Les complexes Part-Oane
I- Introduction
1) Le nombre i
Que représente le nombre i 1) algébriquement ? 2) géométriquement ?
Le nombre i est un nombre ditcomplexedéfini par
i2 “ ´1. Définition
RemarqueSi les points d’une droite sont des nombres, on doit pouvoir comprendre géométriquement la significa- tion des opérations élémentaires entre nombres :
• xÞÑx´1peut-être vu comme une translation ;
• xÞÑ2xpeut-être vu comme une homothétie ;
• xÞÑ ´xpeut-être vu comme une symétrie ;
• multiplier deux nombres revient à composer les transformations qui leur sont associées.
RemarqueLe nombre´1est associé à la symétrie par rapport à l’origine sur la droite, c’est-à-dire à une rotation d’un demi-tour.
Chercher une racine carrée pour´1, c’est chercher une transformation qui, effectuée deux fois de suite, serait une rotation d’un demi-tour.
Le nombre imaginaire i est associé à la rotation d’un quart de tour.
Propriété
Faire deux rotations d’un quart de tour, c’est faire une rotation d’un demi-tour, c’est-à-dire multiplier par´1.
On retrouve bien i2 “ ´1.
xÞÑi¨xpeut-être vue comme une rotation de centreOet d’angle π2. Propriété
RemarquePour éviter toute confusion, le plan « complexe » est muni d’un repère orthonormé qui sera noté pO;#»u ,#»vq.
2) Les nombres complexes sous forme algébrique
Géométriquement, que représente 1) Le nombre complexex`i¨y?
2) La somme de deux nombres complexes ?
#xest l’abscisse du pointM yest l’ordonnée du pointM
Dire que M et OM# » ont pour coordonnées px;yq revient à dire que M et OM# » ont pour affixe
z“x`i¨y . Définition
#
xest la partie réelle dez, notéeRepzq yest la partie imaginaire dez, notéeImpzq
Ajouter deux nombres complexes peut-être vu comme ajouter deux vecteurs.
Propriété
Exemple
p´1,2´1,8iq ` p´2,8´1,4iq “ ´4´3,2i.
Pour multiplier deux nombres complexes, il suffit d’appliquer les règles usuelles de calculs dansR.
Propriété
Exemple
p2`1,5iq ˆ p´1`2,4iq “ ´5,6`3,3i.
L’ensemble des nombres complexes est notéC.
Définition
RemarqueCest alors un ensemble encore plus grand que tous les autres, et on a :NĂZĂDĂQĂRĂC.
L’écriturez “x`iy est l’écriturealgébriquedez(elle est associée aux coordonnées cartésiennespx; yqdu point d’affixez.
Définition
Remarque
• siImpzq “0, on az“x,zest donc réel,
• siRepzq “0, on az“iy, on dit quezest un imaginaire pur.
Exemple
Soitz“2`3i etz1“i´5, on a :
• z`z1“2`3i`i´5“ ´3`4i,
• z´z1“2`3i´ pi´5q “2`3i´i`5“7`2i,
• 2z´3z1“2p2`3iq ´3pi´5q “4`6i´3i`15“19`3i,
• zz1“ p2`3iqpi´5q “2i´10`3i2´15i“2i´10´3´15i“ ´13´13i,
• z2“ p2`3iq2“22`2ˆ2ˆ3i` p3iq2“4`12i`9i2“4`12i´9“ ´5`12i.
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire :
z“z1 ô x`iy“x1`iy1 ô x“x1ety“y1. Propriété
Exemple
Déterminerxetytels que :p1`iqx´y“2´3i (xPRetyPR)
II- Représentation graphique
On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal directpO;#»u , #»vq.
• Au pointMde coordonnéespa;bqon peut associer le nombre complexez“a`ib, On dit quez“a`ibest l’affixe du pointM.
• Au vecteurw#»de coordonnéespa;bqon peut associer le nombre complexez“a`ib, On dit quez“a`ibest l’affixe du vecteurw.#»
• Lorsqu’on repère un point ou un vecteur par son affixe dans un repère orthonormal direct, on dit qu’on se place dans le plan complexe.
Définition
0 #»u
#»v
w#»
Mpz“a`ibq
a
b b
Exemple
On place dans le plan complexe les pointsMid’affixeszi :
• z1“2`3i
• z2“3`i
• z3“ ´1`2i
• z4“2´i
• z5“i
• z6“ ´2i
• z7“ ´2
• z8“ ´i´3
b
M1
b
M2
b
M3
b
M4
b
M5
b
M6
b
M7
b
M8
bi
0 1
SoientAetBles points d’affixes respectifszAetzB. Soient w#»et# »
w1 les vecteurs d’affixes respectifszwetzw1. Soitkun nombre réel non nul.
• Le vecteurAB# »a pour affixezB´zA,
• Le vecteur w#»`# »
w1a pour affixezw`zw1.
• Le vecteurkw#»a pour affixekˆzw.
• Le milieuI derABsa pour affixezI“ zA`zB
2 . Propriété
Exemple
SoientAp3`iq,Bp2´2iq,Cp2iqetDp1`5iq.
Démontrer de deux manières différentes que ABCD est un parallélogramme.
III- Conjugué d’un complexe
On appelleconjuguédu nombre complexez“a`ible nombrez“a´ib.
Définition
Géométriquement, siM1est le point d’affixez, le pointM2d’affixezest le symétrique deM1par rapport à l’axe des abscisses.
0 #»u
#»v
M1pzq
M2pzq M3p´zq
M4p´zq
a b
´ a
´ b
Exemple
Soitz“3`5ietz1“ ´2`3i, on a :
• z`z1“ p3`5iq ` p´2`3iq “1`8i,
zˆz1“ p3`5iq ˆ p´2`3iq “ ´6`9i´10i`15i2“ ´6´i´15“ ´21´i.
• z“3´5i, z1“ ´2´3i.
• z`z1“ p3´5iq ` p´2´3iq “1´8i, z`z1 “1´8i.
• zˆz1“ p3´5iq ˆ p´2´3iq “ ´6´9i`10i`15i2“ ´6`i´15“ ´21`i, zˆz1“ ´21`i.
1) Calculs avec le conjugué
Soitzetz1deux nombes complexes, alors :
• z`z1 “z`z1.
• zˆz1 “z ˆz1.
• z“z.
• @nPN‹;pznq “zn
• zPRðñz“z.
• zPiRðñz“ ´z.
• Repzq “ 1
2pz`zq.
• Impzq “ 1
2ipz´zq.
Propriété
2) Inverse d’un complexe
Soitz“a`ib, on a :zz“ pa`ibqpa´ibq “a2´ pibq2 “a2`b2qui est un nombre réel.
Ainsi, on a :
1 z “ z
zz “ z
a2`b2 “ a´ib a2`b2.
Tout nombre complexe non nulzadmet un inverse noté 1z Propriété
Exemple
Calculs d’inverses : 1) 1
1`i “ 1´i
p1`iqp1´iq “1´i 2 “ 1
2´1 2i. 2) 1
2´3i “ 2`3i
p2´3iqp2`3iq “ 2`3i 13 “ 2
13` 3 13i. 3) 2
i “2ˆ ´i iˆ ´i “´2i
1 “ ´2i.
4) 2`i
´3`i “ p2`iqp´3´iq
p´3`iqp´3´iq“ ´6´2i´3i`1
10 “´5´5i 10 “ ´1
2 ´1 2i.
Soitzetz1deux nombes complexes, alors :
• ˆ1
z
˙
“ 1
z. •
´z z1
¯
“ z z1. Propriété
IV- Equations du second degré
1) Racines carrées d’un nombre réel dansC
Tout nombre réel non nul admet deux racines dansC.
• Siaą0; alors les racines sont?
aet´? a.
• Siaă0; alors les racines sont i?
´aet´i?
´a.
Propriété
2) Equationaz2`bz`c“0
Soitaz2`bz`c“0une équation du second degré oùa;b;cPRaveca“0.
On pose∆“b2´4ac.
• Si∆ą0, l’équation du second degré admet deux solutions réelles distinctes : z1“ ´b`?
∆
2a et z2 “ ´b´?
∆ 2a .
• Si∆“0, l’équation du second degré admet une unique solution réelle : z0 “ ´b
2a.
• Si∆ă0, l’équation du second degré admet deux solutions complexes conjuguées : z1 “ ´b`i?
´∆
2a et z2 “ ´b´i?
´∆
2a . Propriété
Exemple
Résoudre dansCles équations suivantes : 1) z2´2z`2“0.
2) z2`6z`34“0.
3) z2´2 cosθz`1“0,θPR.
Exemple
SoitPpzq “z3´8z2`24z´32, oùzest un nombre complexe.
1) Vérifier quePp4q “0.
2) Déterminer les nombres réelsa,betctels que, pour tout nombre complexez, Ppzq “ pz´4qpaz2`bz`cq 3) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équationz2´4z`8“0.
4) En déduire les solutions de l’équationPpzq “0.
