"
Division des Travaux d'Hydraulique du CERAFER, n° 3, janvier 1972.
[5] - PUECH - "Note sur le coefficient de passage du débit maximum journalier au débit maximum instantané". Division des Travaux d'Hydraulique du CERAFER. 1972
[6] - Vézère à Montignac - "Estimation des crues de fréquence rare par la méthode du gradex". Centre régional de prévision de Brive, Division Technique Générale dTîdF.
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