Réponses aux exercices du chapitre 6

Réponses aux exercices du chapitre 6

Numéro 6. Un polynôme p(x) de degré 2 est tel que p(0) = 1, p(1) = 7 et p(2) = 17. a) Calculerp⁰(1) exactement sans calculer p(x).

b) Pouvez-vous faire de même pour calculer p⁰⁰(x), où x est arbitraire ?

c) Déterminer p(x) par la méthode de votre choix et comparer sa dérivée en x = 1 avec la valeur trouvée en a).

Solution

a) Les formules à 3 points d'interpolation sont exactes pour les polynômes de degré 2. On peut donc les utiliser pour obtenirp⁰(1). Pour ce calcul, on utilise la formule suivante :

f⁰(x) = f(x+h)−f(x−h) 2h

Enx= 1 et avec h= 1, on a : p⁰(1) = p(2)−p(0)

2 = 8

b) On ne peut évaluer p⁰⁰(x) exactement que si x ∈ {0, 1, 2}, car ce sont les points d'interpolation de f (À moins de calculer explicitement p(x)).

c) On a que x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, f(x₀) = 1,f(x₁) = 7 et f(x₂) = 17.

Par la méthode de Lagrange on a que p₂(x) =f(x₀)L₀(x) +f(x₁)L₁(x) +f(x₂)L₂(x) et donc :

L₀(x) = (x−x₁)(x−x₂)

(x₀−x₁)(x₀−x₂) = (x−1)(x−2)

(0−1)(0−2) = x²−3x+ 2 2 L₁(x) = (x−x₀)(x−x₂)

(x1−x0)(x1−x2) = (x−0)(x−2)

(1−0)(1−2) = x²−2x

−1 = 2x−x² L₂(x) = (x−x₀)(x−x₁)

(x₂−x₀)(x₂−x₁) = (x−0)(x−1)

(2−0)(2−1) = x²−x 2 On a donc

p₂(x) = 1×

x²−3x+ 2 2

+ 7×(2x−x²) + 17×

x²−x 2

p₂(x) = x²

2 − 14x²

2 + 17x² 2 − 3x

2 + 28x

2 − 17x 2 + 1 p2(x) = 2x²+ 4x+ 1

p⁰(x) = 4x+ 4 p⁰(1) = 4(1) + 4 = 8

Or, par a) on a que toutes les méthodes à 3 points donneront cette même réponse.

2

Numéro 8. Soitf(x) =

2(x 1−x²+arcsin(x)). Pourx₀ = 0,5, calculer des approximations de f⁰(x₀) par la formule de diérence arrière d'ordre 2 (voir le tableau 6.11) avec h = 0,1, 0,05,0,023,0,0125et0,00625. Dans chacun des cas, calculer l'erreur exacte en valeur absolue.

Cette erreur se comporte-t-elle en O(h²)?

Solution

Pour x₀ = 0,5, la valeur exacte de la dérivée est 0,866 025 4038. La formule de diérence arrière d'ordre 2 est donnée par :

f⁰(x₂) = 3f(x₂)−4f(x₁) +f(x₀)

2h +h²f⁰⁰⁰(ξ₂) 3 Pour h= 0,1 :

On a x₂ = 0,5, x₁ = 0,4 etx₀ = 0,3. Par conséquent, l'équation devient : f⁰(0,5) ≈ 3f(0,5)−4f(0,4) +f(0,3)

0,1×2 ≈0,870543101 Pour h= 0,05:

On a x₂ = 0,5, x₁ = 0,45et x₀ = 0,4. Par conséquent, l'équation devient : f⁰(0,5) ≈ 3f(0,5)−4f(0,45) +f(0,4)

0,05×2 ≈0,867222895 Pour h= 0,025 :

On a x₂ = 0,5, x₁ = 0,475 et x₀ = 0,45. Par conséquent, l'équation devient : f⁰(0,5) ≈ 3f(0,5)−4f(0,475) +f(0,45)

0,025×2 ≈0,864334832 Pour h= 0,0125 :

On a x₂ = 0,5, x₁ = 0,4875 etx₀ = 0,475. Par conséquent, l'équation devient : f⁰(0,5) ≈ 3f(0,5)−4f(0,4875) +f(0,475)

0,0125×2 ≈0,866104133 Pour h= 0,00625 :

On a x2 = 0,5, x1 = 0,49375 etx0 = 0,4875. Par conséquent, l'équation devient : f⁰(0,5) ≈ 3f(0,5)−4f(0,49375) +f(0,4875)

0,0125×2 ≈0,866045266

4

f(x) = 1 2

xp

1−x²+ arcsin (x)

x₀ = 0,5

n h_n e_n e_n/e_n+1

1 0,1 0,004517696856111 3,772 2 0,05 0,001197491175961 3,870 3 0,025 0,000309428655761 3,930 4 0,0125 0,000078729449561 3,964 5 0,00625 0,000019861825961 −−

Le ratio e_n/e_n+1 tend vers 4 ce qui correspond à une erreur enO(h²).