Universit´e de Rouen Facult´e des Sciences
Licence de Math´ematiques. Topologie 1993-1994 T.D. de TOPOLOGIE - Fiche No 6 : COMPACITE
Sauf mention contraire, dans toute la fiche,E d´esigne un espace topologique s´epar´e.
Exercice 1 : Soient (xn)n∈N une suite de E et xun ´el´ement de E. Montrer que si (xn)n∈N
converge versx, alors{x, x0, x1, . . . , xn, . . .} est un compact deE.
Exercice 2 :SoientAet B deux parties deE. Montrer que :
a) siAest compacte etx /∈A, alorsxetAadmettent des voisinages ouverts disjoints.
b) siAetB sont compactes et disjointes, alorsAetB admettent des voisinages ouverts disjoints.
Exercice 3 :Soient (Kn)n∈Nune suite d´ecroissante de compacts non vides deE.
Montrer que :
• K= \
n∈N
Kn est un compact non vide deE.
• si un ouvert contientK, il contient aussi un desKn.
Exercice 4 : Soient Rn muni de la distance euclidienne not´ee d, et A un ferm´e non vide deRn. On pose∀x∈Rn , d(x, A) = inf
a∈Ad(x, a).
• Montrer que∀x, il existe un pointaxdeAtel que d(x, ax) =d(x, A).
Exercice 5 : Soit (E, d) un espace m´etrique. Pour des parties A et B non vides de E.
On pose :d(A, B) = inf
d(a, b)/ a∈A, b∈B . Montrer que : a) on peut avoird(A, B) = 0 avecAetB ferm´es et disjoints.
b) siAest compact etB ferm´e, alors
d(A, B) = 0 ⇒ A∩B6=∅ .
c) siAet B sont des compacts, alors il existea∈A,b∈B tels qued(a, b) =d(A, B).
Exercice 6 :SoientE etF s´epar´es,Aun compact deE,Bun compact deF. Montrer que : a) A×B est une partie compacte de E×F pour la topologie produit.
b) faire une d´emonstration plus simple dea) quandE etF sont m´etriques.
c) siW est un ouvert deE×F contenantA×B, alors il existeU ouvert deE, V ouvert deF v´erifiantA⊂U, B⊂V etU×V ⊂E×F.
Exercice 7 : Soient E un espace vectoriel norm´e, A une partie compacte et B une partie ferm´ee de E. Montrer que :
• A+B est ferm´e dansE.
• si de plusB est compacte, alorsA+B est compacte.
Exercice 8 :Montrer que les propositions suivantes sont ´equivalentes : (i) E est un espace localement compact.
(ii) soient x ∈ E, et V ∈ V(x) ; montrer qu’il existe un ouvert U de E relativement compact tel que :x∈U etU ⊂V.
(iii) la topologie deE admet une base constitu´ee d’ouverts relativement compacts.
Exercice 9 :SoitX un espace localement compact :
• soitx∈X et F un ferm´e deX ne contenant pasx. Montrer qu’il existe deux ouverts deX disjointsU1et U2 tels quex∈U1 etF ⊂U2.
• toute partie compacte deE admet une base de voisinages relativement compacts.
Exercice 10 :Soit (E, d) un espace m´etrique v´erifiant : pour toutx∈Eil existeε >0 tel que B(x, ε) soit compact. Montrer queE est localement compact.
Exercice 11 : SoitE un espace localement compact. Montrer que siA est un ferm´ee deE, alorsAest un sous-espace localement compact deE. La r´eciproque est-elle vraie ?
Exercice 12 : Montrer que tout ouvert d’un espace compact est un sous-espace locale- ment compact.
Exercice 13 : SoientA,B deux parties de E v´erifiantB ⊂A. Comparer les 2 propositions suivantes :
(i) B est relativement compact dansE.
(ii) B est relativement compact dansA.
Exercice 14 :Soient (E, d1) un espace m´etrique compact etd2une distance surE. On suppose qu’il existek >0 tel qued2< k.d1. Comparer les topologies induites surEpar les distances d1et d2.
Exercice 15 :SoientT1,T2,T3, 3 topologies d´efinies sur un ensembleXtelles queT1⊂ T2⊂ T3
et telles que (E,T2) soit compact. Montrer que :
• siT1 est s´epar´ee, alorsT1=T2.
• siT36=T2, alors (E,T3) n’est pas compact.
CONTINUITE ET COMPACITE
Exercice 16 :Montrer qu’une applicationf continue d’un espace compactE dans un espace s´epar´e F est ferm´ee (i.e l’image d’un ferm´e est un ferm´e). En d´eduire que si f est une bijection continue deE dansF, alors c’est un hom´eomorphisme.
Exercice 17 :SoientE un espace topologique s´epar´e,F un espace compact etAune partie ferm´ee deE×F. Montrer que la projection deAsurEest ferm´ee. Donner un contre-exemple avecF non compact, o`u la projection d’un ferm´e deE×F surE, n’est pas un ferm´e de E.
En d´eduire qu’une applicationf deE dansF est continue si et seulement si le graphe def est ferm´e dansE×F.
Exercice 18 :Soit F un espace m´etrique. On suppose que pour tout espace m´etrique E et toute partie ferm´ee Ade E×F, la projection deAsurE est ferm´ee. Montrer alors queF est compact. (Prendre une suite deF et E={∅} ∪ {n1}n∈
N∗.)
Exercice 19 : Soient E et F deux espaces topologiques s´epar´es et f une application de E dansF v´erifiant : pour tout compactK deE, la restrictionfK def `aK est continue.
L’applicationf est-telle continue si : a) E etF sont quelconques ?
b) E etF sont m´etriques ? c) E est localement compact ?
Exercice 20 :SoientEetF deux espaces topologiques s´epar´es etf une application injective deE dansF et v´erifiant : pour tout compactK deE,f(K) est un compact deF.
L’applicationf est-telle continue si : a) E etF sont quelconques ?
b) E etF sont m´etriques ?
c) E est localement compact ? Trouver un contre-exemple avecf non injective.
Exercice 21 :SoientEun espace topologique localement compact,F un espace topologique s´epar´e et f une application continue de E dans F. L’image f(E) est-elle une partie localement compacte deF?
Exercice 22 :Soient (E, d) un espace m´etrique compact etf une application deE dansE.
Montrer que sif conserve la distance d(f(x), f(y)) =d(x, y)
,f est un hom´eomorphisme.
Exercice 23 : Soient E un espace compact et f une application continue de E dans E.
Montrer qu’il existe une partieAferm´ee non vide deE telle quef(A) =A.
