Sulle precessioni semiregolari ad asse non verticale del solido pesante

R ^ENDICONTI

del

S ^EMINARIO M ^ATEMATICO

della

U NIVERSITÀ DI P ^ADOVA

R. B ^ALLI A. C. G RIOLI

Sulle precessioni semiregolari ad asse non verticale del solido pesante

Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, tome 68 (1982), p. 71-78

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precessioni semiregolari

ad

asse non

verticale del solido pesante.

R. BALLI - A. C. GRIOLI

(*)

1. Il

problema

^della

possibilità

dinamica di

precessioni

^non rego- lari ad asse verticale del solido

pesante

^{fissato senza} attrito per ^{un suo}

punto 0,

è stato risolto

[1]

riconoscendo che le uniche

precessioni

^di

questo tipo (oltre

^a

^{quelle degeneri}

^{nelle rotazioni non} uniformi di Mlodzeevskii

[2])

^sono

quelle

determinate da G. Grioli

[3].

^{Si tratta di}

moti di

precessione semiregolare

^con velocità di

precessione

^costante

e velocità di rotazione

propria

variabile nel

tempo (11 ^specie [4])

^e

costituiscono una classe di moti alla Hess.

Nella

presente

^nota ci si propone di esaminare la

possibilità

^dina-

mica,

per il solido

pesante,

di moti di

precessione semiregolare

^{di II}

specie

^{senza fare}

ipotesi

restrittive sull’asse di

precessione.

Si riconosce che moti di

questo tipo

^sono dinamicamente

possibili

solo se l’asse di

precessione

^è

verticale;

^si

può quindi

concludere che le classi di moto sopra citate esauriscono la classe delle

precessioni

^semi-

regolari

^{di II}

specie

per il solido

pesante.

^Eventuali

precessioni

^ad

asse non

verticale,

y che non siano

quelle regolari

determinate in

[5],

vanno

quindi

^{ricercate tra le}

precessioni semiregolari

^{di I}

specie,

y o

nella classe

più ampia

^delle

precessioni

^non

regolari.

2. Si fissi in tutta

generalità

^un riferimento

T(0, i3)

^{in cui}

i,

sia

parallelo

^{all’asse di}

figura

^e

rispetto

^al

quale 1’omografia

^d’inerzia

(*)

^Indirizzo

degli

AA.: R. BALLI: Istituto Matematico dell’Università -

Perugia ;

^{A. C. GRIOLI: Istituto} di Analisi e Meccanica dell’Università - Pa- dova.

72

del solido assuma la forma ridotta:

I moti di

precessione semiregolare

^{di II}

specie

^sono caratterizzati dalla

seguente

forma della velocità

angolare:

con v velocità di

precessione costante, p

velocità di rotazione

propria

variabile nel

tempo,

y direzione dell’asse di

precessione

invariabile nello

spazio.

^Le

equazioni

^che

regolano

^{il moto sono le}

seguenti:

in cui si è indicata con .M~ la massa totale del

solido,

^{con G il suo bari-}

centro,

^con g l’accelerazione di

gravità

^{e con c il versore} della verticale.

Tenendo conto di

(2.1)

^e

(2.2),

^le

(2.3), (2.4)

^e

(2.5)

^e

gli integrali primi

che il sistema

ammette,

^{danno il}

seguente

sistema differenziale:

e il sistema di

equazioni:

Si è usata la notazione

Le

(2.13), ... , (2.19)

costituiscono un sistema Z di sette relazioni in termini finiti nelle sei variabili di moto

y1(t), Y2(t), cl(t), 1 ’01,(t)

e

rappresentano

^nello

spazio proiettivo .Rg ( ~u, y1, y2 ,

^cui,

^z)

^altret-

tante

ipersuperficie algebriche.

^La

possibilità

dinamica di un moto di

precessione semiregolare

^{di II}

specie implica

l’esistenza di almeno una curva reale

propria

^comune alle dette

ipersuperficie.

^{Il sistema i}

delle dette

equazioni

^deve

dunque

definire in 1~6 delle varietà

algebriche

V’k

di dimensione ad almeno una delle cui

parti

^reali

proprie

ap-

74

parterrà

^{la curva. Le varietà}

Trk

^hanno intersezioni con

ogni iper- piano

di R6 e in

particolare

^con

l’iperpiano improprio

^L’interse-

zione della varietà

Vk

^{con detto}

iperpiano

^è

rappresentata

^dal

sistema :

Nell’eventualità che non sia verificata nessuna delle condizioni strut- turali o di moto:

che saranno esaminate in

seguito,

si riconosce che è costituita dalle

seguenti

^{varietà :}

È agevole

verificare che

V~

^{è una}

componente

^di

pk

interamente con-

tenuta

nell’iperpiano improprio

^{neo e non} è traccia di una

Y2

^avente

parti

^reali

proprie.

^{Con un} calcolo diretto si riconosce infatti che l’in- tersezione delle varietà

tangenti

^alle

ipersuperficie

^del sistema E in

un

generico punto

^{di ha} dimensione

1,

^e

quindi

^{la varietà}

tangente

a

V~ (essendo

contenuta in detta

intersezione)

^{ha al}

più

dimensione 1.

L’eventuale varietà definita dal sistema E con

parte

^reale

propria

^non

costituita da un numero finito di

punti

^è

dunque

^al

più

di dimensione 1

avendo come traccia su %00 la

V~. Questa Vi

^non

potendo

^{essere intera-}

mente contenuta nel

sottospazio

^di R6 y1 =

0,

y2 =

0,

^deve

proiet-

tarsi nel

sottospazio R2(yl,

y2,

z)

sulla circonferenza di

equazione Yi ~ Y2 = 1 - Ys ~

La curva

proiezione

in I~2 deve

quindi

passare per i

punti

^ciclici

J

e J

di 1-~2. Poichè i

punti

^J

e J appartengono

^{alla retta}

impropria

di .I~2 essi devono essere

proiezioni

^di

punti impropri

^della

~1

^e

quindi

dei

punti V~.

^{Dal momento che}

Vò appartiene

^al

supporto

^della pro-

iezione,

la condizione

precedente

si verifica solo se ~T e

J appartengono

all’elemento

proiettante

che contiene la varietà

tangente

^{a 27 in uno}

dei

punti Vó . Questo però

^{non è}

possibile perchè,

^come si dimostra

con un calcolo

diretto,

y detti

punti

^non

appartengono

all’intersezione delle varietà

tangenti

^alle

ipersuperficie

del sistema ~. Ci si riconduce

quindi

^{al solo esame dei casi}

i)

^ed

ii).

In

questo

^{caso la} intersezione di

V k

^con neo è costituita oltre che da

V~ (nelle

^cui

equazioni

^{si sia}

posto

^{A’ =}

0 )

anche dalla

che contiene

V~.

Come nel caso

generale

si riconosce che i

punti Vò

^{non sono traccia}

di ^una

Y1

^non

appartenente

^all’R4:

yl = 0

y2 = 0.

Analogamente

^a

quanto

^fatto per la

V

^{nel caso}

precedente,

si riconosce che

Wí

^{è una}

componente

^di

Yk

interamente contenuta

nell’iperpiano

neo, in

quanto

anche l’intersezione delle varietà

tangenti

^alle

ipersuperficie

^{del si-}

stema Z nel

punto

^di

Wl

di coordinate

(vB’/C, 1, i, 1, i, 0, 0)

^{ha dimen-}

sione 1 a meno che non sia

~~ == ~2 =

^0.

Sotto

questa

ulteriore condizione

W1

^{ha varietà}

tangente

^{che non}

appartiene

^a neo ^e

quindi

^se è traccia di una

V2

^{ne è traccia con mol-}

teplicità

^{1. La}

V2

^ha

quindi

^una intersezione

pari

^{al suo ordine con lo}

spazio

^{.1~4 di}

equazioni z

⁼

0,

^{0 e}

quindi appartiene

^ad

uno

degli spazi

lineari che hanno R4 _per

supporto.

^In conclusione deve

76

appartenere

^{ad uno}

spazio

^di

equazione:

La

(2.15)

nelle condizioni in esame assume la forma

semplificata

con E ⁼

Ov2y:

^-

Bv2(1- y3 )

^-

Eo .

Stante la

(3.1)

^da

questa equazione

si riconosce che è

Ca ⁼ costante .

Si è cos riconosciuto che se sono verificate le condizioni:

le uniche

precessioni possibili

^{sono ad asse verticale e sono}

quindi quelle

determinate in

[3].

4.

CASO ii)

Si

può

^{assumere in tutta}

generalità ~1=

^0.

Le

equazioni (2.13), (2.14), (2.15)

^e

(2.16)

^{assumono la forma}

semplificata

Da

(4.3)

^e

(4.4)

^si

ottengono:

Eliminando da

(4.1), (4.2)

^e

(2.18)

yi ^e y2 ^e utilizzando

(4.5)

^e

(4.6),

si ottiene un

polinomio

^del

quarto

^ordine

in p

^{che deve essere verifi-}

cato al variare

di p

⁼

,u(t) ;

^devono

quindi

^essere identicamente nulli i suoi coefficienti. Poichè il coefficiente di

p4

^è

C4V2(1

^-

y2)

^{il suo}

annullarsi

implica:

e

quindi precessioni degeneri

in rotazioni.

BIBLIOGRAFIA

[1]

^R. BALLI, Precessioni ad asse verticale del solido pesante, Rend. Sem. Mat.

Padova, 55 (1976).

[2]

^{E. LEIMANIS, The}

general problem of

^{the motion}

of coupled rigid

^bodies

about a

fixed point, Springer

^{tracts in Natural}

Philosophy,

⁷ (1965).

[3] ^G. GRIOLI, ^Forma intrinseca delle

equazioni

dinamiche del solido

pesante

asimmetrico con un punto

fisso

^e ricerca dei moti di

precessione,

^{Atti Univ.}

Ferrara, ^sez. 7, ³ (1954).

[4] ^{E .} PUCCI, ^{Esistenza e} determinazione delle

precessioni semiregolari

^{ad asse}

verticale di ^un corpo

rigido

^{in un} campo di

forze

newtoniano, ^{Rend. Sem.}

Mat. Padova, ⁵⁴ (1975).

78

[5]

^{G. GRIOLI, Esistenza e} determinazione delle

precessioni regolari

^dinamica-

mente

possibili

per ^un solido pesante asimmetrico, ^{Annali di} Matematica, serie IV, ²⁶ (1947).

Manoscritto

pervenuto

in redazione il 26

Aprile

^1982.