Chapitre 6 Combinaison

5. FONCTION LOGARITHME | 108

Chapitre 6 Combinaison

Introduction I. Objectifs

Nous nous donnons pour premier but d’apprendre à organiser des données pour les dénombrer en utilisant deux « règles » simples mais fondamentales :

- Le principe de la somme, - Le principe du produit.

Leur exploitation sera conduite dans deux directions : . une utilisation directe en tant qu’outils de dénombrement

. un instrument puissant permettant de dégager quelques résultats combinatoires de base (liste, arrangements, permutations, combinaisons) qui deviennent rapidement indispensables dans les problèmes de dénombrement.

Car le mot « dénombrer » a une signification un peu plus fine en Mathématiques que ne le laissent entendre les explications sommaires des dictionnaires

« dénombrer : faire le compte de » : on ne s’étonnera donc pas d’apprendre dans ce chapitre que ce n’est pas aussi simple que cela.

II. Connaissances mises en jeu Ensembles

Langage de base : inclusion, appartenance, partie, union, intersection, complémentaire.

Récurrence

Le principe de récurrence sera mis en œuvre dans certains exercices (mais non dans la partie cours).

Leçon 27 Dénombrement

I. Principes de dénombrements 1. Principe de la somme

Règle 1

Si A₁, A₂,,Ap constituent une partition d’un ensemble fini E, alors : ( )E n⁽A1⁾ n⁽A2⁾ n⁽Ap⁾

n = + ++ .

Corollaire

Si A et B deux parties d’un ensemble fini E.

▪ Si A et B sont disjoints, n(AB)=n(A)+n(B).

▪ Dans tous les cas, ⁿ(^A^B)=^n(A)+^n(B)−^n(A^B)

5. FONCTION LOGARITHME | 109

▪ ⁿ

( )

Exemple : Soit A un ensemble de 7 éléments et Bun ensembles de 3 éléments.

Quel est le cardinal de l’ensemble AB tel que le cardinal de A et de B est égal à 3 ?

Solution

D’après le problème, on a : ( )A =7

n , n( )B =5, n(AB)=3. On cherche n(AB) Donc n(AB)=n(A)+n(B)−n(AB)

(AB)=⁷+⁵−³=⁹ n

1) Diagramme de Venn-Euler

Exemple : Dans une enquête de 500 personnes qui boivent du café, on trouve que : 150 personnes préfèrent ajouter du lait, 300 personnes préfèrent ajouter du sucre et 100 personnes préfèrent ajouter du lait et du sucre.

a. Combien y a-t-il de personnes qui préfèrent ajouter du lait ou du sucre ? b. Combien y a-t-il de personnes qui n’ajoutent rien ?

Solution On suppose :

. U : ensemble des personnes étudiées

. A : ensemble des personnes qui préfèrent ajouter du lait . B : ensemble des personnes qui préfèrent ajouter du sucre D’après le prblème, on a :

( )U =500, n( )A =150, n( )B =300, n(AB)=100 n

a. ⁿ(^A^B)=^n(A)+^n(B)−^n(A^B)

(AB)=¹⁵⁰+³⁰⁰−¹⁰⁰=³⁵⁰ n

Il y a 350 personnes qui préfèrent ajouter du lait ou du sucre.

b. n(AB)'=n(U)−n(AB)

(AB)'=500−350=150 n

U A B

150

200 50 100

5. FONCTION LOGARITHME | 110

Il y a 150 personnes qui n’ajoutent rien.

2) Un arbre de choix

Exemple 1 : La figure ci-dessous représente trois villes A, B et C ainsi que les routes les reliant.

On peut aller de A à C en passant par B en 6 façons :

Route :11 Route :12 Route :13 Route : 21 Route : 22 Route : 23

De A à B 1 1 1 2 2 2

De B à C 1 2 3 1 2 3

Exemple 2 : Une pièce de monnaie est lancée 3 fois de suite. On note à chaque fois le côté exposé : P pour « PILE » et F pour « FACE ».

On obtient 8 possibilités.

2. Principe du produit Règle 2

B C A

23 22 21 13 12

1

11

2 3 1 2 3

2 1

PPP P

P

P

P

P

P

P F

F F

F F F

F

PFP PFF FPP FPF FFP FFF PPF

5. FONCTION LOGARITHME | 111

Si une situation comporte p étapes offrant respectivement n₁,n₂,,n_p

possibilités où chacun des nombres n_i ne dépend que de l’étape i, alors le nombre total d’issues est : n₁n₂ n_p.

Corollaire

Le cardinal du produit cartésien d’ensembles finis est calculé par :

(

)

( )

n ₁ ₂ = ₁  ₂  .

Exemple : Sans répétition, combien de nombres entiers pairs de trois chiffres peut-on former à l’aide des cinq chiffres : 2, 3, 5, 6 et 7 ?

Solution

Les trois étapes :

. choix du premier chiffre de « 3, 5, 7, 2 ou 6 » : nous avons 4 possibilités . choix du deuxième chiffre « 4−1=3 » nous avons 3 possibilités

. choix du troisième chiffre pair « 2 ou 6 » nous avons 2 Il est possible de former 432=24nombres.

II. Liste d’un ensemble fini 1) p−listes ( p entier ; p1)

Définition

Une p−listes d’éléments d’un ensemble E est une liste ordonnée de p éléments de E (non nécessairement distincts).

C’est un élément du produit cartésien E^p=EEE (p termes) Théorème

Le nombre de p−listes d’un ensemble à n éléments est n^p. Exemple : Soit ^E=^{A,B,C,D,E,F,G}

Nous pouvons former :

▪ Des mots de 3 lettres comme AGE,FEE,BAC,GAG, mais aussi

...

, , DDF

BBB appelés « 3−listes de E». Il y a 7³ mots.

▪ Des mots de 3 lettres distincts comme BAC,FAC,EDF,... appelés

« arrangements de 3 lettres de E». Il y a 765 mots.

2) Arrangements Définition

Soit E un ensemble fini de n éléments et p un entier tel que 1 pn. Un arrangement de p éléments de E est une p−listes d’éléments de E deux à deux distincts.

Théorème

5. FONCTION LOGARITHME | 112

Le nombre d’arrangements de p éléments d’un ensemble à n éléments est le nombre noté A_n^p, défini par :

(

)(

) (

)

=n n n n p

A_n^p  (p facteurs)

3) Permutations Définition

On appelle permutation d’un ensemble E de n éléments, un arrangement des n éléments de E.

Exemple : Voici les six permutations de l’ensemble E=





(

) (

) (

) (

) (

) (

)

Théorème

Le nombre de permutation d’un ensemble à n éléments (n1) est le nombre noté n! (lire « factorielle n »), défini par :

(

)(

)

!=n n− n−  

n .

On convient que : . 0!=1

. 1!=1

. (n+1) (!= n+1) ( ) n!

. A_n^p =n (n−1)(n−2) ( n− p+1)

. ( )!

! p n A_n^p n

= −

Exemple : Une famille de 5 personnes : père, mère et trois enfants.

Dans chaque cas, combien y a-t-il de façons possibles peut-on répartir pour prendre des photos ?

a. Aucune condition

b. Père et mère sont à l’extrémité

c. Père et mère sont à côté l’un de l’autre Solution

a. 5!=54321=120 façons

b. Père et mère sont à l’extrémité : 2!=2

Trois enfants entre père et mère : 3!=321=6

On obtient donc 26=12 façons

c. Père et mère sont à côté l’un de lautre : nommer père et mère en une seule personne (en les collant), il n’y a plus qu’à répartir 4 personnes :

24 1 2 3 4

!

4 =    = ,

et à faire attention que compte tenu « père et mère à côté », il y a 2 façons de les coller : père-mère ou mère-père : 2!=2

5. FONCTION LOGARITHME | 113

On obtient donc 242=48 façons Corollaire

Si une situation comporte p étapes offrant respectivement : . n₁ de même propriété,

. n₂ de même propriété, 

. n_p de même propriété tels que : n₁+n₂+ +n_p =n est le nombre noté

!

( )!

k n

P n

n k

= − défini par :

, ,... , 1 2

1 2

!

! ! ... !

n n nk n

k

P n

n n n

=

Exemple : Dénombrer les anagrammes du mot Mathematics (mots de 11 lettres formés avec les mêmes lettres et pouvant être sans significations).

Solution

On utilise la formule : ^{1 2, ,... ,}

1 2

!

! ! ... !

n n nk n

k

P n

n n n

=

On a : 2,2,2,1,1,1,1,1 11

11! 4989600

2!2!2!1!1!1!1!1!

P = = mots.

4) Autour d’une table ronde

Voici trois façons de la répartition de 3 points A, B et C autour d’une table ronde :

On constate que les trois façons ci-dessus sont la même.

Théorème

Le nombre de permutation d’un ensemble à n éléments (n¹) autour d’une table ronde est le nombre noté (n−1)!

Exemple : Pour chaque cas, combien de façons différentes peut-on répartir 5

A

B C

A B

C C B

A

B A

C C B

A

B A

C C B

A

5. FONCTION LOGARITHME | 114

couples des parents autour d’une table ronde de 10 chaises sachant que dans lesquels il y a une personne importante.

a. La personne importante s’asseoit où on désigne b. Homme et femme sont à côté l’un de l’autre c. Chaque couple est toujours à côté l’un de l’autre Solution

a. Lorsque la personne importante s’asseoit où on désigne, il reste 9 places.

On obtient donc 9!=987654321 façons.

b. Les hommes s’asseoient en laissant la place à côté pour 5 femmes : (5−1)!=4!

5 femmes s’asseoient : 5!

On obtient donc 4!5! façons.

c. Chaque couple est toujours à côté l’un de l’autre : (5−1)!=4!

Chaque couple est à côté l’un de l’autre : 2!

On obtient donc : 4!2!2!2!2!2! façons.

III. Combinaisons 1. Définition

Soit E un ensemble fini de n éléments et p un entier vérifiant 0 pn, on appelle combinaison de p éléments de E toute partie de E ayant p éléments.

Notation

Le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble à n éléments est noté : C^pn ou C(n, p) ou _



 



 p n . Nous avons :

1. C⁰_n=1 : une seule partie à zéro élément : la partie vide, 2. Cⁿ_n=1 : E est la seule partie à n éléments,

3. C_n¹=n : E ayant n éléments, il y a n parties ayant 1 élément, 4. C_n^p =C_n^n−p : le fait d’associer à chaque partie A de E la partie

complémentaire A rend visible qu’il y a autant de parties de E ayant p

éléments que de parties ayant n−p éléments (si A à p éléments, A en a alors n− p).

5. C_n^p =C_n^k  p+k =n

6. C_n^p−1+C_n^p =C_n^p₊₁ p+k =n

Exemple :

a. ₈³ 8! 8! ₈⁵ ₈^{8 3}

3!5! 5!3!

C = = =C =C ⁻

5. FONCTION LOGARITHME | 115 b. C₉⁴ =C₉⁵  + =4 5 9

9! 9!

4!5!=5!4!

c. ¹_{7 7}² 7! 7 6

7 7 7 21 28;

2!5! 2

C C 

+ = + = + = + =

2 8

8! 8 7 2!6! 2 28 C = =  =

1 2 2

7 7 8 28

C +C =C =

2. Une formule pour le calcul des C^p_n

Théorème

Pour n et p entiers tels que 0 pn, on a :

( ) ( ) ( )

( 1)... 2 1 1 ...

1

!

!

!

! −  

+

−

= −

= −

= p p

p n n

n p n p

n p

C A

p p n n

Exemple 1 : Une boîte contient 12 ampoules électriques. Dans lesquelles il y 3 ampules sont éteintes.

De combien de manières peut-on tirer 3 ampoules au hasard sans remise ? a. Aucune ampoule éteinte.

b. Deux ampoules éteintes.

Solution

a. Il y a 9 lampes non marchées :

3 9

9! 9! 9 8 7

3!(9 3)! 3!6! 3 2 84

C = = =   =

−  manières

b. Tirage d’une lampe bien marchée : 9¹

9! 9

C =1!8!= manières Tirage de 2 lampes non marchées : ₃^{2 3!} 3

C = 2!1!= manières On obtient donc : C₉¹C₃² =  =9 3 27 manières.

5. FONCTION LOGARITHME | 116

Exercices

1. Un élève a passé ses vacances. Pendant ses vacances, il constate que :

. 22 jours, il pleut le matin ou l’après-midi. Si il pleut le matin alors il ne pleut pas.

. 16 jours, il ne pleut pas le matin ;

. 14 jours alors il ne pleut pas l’après-midi.

a. En pendant combien de jours cet élève a passé ses vacances ? b. En combien de jours où il ne pleut pas ?

2. Pour les besoins d’une enquête portant sur les sports préférés dans un lycée, 52 élèves ont été interrogés ; les résultats furent les suivants :

. 29 élèves préfèrent le football ; . 18 élèves préfèrent le basketball ;

. 15 élèves préfèrent le football et le basketball.

a. Combien d’élèves préfèrent le football ou le basketball ?

b. Combien d’élèves préfèrent à la fois le football et le basketball ? c. Combien d’élèves préfèrent le football mais ne préfèrent

pas le basketball ?

3. Pour les besoins d’une enquête portant sur les disciplines enseignées dans une école, 122 élèves ont été interrogés ; les résultats furent les suivants :

. 63 étudiants choisissent la finance;

. 54 choisissent les mathématiques ; . 70 choisissent l’anglais ;

. 27 choisissent la finance et l’anglais ;

. 30 choisissent les mathématiques et l’anglais ; . 20 choisissent les trois matières ;

. 16 ne choisissent que les mathématiques

Combien d’étudiants ne choisissent que la finance ?

4. Une personne a 3 chemises marqués a a a₁, ₂, ₃ et 2 pantalons marqués ^{b b1, 2}. À l’aide d’un arbre, calculer le nombre de cas que cette personne peut porter ses vêtements ?

5. Sans répétition, combien de nombres de trois chiffres non inférieurs à 400 peut-on former à l’aide des six chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?

6. 1) Sans répétition, combien de nombres de quatre chiffres peut-on former à l’aide des cinq chiffres 0, 4, 6, 7, 8 ?

2) Combien de ces nombres sont : a. supérieurs à 7000 ?

b. pairs ?

5. FONCTION LOGARITHME | 117

c. divisibles par 5 et inférieurs à 7000 ?

7. De combien de façons différentes peut-on aligner 6 hommes et 6 femmes sachant que :

a. aucune condition ?

b. homme et femme sont à côté l’un de l’autre c. homme et femme sont à côté deux à deux

8. De combien de façons différentes peut-on répartir 4 hommes et 4 femmes autour d’une table ronde ?

a. aucune condition

b. trois personnes sincères sont toujours à côté l’un de l’autre

9. Combien d’équipes de 4 élèves peut-on former avec 9 garçons et 3 filles de la classe ?

a. aucune condition

b. chaque équipe contenant au moins une fille c. chaque équipe contenant une fille

10. Combien y a-t-il de classements des septs livres dans une étagère avec 3 livres de mathématiques, 2 livres de physique et 2 autres livres ?

11. À l’écrit d’un examen on doit traiter 6 exercices au choix parmi 8 sachant que le premier exercice est obligatoire.

Combien y a-t-il de choix possibles ?

12. Un lycée veut 5 gardiens : deux pour le bâtiment 1, deux pour le bâtiment 2 et un pour le bâtiment 3.

Dénombrer tous les choix possibles sachant qu’il y a 5 candidats.

13. Une association choisit 2 hommes pour former le bureau et 3 personnes pour la cuisine. Dénombrer tous les choix possibles sachant que 4 candidats sont les hommes et 5 candidats sont les femmes.

14. Une boîte contient 4 stylos, 2 crayons et 3 craies. On tire 3 objets par hasard.

Combien de tirages contiennent au moins une craie ?