Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques L2
UE 2M216 – Fonctions de plusieurs variables Année 2017–18
TD5. Intégrales dépendant d’un paramètre et intégrales multiples
version du 10/11/2017
Les exercices sans (*) sont des applications directes du cours ; ce sont des compétences attendues de tous et toutes. Les exercices avec (*) sont un peu plus avancés, et préparent parfois à des paragraphes ultérieurs du cours. Enfin, ceux avec (**) peuvent être considérés comme des compléments de cours et sont réservés aux étudiant(e)s les plus motivé(e)s.
On rappelle le résultat suivant :
Théorème. Soienta < b dansR,U un ouvert deRn,g: [a, b]×U →R,(s, x1, . . . , xn)7→g(s, x1, . . . , xn)une application continue. On suppose que, pour i= 1, . . . , n, la dérivée partielle ∂g/∂xi existe et est continue sur [a, b]×U. Alors l’application
G: [a, b]×U →R, (t, x1, . . . , xn)7→
Z t
a
g(s, x1, . . . , xn)ds
est continue et est de classe C1 sur l’ouvert ]a, b[×U : on a ∂G
∂t(t, x1, . . . , xn) = g(t, x1, . . . , xn) et, pour i= 1, . . . , n :
∂G
∂xi
(t, x1, . . . , xn) = Z t
a
∂g
∂xi
(s, x1, . . . , xn)ds.
Exercice 1. Soienta < b et c < ddansR, U un ouvert deRn,f : [a, b]×[c, d]×U →R,(s, t, x1, . . . , xn)7→
f(s, t, x1, . . . , xn)une application continue. Pour toutx∈U pose φ(x) =
Z d
c
Z b
a
f(s, t, x)ds
! dt.
Pour alléger l’écriture, on fixex∈U et pour touts∈[a, b]et t∈[c, d] on poseg(s, t) =f(s, t, x), puis G(s) =
Z d
c
Z s
a
g(σ, t)dσ
dt= Z d
c
Z s
a
f(σ, t, x)dσ
dt.
1) En utilisant le théorème rappelé plus haut, déterminerG0(s)pour touts∈[a, b].
2) En utilisant le « théorème fondamental du calcul intégral » (vu en Terminale), montrer que : φ(x) =G(b)−G(a) =
Z b
a
Z d
c
f(s, t, x)dt
! ds.
Notons Rle rectangle[a, b]×[c, d]deR2. Par définition, l’intégrale précédente sera notée φ(x) =
Z Z
R
f(s, t, x)ds dt.
En particulier, pour f :R →Rcontinue, le réel Z Z
R
f(s, t, x)ds dt est appelé l’intégrale def surR.
Exercice 2. Soienta < betc < d dansRet Rle rectangle[a, b]×[c, d]deR2. 1) Calculerm=
Z Z
R
dx dy (c.-à-d. l’intégrale surRde la fonction constante de valeur1).
2) CalculerJ1= Z Z
R
x dx dyet J2= Z Z
R
y dx dy.
3) CalculerxR=J1/met yR=J2/m. Connaissez-vous la signification « physique » dem,xR et yR? 4) Pour toutp, q∈N, calculerI(p, q) =
Z Z
R
xpyqdx dy.
1
Exercice 3 (*). Soit Sn le groupe des bijections de {1, . . . , n} dans lui-même. On dit que c’est le «groupe symétrique»Sn. Tout élément deSn s’appelle unepermutationde{1, . . . , n}et peut se représenter sous la forme :
1 2 · · · n i1 i2 · · · n
où ik désigne l’image dek, pour tout k= 1, . . . , n. Pourσ, τ ∈Sn, leur produitστ est la composéeσ◦τ (où l’on applique d’abord τ puisσ).
1) Soientσ=
1 2 3 4 4 1 3 2
,τ =
1 2 3 4 3 4 1 2
et θ=
1 2 3 4 1 2 4 3
. Calculerστ,τ σ,τ θ, θτ.
On dit qu’une permutation σest une transpositions’il existei6=j dans{1, . . . , n} tels queσ(i) =j, σ(j) =i etσ(k) =k pour k6=i, j. Dans ce cas, on écritσ= (i, j). Pouri= 1, . . . , n−1, on notesi la transposition (i, i+ 1)et l’on dira qu’un telle transposition estspéciale.1
2) Parmi les permutationsσ, τ, θ, y a-t-il des transpositions ?
3) Fixons σ ∈ Sn; soit i l’unique élément de {1, . . . , n} tel que σ(i) = n. Supposons i < n et posons p=σ(i+ 1), alorsσest de la forme :
1 · · · i i+ 1 · · · n i1 · · · n p · · · in
. Déterminerσsi.
4) Montrer qu’il existe des transpositions spécialesτ1,· · ·τk telles queσ0=στ1· · ·τk vérifieσ0(n) =n.
5) Siτ est une transposition, quelle est son inverseτ−1?
6) En procédant par récurrence surn, montrer que pour tout σ∈Sn il existe des transpositions spéciales τ1,· · · , τN telles queσ=τ1· · ·τN.
On admet le :
Théorème (Formule de changement de variables). Soient U un ouvert de Rn, φ : U → Rn une application de classe C1,P un pavé fermé contenu dans U, et P˚ l’intérieur deP (i.e. le pavé ouvert correspondant). On suppose que la restriction de φàP˚est un difféomorphisme de P˚sur son image. Alors, pour toute application continue f :φ(P)→Ron a
Z Z
φ(P)
f(y)dy= Z Z
P
f(φ(x))
detDφ(x)|dx où| · | désigne la valeur absolue.
Exercice 4. SoientR∈R∗+ et D(R)le disque fermé deR2 de centre0 et de rayonR.
1) En utilisant les coordonnées polaires, calculer Z Z
D(R)
dxdy.
2) (*) Soienta, b∈R∗+ et E={(x, y)∈R2| x2 a2 +y2
b2 ≤1}(i.e.Eest l’intérieur d’une ellipse, bord inclus).
En utilisant des « coordonnées elliptiques » appropriées, calculer Z Z
E
dxdy.
1. Attention, ce n’est pas une terminologie usuelle !
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