Exercice 2 Soit E un e.v.n

Universit´e de Bordeaux TGM601U, Analyse fonctionnelle

Feuille d’exercices n^◦ 3’.

Exercice 1 Rappeler le th´eor`eme du graphe ferm´e pour les espaces de Banach et la d´emontrer.

Exercice 2 Soit E un e.v.n. qui est complet pour deux normes k · k₁ etk · k₂. On suppose qu’il existe une constante positivectelle que pour toutx∈E,kxk₁≤ckxk₂. Montrer que ces deux normes sont ´equivalentes.

Exercice 3 Consid´erons la forme lin´eaire d´efinie sur (R^d1,||.||₁) et donn´ee par

T_a(x) =T(x) =

d1

X

k=1

a_kx_k, x= (x_k)_k=1,...,d ∈R^d1,

o`u a= (a_k)_k=1,...,d.

(a) Calculer la norme de T; on obtient alors (R^d1,||.||₁)^∗ = (R^d1,||.||_∞).

(b) Soit d1 ≤ d2. Donner un exemple de l’extension de T de (R^d1,||.||₁) `a (R<sup>d2</sup>,||.||<sub>1</sub>) selon Hahn-Banach (i.e., sans augmenter la norme de l’extension par rapport `a ||T||).

(c) D´ecrire toutes les extensions de T `a (R^d2,||.||₁) selon Hahn-Banach.

(d) Idem pour l’extension deT de (R^d1,||.||₁) `a l¹.

Exercice 4 (les corollaires du th´eor`eme de Hahn-Banach) Soit E un evn.

(a) SoitM ⊂E un sous-espace et x∈E\M. Montrer qu’il y af ∈E^∗ telle que f(x)6= 0 et f

M = 0. Plus pr´ecisemment, si on pose

δ=d(x, M) = inf

y∈M||x−y||,

alors on peut choisirf(x) =δ et||f||= 1.

(b) Six∈E, x6= 0 alors il y af ∈E^∗ telle que f(x) =||x|| et||f||= 1.

(c) Les ´el´ements de E^∗ sont s´eparants sur E, c.`a.d., pour x¹, x² ∈ E, x¹ 6= x² il y a un f ∈E^∗ tel quef(x¹)6=f(x²).

(d) PosonsE^∗∗= (E^∗)^∗, le bidual deE. Pour unx∈E, on d´efinit ˆ

x(f) =f(x), f ∈E^∗.

Montrer que : a) l’application x7→ xˆ est lin´eaire; b) ||ˆx||=||x||, i.e. c’est une isom´etrie de X dansX^∗∗.

Exercice 5 Soit E un espace de Banach.

(a) Soit B une partie deE. Montrer que B est born´e si et seulement si pour e tout f ∈E⁰, f(B) est born´e.

(b) SoitB⁰ une partie de E⁰. Montrer queB⁰ est born´e dansE⁰ si et seulement si pour tout x∈E,{f(x) : f ∈B⁰}est born´e.

(c) Soit (x_n) une suite d’´el´ements deE qui converge faiblement. Montrer que (x_n) est born´e.