TD1-2

Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques L2

UE 2M216 – Fonctions de plusieurs variables Année 2017–18

TD1–2. Normes, ouverts et fermés, applications continues

Les exercices sans (*) sont des applications directes du cours ; ce sont des compétences attendues de tous et toutes. Les exercices avec (*) sont un peu plus avancés, et préparent parfois à des paragraphes ultérieurs du cours. Enfin, ceux avec (**) peuvent être considérés comme des compléments de cours et sont réservés aux étudiant(e)s les plus motivé(e)s.

Exercice 1. Sur R²on considère les normesN1, N2, N_∞définies, pour toutv= (x, y)par : N1(v) =kvk1=|x|+|y|, N2(v) =kvk2= |x|²+|y|^21/2

, N_∞(v) =kvk_∞= max |x|,|y|

.

Pour chacune de ces normesN, la boule unité ferméeBN(1)estBN(1) ={v∈R²|N(v)≤1}. Pour abréger, on écritB1(1),B2(1)et B_∞(1)au lieu deBN₁(1),BN₂(1)etBN∞(1).

1) Faire un dessin représentantB2(1)et B_∞(1).

2) On veut décrireB1(1), qui est l’ensemble des (x, y)∈R²vérifiant la condition :

(∗) |x|+|y| ≤1.

a) On supposex, y≥0. Montrer alors que(∗)équivaut à : 0≤x≤1 et0≤y≤1−x. En déduire que l’intersection de B1(1) avec le quadrant x, y ≥0 est la partie de ce quadrant située en-dessous du graphe de la fonction[0,1]→R,x7→1−x.

b) On suppose maintenantx≥0≥y. Décrire de façon analogue l’intersection deB1(1)avec le quadrant x≥0≥y.

c) Décrire de même l’intersection deB1(1)avec le quadranty≥0≥x.

d) Décrire de même l’intersection deB1(1)avec le quadrantx, y≤0.

e) Conclure en décrivantB1(1).

3) On veut maintenant décrireB1(1)d’une autre manière.

a) Montrer que(∗)équivaut aux deux conditions :

(†) −1≤x+y≤1 et : (‡) −1≤x−y≤1.

b) En faisant une figure, montrer que l’ensemble des(x, y)∈R²vérifiant(†)est la « bande »P comprise entre les droites d’équationx+y=−1et x+y= 1.

c) Montrer de même que l’ensemble des(x, y)∈R² vérifiant(‡)est la « bande »Qcomprise entre les droites d’équationx−y=−1 etx−y= 1.

d) En utilisant les figures précédentes, déterminerP∩Q. Retrouver ainsi la description deB₁(1).

Exercice 2 (*). On pose E = Rⁿ et F =R^p et l’on note V =L(E, F) l’espace vectoriel des applications linéaires E→F.

1) Quelle est la dimension deV ?

On munitE d’une des normesN_∞, N₁ouN₂, notéek · k_E, etF d’une norme arbitraire notéek · k_F. On note(e1, . . . , en)la base canonique deRⁿ, i.e. pour toutx= (x1, . . . , xn)∈Rⁿon ax=x1e1+· · ·+xnen. 2) Soitφ∈V. En utilisant l’inégalité triangulaire, montrer que pour tout x∈Rⁿ on a

kφ(x)kF ≤CφN_∞(x), où Cφ=

n

X

i=1

kφ(ei)kF.

3) En utilisant un résultat du cours, montrer que pour toutx6= 0on a kφ(x)kF

kxkE

≤C_φ.

1

4) Pour toutφ ∈V on pose |||φ|||= max_x6=0kφ(x)kF

kxkE

. Montrer que ||| · |||est une norme sur V. On dit que c’est lanorme d’opérateursurV (relativement aux normesk · kE et k · kF choisies surE etF).

Dans les deux questions suivantes, on prendF =R, muni de la normektkF =|t|pour toutt∈R. Alors V =L(E,R)est l’espace dual deE=Rⁿ, i.e.V s’identifie à l’espace des matrices lignesL= (a1, . . . , an), i.e. pour tout tel L et pour tout vecteur colonne x=





 x₁

... x_n





∈Rⁿ on a :L(x) = (a₁, . . . , a_n)





 x₁

... x_n





 = Pn

i=1aixi.

5) On munitRⁿ de la normeN_∞. Pour toutL= (a1, . . . , an)∈V et x∈Rⁿ, montrer que

(∗) |L(x)| ≤N_∞(x)

n

X

i=1

|ai|

et qu’on a égalité si pour toution axi=εioùεi∈ {−1,0,1} est le signe deai. En déduire que, si l’on munitRⁿ deN_∞, on a |||L|||=kLk1 pour toutL∈V.

6) On munitRⁿ de la normeN2. Pour toutL= (a1, . . . , an)∈V etx∈Rⁿ, montrer en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz que

|L(x)| ≤N2(x)Xⁿ

i=1

a²_i^1/2

et que l’égalité est obtenue siL= 0ou six= 1 N2(L)





 a₁

... a_n





. En déduire que, si l’on munitRⁿdeN₂, on a |||L|||=kLk₂ pour toutL∈V.

7) (**) On revient au cas oùpest arbitraire et l’on munitRⁿ et R^p de la norme euclidienneN₂.

a) En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que pour tout x ∈ Rⁿ et toute matrice A = (a_ij)∈M_p,n(R)on a

kAxk₂≤ kxk₂









 X

1≤i≤p 1≤j≤n

a²_ij











1/2

.

b) En déduire que|||A||| ≤N2(A) = P

1≤i≤p,1≤j≤n

a²_ij

!^1/2 .

c) Montrer par un exemple que cette inégalité peut être stricte (prendrep=netA=la matrice identité In).

Exercice 3 (**). Soitx= (x₁, . . . , x_n)∈Rⁿ. On pose, pourp∈[1,+∞[, kxkp=

n

X

i=1

|xi|^p

!^1/p .

L’objectif de cet exercice est de prouver que k · kp est une norme surRⁿ pour toutp∈]1,+∞[.

1) Pour touts, t≥0, montrer que st≤s^p p +t^q

q, oùq est donné par1/q= 1−1/p.Indication : on pourra fixertet étudier la fonction s7→st−s^p

p −t^q q.

2) Pourx,y∈Rⁿ\{0}, on poseα=kxkp etβ =kykq. Montrer, pour touti, que

|xiyi|

αβ ≤|xi|^p pα^p +|yi|^q

qβ^q et en déduire

n

X

i=1

|xiyi| ≤ kxkpkykq. (En utilisant l’inégalité triangulaire, on obtient la fameuse inégalité de Hölder :|x·y| ≤ kxkpkykq, elle généralise l’inégalité de Cauchy-Schwarz qui est le casp= 2 =q.)

2

3) En remarquant que|xi+yi|^p ≤ |xi+yi|^p−1|xi|+|xi+yi|^p−1|yi|, montrer que k · kp vérifie l’inégalité triangulaire, puis conclure.

Exercice 4. Soit(E, d)un espace métrique. Pour toutx∈E, montrer que le singleton{x}est un sous-ensemble fermé de E.

Exercice 5. On se place dansR, muni de la distance usuelle définie pard(x, y) =|y−x|.

1) Montrer que tout intervalle]a, b[(avec éventuellementa=−∞oub= +∞) est ouvert.

2) Poura, bdansR, montrer que les intervalles ]− ∞, b],[a, b]et [a,+∞[sont fermés.

3) SoitIun sous-ensemble de Rpossédant un plus grand élémentb (i.e.Iest de la forme ]− ∞, b]ou]a, b]

ou[a, b]aveca∈Reta≤b). Montrer queIn’est pas ouvert.

4) Montrer de même que siI est un sous-ensemble de Rpossédant un plus petit élément a, alorsI n’est pas ouvert.

5) Donner la liste de tous les intervalles ouverts deR, puis de tous les intervalles fermés.

6) Quels sont les intervalles deRqui sont à la fois ouverts et fermés ?

7) (**) Quelles sont les sous-ensembles deRqui sont à la fois ouverts et fermés ? Exercice 6. Soit(E, d)un espace métrique.

1) Montrer que :

a) Toute réunion (finie ou infinie) d’ensembles ouverts est un ensemble ouvert.

b) Toute intersectionfinie d’ensembles ouverts est un ensemble ouvert.

2) DansR, donner l’exemple d’une suite décroissante (U_n)_n∈N^∗ d’ouverts dont l’intersection n’est pas un ouvert.

3) Énoncer et démontrer les propriétés correspondantes pour les fermés.

Exercice 7. Représenter graphiquement les ensembles suivants et déterminer s’ils sont ouverts, fermés ou ni l’un ni l’autre.

A={(x, y)∈R²: 0<|x−1|<1}; B={(x, y)∈R²: 0< x≤1} ; C={(x, y)∈R²:|x|<1, |y| ≤1} ; D={(x, y)∈R²: 2x²+ 3y²<4}.

Exercice 8. 1) Les sous-ensembles deR² suivants sont-ils ouverts ? fermés ?

A={(x, y)∈R²:x²−sin(y)≤4} ; B={(x, y)∈R²:x³−4e^y>4};

C={(x, y)∈[0,1]²: cos(x)≥0}.

2) (**) Même question pour le groupe des matrices inversiblesGL_n(R), qui est un sous-ensemble deM_n(R)'R^q, oùq=n².

Exercice 9. On munitRⁿ etRde la normeN_∞. Soientf, g:Rⁿ→Rdeux applications continues.

0) Soient (E, d), (E⁰, d⁰) et (E⁰⁰, d⁰⁰) trois espaces métriques, considérons des applications φ : E → E⁰ et ψ : E⁰ → E⁰⁰ et soitx∈E. Montrer que si φest continue en xet ψ continue en φ(x), alors ψ◦φ est continue enx.

1) Montrer quef +g est continue.

2) Montrer que l’applicationf g:x7→f(x)g(x)est continue.

3) SoitU ={x∈Rⁿ|g(x)6= 0}.

a) Montrer queU est ouvert.

b) Montrer que l’applicationh= 1/g:U →R,x7→1/g(x)est continue surU.

3

4) Pouri= 1, . . . , n, montrer que la projectionπi :Rⁿ→R,(x1, . . . , xn)7→xi est continue.

Dans la suite de l’exercice on prendn= 2. SoitU =R²− {(0,0)}et soientf1, f2:U →Rles applications définies par :

f₁(x, y) =x³+y³

x²+y², f₂(x, y) = xy x²+y² 5) Montrer quef1et f2 sont continues surU.

6) Pour toutu= (x, y)∈U, montrer que|f1(x, y)≤ kuk_∞. En déduire quef1se prolonge en une application continueR²→Ren posantf1(0,0) = 0.

7) Montrer quelim(x,y)→(0,0)f2(x, y)n’existe pas. Indication : pour touta∈R, calculer la limite def2(x, y) lorsque(x, y)tend vers(0,0)en restant sur la droitey=ax, i.e. calculer

x→0limf₂(x, ax) = lim

x→0

a²x² (1 +a)²x².

Exercice 10. On munitRⁿ etR^p de la normeN∞. Soitf une application deRⁿ vers R^p et soientf1, . . . , fp

ses composantes, i.e. pour toutx∈Rⁿ on af(x) = f1(x), . . . , fp(x)

. Soitx∈Rⁿ. Montrer quef est continue enxsi et seulement si chaquef_i l’est.

Exercice 11 (*). Soient (E₁, d₁)et (E₂, d₂)deux espaces métriques. On dit qu’une application f :E₁ →E₂ est lipschitziennes’il existe un réelC >0tel que, pour tout x, y∈E₁, on ait :

d2 f(x), f(y)

≤C d1(x, y).

1) Montrer alors quef est continue.

2) SoitV unR-espace vectoriel, muni d’une normeN. On munit Rⁿ de la normeN_∞. Montrer que toute application linéairef :Rⁿ→V est lipschitzienne, donc continue.

Exercice 12. Déterminer et représenter l’ensemble de définition des fonctions suivantes : f₁: (x, y)7→

r2x+ 3

y−2 ; f₂: (x, y)7→ln(x+y+ 1) ; f₃: (x, y)7→ 1 sin(x−y) .

Exercice 13 (*). Soitf :R→Rune application de classeC¹. On définit la fonctionF surR² parF(x, y) = f(y)−f(x)

y−x siy6=xetF(x, x) =f⁰(x). Montrer que F est continue sur R². Indication : pour la continuité en un point(x, x), utiliser l’égalité des accroissements finis pour la fonctionf, ainsi que la continuité def⁰. Exercice 14. Étudier l’existence des limites suivantes :

(a) lim

(x,y)→(0,0)

|x|+|y|

x²+y² ; (b) lim

(x,y)→(0,0)

x²y x²+y² .

Exercice 15. SoitF :R²− {(0,0)} →Rdéfinie parF(x, y) = xy x²+y².

1) Pour toutx6= 0, montrer quef(x) = lim_y→0F(x, y)existe. Quelle est sa valeur ? 2) Pour touty6= 0, montrer queg(y) = lim_x→0F(x, y)existe. Quelle est sa valeur ? 3) Montrer quelim_x→0f(x) = 0 = lim_y→0g(y).

4) Montrer quelim(x,y)→(0,0)f(x, y)n’existe pas. Voir l’exercice 9, question (7).

4