3. Compléments
a) Fonctions composées
Les fonctions de la forme = ln ( ) on pour ensemble de définition les réels pour lesquels ( ) > 0
Par exemple ( ) = ln( − 3) + ln ( + 2) est définie sur ]3 ; +∞]
Leur dérivée est b) Suites géométriques
Soit ( ) la suite géométrique de premier terme 3 et de raison 1,7. On a pour tout ∶ =× 1,7 , et tend vers +∞.
On veut savoir à partir de quel terme dépassera 1000000000
On a : 5 × 1,7 > 1000000000 équivaut à 1,7 > , et maintenant on prend le logarithme : × ln(1,7) > ln et > ( ) ( )
( , )
On trouve > 36,9838 donc la première valeur est 40
Cette méthode convient aussi pour une raison comprise entre 0 et 1, sauf que cette fois la suite tend vers 0, on a des inéquations de la forme 7 × 0,3 < 10 , équivalente à ln(7) + × ln(0,3) < ln (10 ) donc × ln(0,3) < ln(10 ) − ln (7)
Ici il y a un piège : 0,3 < 1 donc ln (0,3) est négatif, en divisant il va falloir changer l’inégalité de sens. On obtient >
, . Comme
, vaut à peu près 9,266, la plus petit valeur est 10.
c) Fonctions puissance
On a pour tout entier naturel ∶ ln( ) = × ln ( ) donc × ( )= Cela permet de définir pour tout réel ∶ = × ( )
En particulier : = ( ) = = et plus généralement = On a aussi = = (√ ) = √
Plus généralement = √ , c’est le nombre qui, élevé à l’exposant , vaut Par exemple 64 = 4 car 4 = 64
On a ainsi deux sortes de fonctions puissance : les fonctions et les fonctions d) Les fonctions
= × ( ) donc ce n’est défini que si > 0, mais pour tout réel Leur courbe ressemble à celle de l'exponentielle :
pour 0 < < 1 pour > 1
La dérivée de est (ln )
e) Les fonctions
Si n’est pas un entier, = × donc elles sont définies pour > 0 La dérivée de est
Le modèle de courbe est pour > 1, √ pour 0 < < 1, pour < 0 On a d’ailleurs √ = et =
On peut se servir de cette forme pour calculer rapidement des dérivées, par exemple √ = , , sa dérivée est donc 1,5 , = 1,5√
Ou bien = , sa dérivée est −5 = f) Le logarithme décimal
Le logarithme décimal (noté log) répond à la question « Quel exposant de 10 est égal à un nombre donné ? »
Autrement dit 10 = équivaut à = log ( ) Donc par exemple log 1000 = 3
Le log a les mêmes propriétés algébriques que ln, donc log( ) = log + log , log = log − log , log( ) = × log ( ), log 1 = 0
Il est surtout utilisé par les physiciens On a pour tout > 0 ∶ log =
