De plus on construit une décomposition canonique de l’espace des formes automorphes cuspidales, indexée par des paramètres de Langlands globaux

DONNÉ À L’IHES LE 17 OCTOBRE 2013 DANS LE CADRE DU “COURS D’ARITHMÉTIQUE ET DE GÉOMÉTRIE

ALGÉBRIQUE”

VINCENT LAFFORGUE

Ces notes peuvent être imprimées avant de regarder la video de ce premier exposé, qui est l’expose 1/3 disponible sur la page web

http://www.ihes.fr/~abbes/CAGA/vlafforgue.html et aussi sur youtube

http://youtu.be/SIySKQGn6Zg

Cet exposé correspond aux paragraphes 0.1, 0.2, 11.1 et 11.2 de mon article

“Chtoucas pour les groupes réductifs et paramétrisation de Langlands globale”, http://arxiv.org/abs/1209.5352.

Ce travail est issu d’un projet de recherche avec Jean-Benoît Bost et n’exis- terait pas non plus sans les très nombreuses discussions que j’ai eues avec Alain Genestier.

On montre le sens “automorphe vers Galois” de la correspondance de Lan- glands globale pour tout groupe réductif G sur un corps de fonctions. De plus on construit une décomposition canonique de l’espace des formes automorphes cuspidales, indexée par des paramètres de Langlands globaux.

Cela ne fournit pas de résultat nouveau dans le cas où G=GL_r puisque tout était déjà connu par Drinfeld pourr= 2 et Laurent Lafforgue pour rarbitraire.

Ce travail est totalement indépendant de la formule des traces d’Arthur-Selberg et utilise les deux ingrédients suivants :

– les champs classifiants de chtoucas, introduits par Drinfeld pour GL_r et gé- néralisés à tous les groupes réductifs par Varshavsky,

– l’équivalence de Satake géométrique de Lusztig, Drinfeld, Ginzburg, et Mirkovic–Vilonen.

1. Enoncés

Soit Fqun corps fini et X une courbe projective lisse géométriquement irréduc- tible sur Fq, F son corps de fonctions, A ses adèles et O ses adèles entiers. Soit Gun groupe réductif connexe sur F (déployé pour le moment). Soit N un sous- schéma fini deX (le niveau). On noteKN = Ker(G(O)→G(ON))le sous-groupe compact ouvert deG(A)associé au niveauN. On fixe un réseauΞ⊂Z(F)\Z(A) (où Z est le centre de G). Soit ` un nombre premier ne divisant pas q et E une extension finie de Q` contenant une racine carrée de q.

Pour énoncer le théorème principal on se limite au cas où Gest déployé (le cas non-déployé sera discuté dans le paragraphe 2.1). On note Gb le groupe dual de Langlands de G, considéré comme un groupe déployé sur Q^`. Ses racines et ses

1

poids sont les coracines et les copoids de G, et vice-versa. Soit v une place de X. On note Ov l’anneau local complété en v et F_v son corps de fractions. On a l’isomorphisme de Satake [V] 7→ hV,v de l’anneau des représentations de Gb vers l’algèbre de Hecke C_c(G(Ov)\G(F_v)/G(Ov),Q`).

On construira les opérateurs suivants, dits “d’excursion”. Soient I un ensemble fini, f une fonction sur G\(b G)b ^I/G, etb (γ_i)_i∈I ∈(G)b ^I. On construira l’opérateur

S_{I,f,(γi)i∈I} ∈End_{Cc(KN\G(A)/KN,E)}(C_c^cusp(G(F)\G(A)/K_NΞ, E))

et on montrera que ces opérateurs engendrent une sous-algèbre commutativeB. Théorème 1.1. Par décomposition spectrale suivant les caractères de B, on ob- tient une décomposition canonique de C_c(K_N\G(A)/K_N,Q`)-modules

C_c^cusp(G(F)\G(A)/K_NΞ,Q`) =M

σ

H_σ. (1.1)

La somme directe dans le membre de droite est indexée par des paramètres de Langlands globaux, c’est-à-dire des classes deG(b Q`)-conjugaison de morphismes σ : Gal(F /F) → G(b Q<sup>`</sup>) définis sur une extension finie de Q^`, continus, semi- simples et non-ramifiés en dehors deN.

Elle est caractérisée par la propriété suivante : H_σ est l’espace propre généralisé associé au caractère ν de B défini par

ν(S_{I,f,(γi)i∈I}) = f((σ(γ_i))i∈I. (1.2)

Cette décomposition est compatible avec l’isomorphisme de Satake en toute place v de X \N, c’est-à-dire que pour toute représentation irréductible V de G,b h_V,v agit sur H_σ par multiplication par le scalaire χ_V(σ(Frob_v)), où χ_V est le caractère deV et Frobv est un relèvement arbitraire de l’élément de Frobenius en v. Cette décomposition est aussi compatible avec la limite sur N.

Le théorème résultera de la proposition suivante, qui énumère les propriétés des opérateurs d’excursion. Ces propriétés sont tautologiquement vérifiées par le membre de droite de (1.2) et cela permet de les devinera posteriori.

Proposition 1.2. Les opérateurs d’excursion S_{I,f,(γi)i∈I} vérifient les propriétés suivantes :

(i) pour tout I et (γ_i)i∈I ∈Gal(F /F)^I, f 7→S_{I,f,(γi)i∈I}

est un morphisme d’algèbres commutatives O(G\(b G)b ^I/G)b →B,

(ii) pour toute application ζ : I → J, toute fonction f ∈ O(G\(b G)b ^I/G)b et (γ_j)j∈J ∈Gal(F /F)^J, on a

S_J,fζ,(γj)j∈J =S_{I,f,(γζ(i))i∈I} où f^ζ ∈O(G\(b G)b ^J/G)b est définie par

f^ζ((g_j)j∈J) = f((g_ζ(i))i∈I),

(iii) pour tout f ∈ O(G\(b G)b ^I/G)b et (γ_i)i∈I,(γ_i⁰)i∈I,(γ_i⁰⁰)i∈I ∈ Gal(F /F)^I on a

S_{I∪I∪I,f ,(γe}

i)i∈I×(γ⁰_i)i∈I×(γ⁰_i)i∈I =S_I,f,(γi(γ⁰

i)⁻¹γ_i⁰⁰)i∈I

où fe∈O(G\(b G)b ^I∪I∪I/G)b est définie par

fe((g_i)i∈I ×(g⁰_i)i∈I×(g_i⁰⁰)i∈I) =f((g_i(g_i⁰)⁻¹g⁰⁰_i)i∈I).

– (iv) pour toutI et toutf, le morphisme Gal(F /F)^I →B,(γ_i)_i∈I 7→S_{I,f,(γi)i∈I} est continu, avec B munie de la topologie E-adique,

– (v) on a T(h_V,v) =S{1,2},f,(Frobv,1) où f(g₁, g₂) = χ_V(g₁g⁻¹₂ ).

2. Commentaires généraux.

2.1. Cas oùG n’est pas pas nécessairement déployé. Soit Fe une extension finie deF déployantG et^LG=GboGal(F /Fe ) (où le produit semi-direct est pris pour l’action par automorphismes préservant un épinglage). SoitU un ouvert de X sur lequel G est déployé. En chaque point de X rU on choisit un modèle parahorique pour G, si bien que G est un schéma en groupes lisses sur X. On suppose le niveauN assez grand pour queXrN ⊂U. On note Bun_G,N le champ classifiant les G-torseurs sur X avec structure de niveau N, autrement dit pour tout schémaS surFq, Bun_G,N(S)est le groupoïde classifiant lesG-torseursGsur X×S munis d’une trivialisation de G

N×S. On a Bun_G,N(Fq) = [

α∈ker¹(F,G)

G_α(F)\G_α(A)/K_N (2.1)

où la réunion est disjointe, ker¹(F, G) est fini et Gα est la forme intérieure pure deG obtenue par torsion par α. Comme α ∈ker¹(F, G) on a G_α(A) = G(A) et le quotient par K_N dans le membre de droite a bien un sens.

On rappelle qu’on a fixé un réseau Ξ⊂Z(A)/Z(F). On définit C_c^cusp(Bun_G,N(Fq)/Ξ, E) = M

α∈ker¹(F,G)

C_c^cusp(G_α(F)\G_α(A)/K_NΞ, E).

(2.2)

Dans le cas non-nécessairement déployé les opérateurs d’excursion sont des endo- morphismes

S_{I,f,(γi)i∈I} ∈End_{Cc(KN\G(A)/KN,E)}(C_c^cusp(Bun_G,N(Fq)/Ξ, E))

où I est un ensemble fini, (γ_i)i∈I ∈ Gal(F /F)^I mais maintenant f désigne une fonction sur G\(b ^LG)^I/G. La méthode pour les construire est la même que celleb nous allons exposer dans le cas déployé, mais avec une variante tordue sur X de l’équivalence de Satake géométrique qui fait intervenir^LGgrâce au fait que l’épin- glage deGb apparaît naturellement dans le foncteur fibre de Mirkovic-Vilonen. Ils engendrent une sous-algèbre commutativeB et par décomposition spectrale sui- vant les caractères deB on obtient une décomposition

C_c^cusp(Bun_G,N(Fq)/Ξ,Q`) = M

σ

H_σ. (2.3)

La somme directe dans le membre de droite est indexée par des paramètres de Langlands globaux, c’est-à-dire des classes deG(b Q^{`</sup>)-conjugaison de morphismes σ : Gal(F /F) → <sup>L</sup>G(Q<sup>`}) définis sur une extension finie de Q^`, continus, semi- simples, non-ramifiés en dehors deN et rendant commutatif le diagramme

Gal(F /F) ^{σ //}

&&

NN NN NN NN

NN ^LG(Q`)

yyrrrrrrrrrr

Gal(F /Fe ) (2.4)

Comme dans le théorème 1.1 la décomposition (2.3) est caractérisée par (1.2).

Habituellement (par exemple dans les formules de multiplicités d’Arthur) on quotiente par une relation d’équivalence plus faible autorisant à tordreσ par des éléments de ker¹(F, Z(G)(b Q`)). D’après Kottwitz et Nguyen Quoc Thang pour l’extension en caractéristiquep, ce groupe fini est le dual de ker¹(F, G). Il a donc le même cardinal et du point de vue des formules de multiplicités d’Arthur notre relation d’équivalence plus fine sur σ compense exactement le fait que l’espace que nous décomposons est une somme indexée par α∈ker¹(F, G).

2.2. Paramètres d’Arthur. On aimerait montrer que les paramètres de Lan- glands σ qui apparaissent dans la décomposition (1.1) (ou (2.3) dans le cas non déployé) proviennent de paramètres d’Arthur elliptiques. On rappelle qu’un pa- ramètre d’Arthur est un morphisme

ψ : Gal(F /F)×SL₂(Q`)→<sup>L</sup>G(Q`) (algébrique sur SL₂(Q`)),

dont la restriction à Gal(F /F)prend ses valeurs dans une extension finie de Q`, est semi-simple, pure de poids 0, continue et fait commuter le diagramme (2.4).

De plus ψ est dit elliptique si le centralisateur de ψ dans G(b Q^{`</sup>) est fini modulo (Z(G)(b Q<sup>`}))^{Gal(F /Fe )}.

Le paramètre de Langlands associé à ψ est σ_ψ : Gal(F /F) → ^LG(Q^`) défini par

σ_ψ(γ) = ψ γ,

|γ|^1/2 0 0 |γ|^−1/2

où |γ|^1/2 est bien défini grâce au choix d’une racine carrée de q. On conjecture que tout paramètre de Langlandsσ apparaissant dans la décomposition (1.1) (ou (2.3) dans le cas non déployé) est de la formeσψ avec ψ un paramètre d’Arthur elliptique (bien défini à conjugaison près par G(b Q^`)). Pour montrer la conjec- ture précédente on peut espérer utiliser les actions du SL₂ de Lefschetz sur la cohomologie de compactifications des champs de chtoucas (les compactifications paraissent nécessaires pour pouvoir appliquer le théorème de Lefschetz difficile).

2.3. Partie discrète. On aimerait aussi obtenir une décomposition comme (1.1) (ou (2.3) dans le cas non déployé) pour toute la partie discrète et non pas seule- ment la partie cuspidale. Pour cela il faudrait peut-être utiliser une sorte de

“cohomologie L²” au lieu de la cohomologie à support compact utilisée dans cet article.

2.4. Signification de la décomposition. La décomposition (1.1) est certaine- ment plus fine en général que celle obtenue par diagonalisation des opérateurs de Hecke en les places non ramifiées. Même en prenant en compte les classes d’iso- morphisme de représentations de C_c(K_N\G(A)/K_N,Q`) on ne récupère pas en général la décomposition (1.1), et bien que les formules de multiplicités d’Arthur fassent intervenir une somme sur les paramètres d’Arthur, une telle décomposi- tion canonique semble inconnue en général dans le cas des corps de nombres. En effet d’après Blasius, Lapid et Larsen, pour certains groupesG (même déployés) la même représentation peut apparaître dans des espaces Hσ différents, à cause du phénomène suivant. Il y a des exemples de groupes finisΓ et de morphismes τ, τ<sup>0</sup> : Γ → G(b Q`) tels que τ et τ⁰ ne soient pas conjugués mais que pour tout γ ∈Γ, τ(γ)et τ⁰(γ) soient conjugués. On s’attend alors à ce qu’il existe un mor- phisme surjectifρ: Gal(F /F)→Γet une représentation(Hπ, π)deG(A)tels que (Hπ)^KN apparaisse à la fois dans Hτ◦ρ etHτ⁰◦ρ. Les exemples de Blasius et Lapid sont pour G = SL_r, r ≥ 3 (en fait dans ce cas on peut retrouver a posteriori la décomposition (1.1) à l’aide du plongement SL_r ,→GL_r). Mais pour certains groupes (par exemple E₈) nous ne savons pas comment retrouver la décomposi- tion (1.1) autrement que par les méthodes du présent article, qui ne fonctionnent que sur les corps de fonctions.

2.5. Indépendance de `. On espère que la décomposition (1.1) est définie sur Q, indépendante de `(et du plongement Q⊂Q`), et indexée par des paramètres de Langlands motiviques. Cette conjecture paraît hors d’atteinte pour le moment.

2.6. Cas des corps de nombres. Il est évidemment hors d’atteinte d’appliquer les méthodes de cet article aux corps de nombres. Cependant on peut se deman- der s’il est raisonnable d’espérer une décomposition analogue à la décomposition canonique (1.1) (ou (2.3) dans le cas non déployé) et une formule de multiplicités d’Arthur pour chacun des espacesHσ. QuandF est un corps de fonctions comme dans cet article, la limite lim←−^NBun_G,N(Fq)est égale à G(F)\G(A⊗_FF)Gal(F /F)

. Or cette dernière expression garde un sens pour les corps de nombres et pour éviter des problèmes topologiques on peut remarquer qu’elle est aussi égale à

G( ˇF)\G(A⊗_F Fˇ)Gal( ˇF /F)

où Fˇ est une extension finie galoisienne de F sur la- quelle G est déployé. On peut donc espérer que si F est un corps de nombres et siΞ est un réseau dansZ(F)\Z(A), la partie discrète

L²_disc

G(F)\G(A⊗_F F)Gal(F /F)

/Ξ,C (2.5)

admette une décompositioncanonique indexée par les classes de conjugaison par G(b C) de paramètres d’Arthur elliptiques. Comme dans le cas des corps de fonc- tions, on a

G(F)\G(A⊗_F F)Gal(F /F)

= [

α∈ker¹(F,G)

G_α(F)\G_α(A)

où ker¹(F, G)est fini et G_α est une forme intérieure de G. Le cas particulier qui ressemble le plus au cas des corps de fonctions est celui des formes automorphes

cohomologiques. En effet la partie cohomologique de (2.5) est définie surQet on peut se demander si elle admet une décomposition canonique surQ indexée par les classes d’équivalence de paramètres d’Arthur elliptiques.

2.7. Importance de la somme sur ker¹. Dans le cas non-déployé on ne sait pas si l’inclusion

C_c^cusp(G(F)\G(A)/K_NΞ,Q`)⊂C<sub>c</sub><sup>cusp</sup>(Bun<sub>G,N</sub>(Fq)/Ξ,Q`)

(correspondant au termeα= 0dans le membre de droite de (2.1)) est compatible avec la décomposition (1.1), même après avoir regroupé lesσ différant par un élé- ment de ker¹(F, Z(G)(b Q^{`</sup>)). On ne possède donc aucune décomposition canonique pour l’espaceC<sub>c</sub><sup>cusp</sup>(G(F)\G(A)/K<sub>N</sub>Ξ,Q<sup>`}).

2.8. Coefficients dans les corps finis. Soit OE l’anneau des entiers de E. Lorsque la fonction f est définie sur OE, S_{I,f,(γi)i∈I} préserve C_c^cusp(Bun_G,N(Fq)/Ξ,OE)). Par décomposition sprectrale des réductions de ces opérateurs modulo l’idéal maximal de OE on obtient une décomposition de C_c^cusp(Bun_G,N(Fq)/Ξ,F`)) indexée par les classes de G(b F`)-conjugaison de morphismes σ : Gal(F /F) → ^LG(F`) définis sur un corps fini, continus, faisant commuter un diagramme analogue à (2.4), et complètement réductibles au sens de Jean-Pierre Serre (c’est-à-dire que si l’image est incluse dans un parabolique de^LG, elle est incluse dans un Levi associé).

2.9. Paramétrisation locale. La paramétrisation de Langlands locale et la compatibilité local-global seront traitées dans un article en cours de rédaction avec Alain Genestier. Elles résulteront de l’énoncé suivant : siv est une place de X (éventuellement dans N) et si tous les γ_i appartiennent à Gal(F_v/F_v), alors S_{I,f,(γi)i∈I} est égal à l’action d’un élément du centre de Bernstein de G(F_v).

2.10. Multiplicités. Ce travail ne dit rien sur les multiplicités, et en particulier pour quels paramètres de Langlands σ l’espace H_σ est non nul.

3. Construction des opérateurs d’entrelacements et démonstration de la proposition 1.2.

On rappelle que BunG (resp. BunG,N) est le champ dont les points sur un schéma S surF^q classifient les G-torseurs G surX×S localement triviaux pour la topologie étale (resp. munis d’une trivialisation sur N ×S).

Soit I un ensemble fini. On note Hecke_I l’ind-champ sur X^I dont les points sur un schémaS surFq classifient la donnée

i) de pointsx_i :S →X pouri∈I,

ii) de G0 et G1 dans Bun_G(S) (c’est-à-dire que G0 et G1 sont des G-torseurs surX×S),

iii) et d’un isomorphisme φ:G0

(X×S)r(S

i∈IΓ_xi)

→∼ G1

(X×S)r(S

i∈IΓ_xi)

oùΓxi ⊂X×S désigne le graphe de xi.

Pour abréger un tel point de Hecke_I sur S sera noté (x_i)i∈I,(G0

−φ

→G1) . Si W =N

i∈IW_i est une représentation irréductible de (G)b ^I on note Hecke_I,W le champ (localement de type fini) qui est le sous-champ fermé et réduit de Hecke_I défini par la condition que pour touti∈I, la position relative deG1 par rapport à G0 enx_i est inférieure ou égale au copoids dominant deGégal au poids dominant de W_i (cette condition est claire lorsque les x_i sont deux à deux distincts et on prend ensuite l’adhérence de Zariski).

La grassmanienne affine de Beilinson-Drinfeld est l’ind-schémaGr_I surX^Idont les points sur un schéma S sur Fq classifient la donnée de

(xi)i∈I,(G0

−φ

→G1)

∈HeckeI(S)

et d’une trivialisation de G1 (sur X ×S tout entier). Pour toute représentation irréductibleW de(G)b ^I on note Gr_I,W le sous-schéma fermé de Gr_I défini par la condition que

(x_i)i∈I,(G0

−φ

→G1)

∈Hecke_I,W(S).

SiW n’est pas irréductible on définitGr_I,W comme la réunion des Gr_I,U pourU composante irréductible deW.

Lorsque I est un singleton, Gr_I est un ind-schéma sur X dont la fibre en un point géométrique xest le quotient fpqc G(F_x)/G(O_x). Il est bien connu que les G(O_x)-orbites dans G(F_x)/G(O_x)(pour l’action à gauche) sont en bijection avec les copoids dominants deG, donc avec les poids dominants de G, et sib W est une représentation irréductible de (G)b ^I = G,b Gr_I,W est caractérisé par le fait que sa fibre enx est l’adhérence de la G(O_x)-orbite associée au poids dominant de W.

PourI quelconque, on a une identification canoniqueθ entre les restrictions de Gr_I et de Q

i∈IGr{i} au-dessus de l’ouvertU deX^Iformé des(x_i)i∈Itels que lesx_i soient deux à deux disjoints. PourW =N

W_i irréductible, la restriction deGr_I,W àU correspond alors par cette identificationθ à la restriction de Q

i∈IGr{i},Wi à U et GrI,W est égal à l’adhérence de Zariski de sa restriction àU.

Le lemme de descente de Beauville-Laszlo (qui implique en particulier l’iden- tification θ ci-dessus) affirme que l’on obtient la même définition pour Gr_I si on demande seulement que G0 et G1 (qui est trivialisé) soient des G-torseurs sur le voisinage formel Γ^P_∞xi de la réunion des graphes des x_i dans X ×S. On note G^P_i∈I∞x_i le schéma en groupes formels sur X^I dont les points surS sont la don- née desx_i :S →X et d’une section deG sur Γ^P_∞xi. Alors G^P_∞xi agit surGr_I par changement de trivialisation de G1. SiI est un singleton, la fibre de G∞x en un point géométrique x de X est G(Ox) et on retrouve l’action déjà considérée deG(Ox) sur la fibre de Gr_I enx, qui est égale au quotient fpqc G(F_x)/G(Ox).

Pour toute famille d’entiers (n_i)i∈I ∈N^I on note Γ^P_nixi le sous-schéma fermé de X ×S correspondant au diviseur de Cartier effectif relatif P

n_ix_i. On note G^P_nixi le schéma en groupes lisses sur X^I dont les points sur S sont la donnée des x_i : S → X et d’une section de G sur Γ^P_nixi. Autrement dit G^P_nixi est la restriction à la Weil de G du sous-schéma fermé de X associé à P

n_ix_i vers le point.

Les chtoucas ont été introduits par Drinfeld pour GL_r et généralisés aux groupes réductifs (et aux copoids arbitraires) par Varshavsky (entre-temps le cas des algèbres à division a été étudié par Laumon-Rapoport-Stuhler, Laurent Lafforgue, Ngô Bao Châu et Eike Lau).

L’ind-champ desG-chtoucas Cht_I (qui sera aussi noté Cht^(I)_I dans la suite) est défini comme l’ind-champ dont les points surS classifient la donnée de

(xi)i∈I,(G0

−φ

→G1)

∈HeckeI(S) et d’un isomorphismeG1 '^τG0, où

τG0 := (Id_X×Frob_S)^∗(G0).

Pour toute représentation irréductible W de (G)b ^I on définit de même le sous- champ fermé Cht_I,W de Cht_I en remplaçant Hecke_I par Hecke_I,W. Le champ Cht_I,W est un champ de Deligne-Mumford localement de type fini. Par tron- cature de Harder-Naramsimhan sur G0 on l’écrit comme une réunion croissante d’ouverts Cht^≤µ_I,W (indexés par les copoids dominantsµ du groupe adjoint de G).

Les quotients Cht^≤µ_I,W/Ξ sont de type fini.

Pour définir les morphismes de Frobenius partiels (dus à Drinfeld) on a besoin d’une variante des ind-champs Hecke_I et Cht_I où la modification G0

−φ

→ G1 est remplacée par une suite de modifications. Soit(I₁, ..., I_k)une partition ordonnée deI. On note Hecke^(I_I^1,...,Ik) l’ind-champ dont lesS-points classifient la donnée de

(x_i)i∈I,(G0 φ1

−→G1· · ·−→^φk Gk) (3.1)

oùG0, ...,Gk sont desG-torseurs surX×S et pour toutj ∈ {1, ..., k},φ_j est une modification en lesx_i pour i∈I_j, c’est-à-dire un isomorphisme

φ_j :Gj−1

(X×S)r(S

i∈IjΓ_xi)

→∼ Gj

(X×S)r(S

i∈IjΓ_xi). On introduit de même Hecke^(I_I,W^1,...,Ik) puis on définit

– Gr^(I_I^1,...,Ik) etGr^(I_I,W^1,...,Ik) en demandant en plus une trivialisation de Gk, – Cht^(I_I^1,...,Ik) et Cht^(I_I,W^1,...,Ik) en demandant en plus un isomorphisme Gk '^τG0. Le morphisme de Frobenius partiel est le morphisme

F_I1 : Cht^(I_I^1,...,Ik)→Cht^(I_I^2,...,Ik,I1) (G0

φ1

−→G1· · ·−→^{φk τ}G0)7→(G1· · ·−→^{φk τ}G0

τφ1

−−→^τG1)

et il est au-dessus du morphisme Frob_I1 :X^I →X^I qui envoie (x_i)i∈I sur(x⁰_i)i∈I

avec x⁰_i = Frob(xi) si i ∈ I1 et x⁰_i = xi sinon. La terminologie vient du fait que F_Ik· · ·F_I2F_I1 est le morphisme de Frobenius total de Cht^(I_I^1,...,Ik).

On a un morphisme d’oubli évident

Hecke^(I_I^1,...,Ik) →Hecke^(I)_I = Hecke_I qui envoie (3.1) sur

(xi)i∈I,(G0 φk···φ₁

−−−−→Gk) .

On verra que le morphisme

Cht^(I_I,W^1,...,Ik)→Cht^(I)_I,W = Cht_I,W

qui s’en déduit est petit (pour W irréductible) et que les champs Cht^(I_I,W^1,...,Ik) donnent lieu aux mêmes faisceaux de cohomologie d’intersection relativement à X^I que les champs Cht_I,W. Leur rôle est de permettre de définir l’action des morphismes de Frobenius partiels sur ces faisceaux de cohomologie.

On rappelle maintenant l’équivalence de Satake géométrique, due à Lusztig, Drinfeld, Ginzburg et Mirkovic-Vilonen (sous une forme expliquée par Gaitsgory dans son article sur la conjecture de de Jong). La catégorie des faisceaux per- vers G(O)-équivariants sur la grassmannienne affine est munie d’une structure tensorielle par le produit de fusion (ou de convolution) et d’un foncteur fibre (égal à la cohomologie totale, en changeant un peu la règle des signes). Elle est donc équivalente à la catégorie des représentations d’un groupe algébrique, qui s’avère être canoniquement isomorphe à G. On va utiliser seulement le foncteurb de la catégorie des représentations de Gb vers la catégorie des faisceaux pervers G(O)-équivariants sur la grassmiannenne affine, mais avec un nombre arbitraire de points de modification (alors que deux suffisent pour définir la fusion).

Théorème 3.1. (un sens de l’équivalence de Satake géométrique). On a des fonc- teurs canoniques E-linéaires

W 7→S^(I_I,W^1,...,Ik)

de la catégorie des représentations E-linéaires de dimension finie de (G)b ^I vers la catégorie des E-faisceaux pervers G^P∞x_i-équivariants sur Gr^(I_I^1,...,Ik). De plus S^(I_I,W^1,...,Ik) est supporté par Gr^(I_I,W^1,...,Ik) (et la normalisation perverse est relative à X^I). Ils vérifient les propriétés suivantes :

a) compatibilité aux morphismes d’oubli (des modifications intermédiaires) : S_I,W^(I) est canoniquement isomorphe à l’image directe de S^(I_I,W^1,...,Ik) par le mor- phisme d’oubli Gr^(I_I^1,...,Ik) →Gr^(I)_I ,

b) compatibilité à la convolution : si W =j∈{1,...,k}Wj où Wj est une repré- sentation de (G)b ^Ij, S^(I_I,W^1,...,Ik) est canoniquement isomorphe à l’image inverse de j∈{1,...,k}S^(IIj^j,W⁾j par le morphisme

Gr^(I_I^1,...,Ik)/G^P_i∈I∞xi →

k

Y

j=1

Gr^(I_Ij^j)/G^P_i∈

Ij∞xi

(G0 →G1 → · · · →Gk)7→

Gj−1

Γ^P_i∈

Ij∞xi →Gj

Γ^P_i∈

Ij∞xi

j=1,...,k

où les Gi sont des G-torseurs sur Γ^P_i∈I∞x_i

c) compatibilité à la fusion : soient I, J des ensembles finis etζ :I →J une application. On note

∆ζ :X^J →X^I, (xj)j∈J 7→(x_ζ(i))i∈I

le morphisme diagonal associé à ζ. On note encore ∆_ζ l’inclusion Gr^(J)_J = Gr^(I)_I ×_X^I X^J ,→Gr^(I)_I .

Soit W une représentation E-linéaire de dimension finie deGb^I. On noteW^ζ la représentation de Gb^J qui est la composée de la représentation W avec le morphisme diagonal

Gb^J →Gb^I, (g_j)j∈J 7→(g_ζ(i))i∈I. On a alors un isomorphisme canonique

∆^∗_ζ S^(I)I,W

'S^(J)_J,W^ζ (3.2)

qui est fonctoriel en W et compatible avec la composition pour ζ.

d) lorsque W est irréductible, le faisceau pervers (à décalage près) S^(II,W^1,...,Ik)

sur Gr^(I_I,W^1,...,Ik) est le faisceau d’intersection (avec la normalisation perverse relative à X^I).

On possède le morphisme

Cht^(I_I^1,...,Ik)→Gr^(I_I^1,...,Ik)/G^P_i∈I∞x_i

(G0 → · · · →Gk '^τG0)7→(G0

Γ^P

i∈I∞xi → · · · →Gk

Γ^P

i∈I∞xi).

Pour toute représentationW de(G)b ^I on noteF^(I_I,W^1,...,Ik)l’image inverse deS^(I_I,W^1,...,Ik) par ce morphisme. En bornant les modifications parW on peut remplacer, dans le morphisme précédent comme dans le théorème ci-dessus, les quotients par G^P_i∈I∞xi par des quotients par G^P_i∈Inixi si les entiers ni sont assez grands par rapport àW. De plus on montre facilement que le morphisme

Cht^(I_I,W^1,...,Ik)→Gr^(I_I,W^1,...,Ik)/G^P

i∈Inixi

est lisse. On en déduit que F^(I_I,W^1,...,Ik) est pervers (avec la normalisation relative à X^I) et isomorphe au faisceau d’intersection deCht^(I_I,W^1,...,Ik) si W est irréductible.

Pour tout copoids dominant µ du groupe adjoint de G on note Cht^(I_I,W^{1,...,Ik),≤µ} l’ouvert défini par la condition que le polygône de Harder-Narasimhan de G0 est

≤µ.

Lorsque G = GLr, I = {1,2}, W = StSt^∗, les champs Cht^({1},{2})_I,W , resp.

Cht^({2},{1})_I,W sont les champs de chtoucas à droite, resp. à gauche introduits par Drinfeld, etx₁ et x₂ sont le pôle et le zéro.

En général les x_i seront appelés les pattes du chtouca. On notera p^≤µ: Cht^(I_I,W^{1,...,Ik),≤µ}→X^I

le morphisme correspondant.

On rappelle que N est un sous-schéma fini deX. Etant donné un chtouca dont les pattes sont en dehors deN, c’est-à-dire un point de

Cht^(I_I,W^1,...,Ik) (XrN)^I

(S),

ses trivialisations au-dessus de N ×S forment un G(ON)-torseur sur S. On dé- finit ainsi Cht^(I_N,I,W^1,...,Ik), qui est un G(ON)-torseur sur Cht^(I_I,W^1,...,Ik)

(XrN)^I. On note F_N,I,W^(I1,...,Ik) l’image inverse de F^(I_I,W^1,...,Ik) et on possède

p^≤µ: Cht^(I_N,I,W^{1,...,Ik),≤µ}→(XrN)^I.

On rappelle que l’on a fixé un réseau Ξ⊂ Z(F)\Z(A). Alors Cht^(I),≤µ_N,I,W /Ξ est un champ de Deligne-Mumford de type fini. On pose

H^0,≤µN,I,W =R⁰ p^≤µ

! F^(IN,I,W^1,...,Ik)

Cht^(I_N,I,W^{1,...,Ik),≤µ}/Ξ

.

C’est un E-faisceau constructible sur (X rN)^I. Grâce au a) du théorème 3.1, le membre de droite ne dépend pas de la partition (I₁, ..., I_k). Lorsque W est irréductible il s’agit donc de la cohomologie d’intersection à support compact, en degré moitié, de Cht^(I),≤µ_N,I,W /Ξ relativement à (XrN)^I. L’intérêt de la définition que nous avons donnée à l’aide des faisceaux de Mirkovic-Vilonen (qui est vrai- ment fonctorielle en W, grâce au foncteur fibre de Mirkovic-Vilonen) est qu’elle fournit l’isomorphisme de coalescence suivant, de façoncanonique. Soit ζ :I →J une application. On rappelle que W^ζ désigne la représentation de Gb^J qui est la composée de la représentation W avec le morphisme diagonal

Gb^J →Gb^I,(g_j)j∈J 7→(g_ζ(i))i∈I. On note

∆_ζ :X^J →X^I,(x_j)j∈J 7→(x_ζ(i))i∈I

(3.3)

le morphisme diagonal. Alors (comme il apparaît déjà dans un preprint non pu- blié de Braverman et Varshavsky) on a un isomorphisme canoniquede faisceaux constructibles sur(XrN)^J, dit decoalescence :

χ_ζ : ∆^∗_ζ(H^0,≤µ_N,I,W)→^∼ H^0,≤µ_N,J,Wζ. (3.4)

En effet on a

Cht^(J)_N,J = Cht^(I)_N,I×_X^I X^J ,→Cht^(I)_N,I

et le c) du théorème 3.1 fournit un isomorphisme canonique entre F^(J)_N,J,W^ζ et l’image inverse de FN,I,W^(I) .

Les morphismes de Frobenius partiels fournissent, pour tout i(en prenant une partition (I₁, ..., I_k) telle que I₁ ={i}) un morphisme

F{i} : Frob^∗_{i}(H_N,I,W^0,≤µ )→H^0,≤µ+κ_N,I,W (3.5)

de faisceaux constructibles sur (XrN)^I (où κ est assez grand en fonction de W, et où l’on rappelle que Frob{i} : X^I → X^I agit par Frob_X sur la copie i, et par Id_X sur les autres). L’augmentation deµ est due au fait que les morphismes de Frobenius partiels changent G0 en G1. On possède des actions similaires des opérateurs de Hecke (qui elles aussi augmententµ par des constantes).

Quand W = 1, Cht_N,I,1 est le produit de (X rN)^I avec le champ discret Bun_G,N(Fq). Donc la fibre de lim−→^µHN,I,1^0,≤µ en n’importe quel point de (X rN)^I est égale àCc(BunG,N(F^q)/Ξ, E).

En général on considère lim−→^µH^0,≤µ_N,I,W comme un système inductif deE-faisceaux constructibles sur (X rN)^I. On note η le point générique de X et η un point géométrique au-dessus deη, de sorte queGal(F /F) =π₁(η, η). On note ∆ :X → X^I le morphisme diagonal.

Un lemme de Drinfeld affirme qu’un OE-faisceau constructible sur (XrN)^I muni d’une action des morphismes de Frobenius partiels se prolonge en un fais- ceau lisse sur un ouvert de la formeU^I et donne lieu à une action de Gal(F /F)^I sur la fibre en∆(η) (de ce prolongement). On ne peut pas appliquer directement le lemme de Drinfeld car les morphismes de Frobenius partiels augmentent µ.

Dans l’article on l’applique à la partie “Hecke-finie” de lim−→^µH^0,≤µ_N,I,W grâce aux relations d’Eichler-Shimura qui permettent de déduire d’une finitude par rapport aux opérateurs de Hecke une finitude par rapport aux morphismes de Frobenius partiels. Il faut considérer la partie “Hecke-finie” de la cohomologie comme un ersatz de “cohomologie cuspidale”. On devrait pouvoir définir une telle cohomo- logie cuspidale (à l’aide d’idées de Varshavsky). De façon optimiste on aurait un sous-faisceau

H^cuspN,I,W ⊂lim−→

µ

HN,I,W^0,≤µ

lisse sur(XrN)^I, constructible, préservé par toutes les opérations et muni d’une OE-structure naturelle (pour appliquer le lemme de Drinfeld). On va expliquer maintenant la preuve de la proposition 1.2 sous cette hypothèse (la preuve réelle utilise les mêmes idées mais avec des complications supplémentaires).

On pose alors (en omettant N dans la notation suivante pour limiter la taille des diagrammes)

H_I,W =HN,I,W^cusp

∆(η).

LesH_I,W vérifient alors les axiomes suivants (où l’on omet les actions des opéra- teurs de Hecke) :

a)pour tout ensemble fini I,

W 7→H_I,W, u7→H(u)

est un foncteur E-linéaire de la catégorie des représentations E-linéaires de dimension finie de (G)b ^I vers la catégorie des représentations continues E- linéaires de dimension finie de Gal(F /F)^I,

b) pour toute application ζ :I →J, on a un isomorphisme χ_ζ :H_I,W →^∼ H_J,W^ζ,

qui est

– fonctoriel en W, où W est une représentation de (G)b ^I et W^ζ désigne la représentation de(G)b ^J surW obtenue en composant avec le morphisme diagonal

(G)b ^J →(G)b ^I,(gj)j∈J 7→(g_ζ(i))i∈I

– Gal(F /F)^J-équivariant, où Gal(F /F)^J agit sur le membre de gauche par le morphisme diagonal

Gal(F /F)^J →Gal(F /F)^I, (γ_j)j∈J 7→(γ_ζ(i))i∈I

– et compatible avec la composition, c’est-à-dire χ_ζ◦ζ⁰ =χ_ζ ◦χ_ζ⁰, c)pour I =∅et W =1, on a un isomorphisme

H∅,1 =C_c^cusp(G(F)\G(A)/K_NΞ, E).

Voici l’idée de la preuve de la proposition 1.2 à l’aide des axiomes a), b), c) ci-dessus.

En appliquant b) à l’application évidente ζ∅ : ∅ → {0}, on obtient un isomor- phisme

χ_ζ∅ :H∅,1 →∼ H{0},1. (3.6)

Grâce à c) et à (3.6), il suffit de construire les opérateurs d’excursion S_{I,f,(γi)i∈I} surH{0},1 en utilisant a) et b), et de montrer leurs propriétés.

Soit I un ensemble fini, f une fonction sur G\(b G)b ^I/Gb et (γi)i∈I ∈Gal(F /F)^I. Alors il existe

– une représentation E-linéaire W de(G)b ^I,

– x∈W et ξ∈W^∗ invariants par l’action diagonale de G,b tels que

f((gi)i∈I) =hξ,(gi)i∈I ·xi (3.7)

On note ζ_I : I → {0} l’application évidente, si bien que W^ζI est simplement W muni de l’action diagonale de G. Doncb x: 1→ W^ζI et ξ : W^ζI →1 sont des morphismes de représentations de G. On définit l’opérateurb

S_{I,W,x,ξ,(γi)i∈I} ∈End(H_{0},1) comme la composée

H{0},1 H(x)

−−−→H_{0},WζI

χ⁻¹_ζI

−−→∼ H_I,W −−−−→^(γi)i∈I H_I,W−−→^χ∼^ζI H_{0},WζI

H(ξ)

−−→H{0},1. (3.8)

Cet opérateur sera appelé “opérateur d’excursion” car en paraphrasant (3.8) il est la composée

– d’un opérateur de création, dont l’effet est de créer des pattes en le même point (générique) de la courbe,

– d’une action de Galois, qui promène les pattes sur la courbe indépendamment les unes des autres, puis les ramène au même point (générique) de la courbe, – d’un opérateur d’annihilation, qui supprime les pattes.

On définit alors

S_{I,f,(γi)i∈I} ∈End(H{0},1) en posant

S_{I,f,(γi)i∈I} =S_{I,W,x,ξ,(γi)i∈I}

pour tout choix de W, x, ξ tels que (3.7) soit vérifié. Le fait que S_{I,W,x,ξ,(γi)i∈I} ne dépend pas de ce choix se démontre facilement à l’aide de (3.10) ci-dessous.

Voici l’heuristique pour comprendre cette définition. On l’écrit en italiques pour la séparer du corps du raisonnement. Pour G=GL_r (suivant Varshavsky) ou en général en négligeant les problèmes d’endoscopie on s’attend à ce que l’on ait a posteriori

H_I,W =M

H_σ⊗W_σ^I (3.9)

oùW_σ^I est la représentation deGal(F /F)^I obtenue à partir deW par composition avec σ^I : Gal(F /F)^I → (G)b ^I. Selon cette heuristique, S_{I,W,x,ξ,(γi)i∈I} agit sur H_σ par le produit tensoriel de Id_Hσ avec la composée

E −→^x W_σ^I −−−−−→^{(σ(γi))i∈I} W_σ^I −→^ξ E c’est-à-dire par produit par le scalaire

hξ,(σ(γi))i∈I.xi=f((σ(γi))i∈I)

comme on l’attend dans l’énoncé du théorème 1.1. On oublie maintenant cette heuristique.

A partir des axiomes a), b), c) et de la construction (3.8) on montre facilement les propriétés suivantes des opérateurs d’excursion et donc la proposition 1.2.

La première propriété (expliquée pendant l’exposé) est la suivante. Siu:W → W⁰ est un morphisme de représentations de (G)b ^I, x ∈ W et ξ⁰ ∈ (W⁰)^∗ alors en posantx⁰ =u(x)∈W⁰ etξ =^tu(ξ)∈W^∗ on a

S_I,W⁰_,x⁰_,ξ⁰_,(γi)i∈I =S_{I,W,x,ξ,(γi)i∈I}. (3.10)

Démonstration de (3.10).On a un diagramme commutatif H_{0},(W0)^ζI

χ⁻¹_ζI

// H_I,W^{0(γi)i∈I//}H_I,W^{0 χζI//}H_{0},(W0)^ζI H(ξ⁰)

%%K

KK KK KK KK K

H{0},1 H(x)

//

Hss(xss⁰)sssss99 s

H_{0},WζI

H(u)

OO

χ⁻¹_ζI

// H_I,W

H(u)

OO

(γi)i∈I

//H_I,W

H(u)

OO

χ_ζI //H_{0},WζI

H(u)

OO

H(ξ)

//H{0},1

dont la ligne du bas est égale à S_{I,W,x,ξ,(γi)i∈I} et celle du haut est égale à

SI,W⁰,x⁰,ξ⁰,(γi)i∈I.

Les autres propriétés (non détaillées dans l’exposé) sont S_J,W^ζ_{,x,ξ,(γj)j∈J} =S_{I,W,x,ξ,(γζ(i))i∈I}, (3.11)

S_{I1∪I2,W1W2,x1x2,ξ1ξ2,(γ}¹

i)i∈I1×(γ_i²)i∈I2 =S_{I1,W1,x1,ξ1,(γ}¹

i)i∈I1 ◦S_{I2,W2,x2,ξ2,(γ}²

i)i∈I2, (3.12)

S_{I,W,x,ξ,(γi(γ}⁰

i)⁻¹γ_i⁰⁰)i∈I =S_I∪I∪I,WW^∗_{W,δWx,ξevW,(γi)i∈I×(γ}⁰

i)i∈I×(γ_i⁰⁰)i∈I

(3.13)

où la plupart des notations sont évidentes, I₁ ∪I₂ et I ∪ I ∪ I désignent des réunions disjointes, etδ_W : E → W ⊗W^∗ et ev_W : W^∗⊗W →E sont les mor- phismes naturels. On remarque que (3.12) entraîne que les opérateurs d’excursion commutent entre eux.