INTEGRATION : démonstrations. Page 3 : théorème : démonstration. Soit

1 Page 3 : théorème : démonstration.

Soit 𝑓 une fonction continue et positive sur un intervalle [ 𝑎 ; 𝑏 ]. Faisons la démonstration dans le cas où 𝑓 est croissante (ROC).

Soit la fonction 𝐹 définie sur [ 𝑎 ; 𝑏 ] par 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑥 . 𝐹(𝑥) correspond à l’aire sous la courbe sur l’intervalle [ 𝑎 ; 𝑥 ].

Soit ℎ suffisamment proche de 0 pour que 𝑥 + ℎ soit dans l^′intervalle [ 𝑎 ; 𝑏 ]. On a 𝐹(𝑥 + ℎ) = ∫_𝑎^𝑥+ℎ𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝐹(𝑥 + ℎ) correspond à l’aire sous la courbe sur l’intervalle [ 𝑎 ; 𝑥 + ℎ ].

On en déduit que 𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥) correspond à l’aire sous la courbe sur l’intervalle

[ 𝑥 ; 𝑥 + ℎ ].

Cette aire est comprise entre les aires des rectangles de hauteurs respectives 𝑓(𝑥) et 𝑓(𝑥 + ℎ) c’est-à-dire qu’elle est comprise entre ℎ × 𝑓(𝑥) et ℎ × 𝑓(𝑥 + ℎ).

On a donc ℎ × 𝑓(𝑥) ≤ 𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥) ≤ ℎ × 𝑓(𝑥 + ℎ)

• Pour ℎ > 0, on a alors :

𝑓(𝑥) ≤ 𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)

ℎ ≤ 𝑓(𝑥 + ℎ)

• Pour ℎ < 0, on a alors :

𝑓(𝑥) ≥ 𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)

ℎ ≥ 𝑓(𝑥 + ℎ)

Or lim

ℎ→0𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥)

Donc d’après le théorème des gendarmes, on en déduit que :

ℎ→0lim

𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)

ℎ = 𝑓(𝑥)

𝐹 est donc dérivable sur [ 𝑎 ; 𝑏 ] et sa dérivée est 𝑓.

Donc F est une primitive de 𝑓 sur [ a ; b ].

De plus 𝐹(𝑎) correspond à l’aire sous la courbe sur l’intervalle [ 𝑎 ; 𝑎 ] et on a donc 𝐹(𝑎) = 0.

Sachant qu’il n’y a qu’une seule primitive de 𝑓 s’annulant en 𝑎 alors 𝐹 est l’unique primitive de 𝑓 s’annulant en 𝑎.

Le théorème peut facilement s’adapter au cas où 𝑓 est décroissante.

Le théorème est admis dans les autres cas.

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Faisons la démonstration sur un intervalle 𝐼 = [ 𝑎 ; 𝑏 ] dans le cas où 𝑓 a un minimum 𝑚.

• Si 𝑚 est positif, alors la fonction 𝑓est continue et positive sur [ 𝑎 ; 𝑏 ] et d’après la propriété précédente, 𝐹 définie par 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑥 𝑎

est une primitive de 𝑓 sur [ 𝑎 ; 𝑏 ] donc 𝑓 a des primitives sur 𝐼.

• Si 𝑚 est négatif, considérons la fonction 𝑔 définie sur [ 𝑎 ; 𝑏 ] par 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑚.

𝑔 est une fonction continue et 𝑔 > 0 sur [ 𝑎 ; 𝑏 ] car, pour tout 𝑥 de [ 𝑎 ; 𝑏 ]:

𝑓(𝑥) ≥ 𝑚 → 𝑓(𝑥) − 𝑚 ≥ 0 donc 𝑔(𝑥) ≥ 0 La propriété précédente permet de déduire que 𝑔 a une primitive 𝐺 sur [ 𝑎 ; 𝑏 ].

Considérons alors la fonction 𝐹 définie sur [ 𝑎 ; 𝑏 ] par 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥) + 𝑚𝑥.

𝐹 est dérivable sur [ 𝑎 ; 𝑏 ] et on a 𝐹^′(𝑥) = 𝐺^′(𝑥) + 𝑚 𝐹^′(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑚 𝐹^′(𝑥) = 𝑓(𝑥)

c’est-à-dire que 𝐹 est une primitive de 𝑓 sur [ 𝑎 ; 𝑏 ]. Donc 𝑓 a des primitives sur 𝐼.

Le théorème est admis dans les autres cas.

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• Soit 𝐹₀ une primitive de 𝑓 sur un intervalle 𝐼.

* Si 𝐹 est une fonction de la forme 𝐹 = 𝐹₀+ 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ, alors 𝐹 est dérivable sur 𝐼 car 𝐹 est la somme de deux fonctions dérivables sur 𝐼.

Comme la dérivée d’une constante est nulle, on a 𝐹^′= 𝐹′₀+ 0 = 𝐹′₀ donc 𝐹^′= 𝑓.

𝐹 est donc une primitive de 𝑓 sur 𝐼.

• Réciproquement, si 𝐹 est une primitive de 𝑓 sur 𝐼, alors 𝐹 est dérivable sur 𝐼 et on a 𝐹^′ = 𝑓.

Comme on sait que 𝐹₀ est une primitive de 𝑓 sur 𝐼, on a aussi 𝐹′₀= 𝑓.

On en déduit que 𝐹^′= 𝐹′₀ donc 𝐹^′− 𝐹^′₀= 0 c’est-à-dire (𝐹 − 𝐹₀)^′ = 0.

La dérivée de la fonction 𝐹 − 𝐹₀ est donc nulle sur 𝐼 donc 𝐹 − 𝐹₀ est une constante.

C’est-à-dire 𝐹 − 𝐹₀= 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ.

Donc 𝐹 = 𝐹₀+ 𝑘 avec 𝑘 ∈ ℝ.

L’ensemble des primitives de 𝒇 sur 𝑰 est l’ensemble des fonctions 𝑭 de la forme 𝑭 = 𝑭_𝟎+ 𝒌, 𝒌 ∈ ℝ.

• Soit 𝑓 une fonction ayant des primitives sur un intervalle 𝐼 ; soit 𝑥₀∈ 𝐼 et 𝑦₀∈ ℝ.

Considérons une primitive 𝐹₀ de 𝑓 sur 𝐼.

Alors toutes les primitives de 𝑓 sur 𝐼 sont les fonctions de la forme 𝐹 = 𝐹₀+ 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ.

𝐹(𝑥₀) = 𝑦₀ ⇔ 𝐹₀(𝑥₀) + 𝑘 = 𝑦₀

⇔ 𝑘 = 𝑦₀− 𝐹₀(𝑥₀)

La primitive 𝐹₀ étant choisie et les réels 𝑥₀ et 𝑦₀ aussi, le réel 𝑘 = 𝑦₀− 𝐹₀(𝑥₀) est unique.

Il existe donc une et une seule primitive 𝑭 de 𝒇 telle que 𝑭(𝒙_𝟎) = 𝒚_𝟎.

Cette primitive est définie pour tout 𝒙 de 𝑰 par : 𝑭(𝒙) = 𝑭_𝟎(𝒙) + 𝒚_𝟎− 𝑭_𝟎(𝒙_𝟎).

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Soit 𝑓 une fonction continue et positive sur un intervalle [ 𝑎 ; 𝑏 ]. On sait que la fonction 𝐻 définie pour tout 𝑥 de

[ 𝑎 ; 𝑏 ] par 𝐻(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑥 𝑎

est l^′unique primitive de 𝑓 s^′annulant en 𝑎.

On a alors 𝐻(𝑎) = 0 et 𝐻(𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

𝑏 𝑎

Soit 𝐹 une primitve de 𝑓 sur [ 𝑎 ; 𝑏 ].

𝐻étant aussi une primitive de 𝑓, on sait qu’il existe une constante 𝑘 telle que :

𝐹(𝑥) = 𝐻(𝑥) + 𝑘 pour tout 𝑥 ∈ [ 𝑎 ; 𝑏 ].

On a alors 𝐹(𝑎) = 𝐻(𝑎) + 𝑘 = 0 + 𝑘 = 𝑘 et 𝐹(𝑏) = 𝐻(𝑏) + 𝑘

Par conséquent 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝐻(𝑏) + 𝑘 − 𝐾 = 𝐻(𝑏)

𝐃𝐨𝐧𝐜 𝐅(𝐛) − 𝐅(𝐚) = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙

𝒃 𝒂

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• Soit 𝐹 une primitive de 𝑓 sur 𝐼 et soit 𝐺 une primitive de 𝑔 sur 𝐼.

𝐹 et 𝐺 étant dérivable sur 𝐼, on sait que 𝐹 + 𝐺 est dérivable sur 𝐼 et que (𝐹 + 𝐺)^′= 𝐹^′+ 𝐺′.

Donc 𝐹 + 𝐺 est une fonction dérivable sur 𝐼 dont la dérivée est 𝑓 + 𝑔.

Donc 𝑭 + 𝑮 est une primitive de 𝒇 + 𝒈 sur 𝑰.

• Soit 𝐹 une primitive de 𝑓 sur 𝐼 et 𝑎 un réel.

𝐹 est dérivable sur 𝐼 et 𝐹^′= 𝑓.

𝑎 étant un réel, on sait que 𝑎𝐹 est dérivable sur 𝐼 et que (𝑎𝐹)^′= 𝑎𝑓.

Donc 𝑎𝐹 est une fonction dérivable sur 𝐼 dont la dérivée est 𝑎𝑓.

Donc 𝒂𝑭 est une primitive de 𝒂𝒇 sur 𝑰.

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* On sait que (𝑢^𝑛+1)^′= (𝑛 + 1) 𝑢^′𝑢^𝑛

Donc 𝑢^𝑛+1 est une primitive de (𝑛 + 1) 𝑢^′𝑢^𝑛. Si 𝑛 + 1 ≠ 0, 1

𝑛 + 1 est une constante, donc 1

𝑛 + 1𝑢^𝑛+1 est une primitive de 1

𝑛 + 1(𝑛 + 1) 𝑢^′𝑢^𝑛 = 𝑢^′𝑢^𝑛.

Donc l’ensemble des primitives de 𝒖′ × 𝒖^𝒏 avec 𝒏 ∈ ℤ − {−𝟏} est l’ensemble des fonctions de la forme 𝟏

𝒏 + 𝟏 𝒖^𝒏+𝟏+ 𝒌 𝐚𝐯𝐞𝐜 𝒌 ∈ ℝ.

∗ (√𝑢)^′= 𝑢^′

2√𝑢donc √𝑢 est une primitive de 𝑢^′ 2√𝑢.

En multipliant par 2 on obtient que 2√𝑢 est une primitive de 𝑢^′

√𝑢.

𝐃𝐨𝐧𝐜 𝐥^′𝐞𝐧𝐬𝐞𝐦𝐛𝐥𝐞𝐝𝐞𝐬 𝐩𝐫𝐢𝐦𝐢𝐭𝐢𝐯𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝒖^′

√𝒖 𝐞𝐬𝐭 𝐥^′𝐞𝐧𝐬𝐞𝐦𝐛𝐥𝐞𝐝𝐞𝐬 𝐟𝐨𝐧𝐜𝐭𝐢𝐨𝐧𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐟𝐨𝐫𝐦𝐞 𝟐√𝒖 + 𝒌 𝐚𝐯𝐞𝐜 𝒌 ∈ ℝ.

∗ On sait que si 𝑢 est une fonction dérivable et strictement positive on a (ln 𝑢)^′ =𝑢^′ 𝑢.

Donc 𝑢′

𝑢 a pour primitive ln 𝑢.

Si 𝑢 est une fonction dérivable et strictement négative, (ln(−u))′ =−𝑢^′

−𝑢 =𝑢^′ 𝑢.

Donc 𝑢^′

𝑢 a pour primitive ln(−𝑢).

Donc si 𝑢 est strictement positive ou strictement négative,𝑢^′

𝑢 a pour primitive ln|𝑢|.

𝐃𝐨𝐧𝐜 𝐥^′𝐞𝐧𝐬𝐞𝐦𝐛𝐥𝐞 𝐝𝐞𝐬 𝐩𝐫𝐢𝐦𝐢𝐭𝐢𝐯𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝒖′

𝒖 𝐞𝐬𝐭 𝐥^′𝐞𝐧𝐬𝐞𝐦𝐛𝐥𝐞𝐝𝐞𝐬 𝐟𝐨𝐧𝐜𝐭𝐢𝐨𝐧𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐟𝐨𝐫𝐦𝐞 𝐥𝐧 |𝒖| + 𝐤 𝐚𝐯𝐞𝐜 𝐤 ∈ ℝ.

7 Donc 𝑢^′× 𝑒^𝑢 a pour primitive 𝑒^𝑢.

Donc l’ensemble des primitives de 𝒖^′× 𝒆^𝒖 est l’ensemble des fonctions de la forme 𝒆^𝒖+ 𝒌 𝐚𝐯𝐞𝐜 𝐤 ∈ ℝ.

∗ On sait que 𝑥 ⟼ cos (𝑎𝑥 + 𝑏)a pour dérivée 𝑥 ⟼ − 𝑎 sin (𝑎𝑥 + 𝑏)

donc 𝑥 ⟼ −1

𝑎cos (𝑎𝑥 + 𝑏)a pour dérivée 𝑥 ⟼ (−1

𝑎) × (−𝑎) × sin (𝑎𝑥 + 𝑏) c^′est − à − dire 𝑥 ⟼ sin(𝑎𝑥 + 𝑏) Donc l’ensemble des primitives de 𝒙 ⟼ 𝐬𝐢𝐧(𝒂𝒙 + 𝒃) est l’ensemble des fonctions de la forme

𝒙 ⟼ −𝟏

𝒂𝐜𝐨𝐬(𝒂𝒙 + 𝒃) + 𝒌 𝐚𝐯𝐞𝐜 𝒌 ∈ ℝ.

∗ On sait que 𝑥 ⟼ sin (𝑎𝑥 + 𝑏)a pour dérivée 𝑥 ⟼ 𝑎 cos (𝑎𝑥 + 𝑏)

donc 𝑥 ⟼1

𝑎sin(𝑎𝑥 + 𝑏)a pour dérivée 𝑥 ⟼1

𝑎× 𝑎 × cos(𝑎𝑥 + 𝑏) c^′est − à − dire 𝑥 ⟼ cos (𝑎𝑥 + 𝑏) Donc l’ensemble des primitives de 𝒙 ⟼ 𝐜𝐨𝐬 (𝒂𝒙 + 𝒃) est l’ensemble des fonctions de la forme 𝒙 ⟼𝟏

𝒂𝐬𝐢𝐧(𝒂𝒙 + 𝒃) + 𝒌 𝐚𝐯𝐞𝐜 𝒌 ∈ ℝ.

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∗ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑏)

𝑎 𝑏

= −(−𝐹(𝑎) + 𝐹(𝑏))

= −(𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎))

= − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏 𝑎

∗ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹(𝑐) − 𝐹(𝑎)] + [𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑐)]

𝑏 𝑐 𝑐

𝑎

= 𝐹(𝑐) − 𝐹(𝑎) + 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑐)

= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏 𝑎

* Une primitive de 𝑓 + 𝑔 sur 𝐼 est 𝐹 + 𝐺, par conséquent :

∫ (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = (𝐹(𝑏) + 𝐺(𝑏)) − (𝐹(𝑎) + 𝐺(𝑎))

𝑏 𝑎

= 𝐹(𝑏) + 𝐺(𝑏) − 𝐹(𝑎) − 𝐺(𝑎)

= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) + 𝐺(𝑏) − 𝐺(𝑎)

= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

𝑏 𝑎 𝑏

𝑎

On en déduit la relation ∶ ∫ 𝜆𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝜆 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏 𝑎 𝑏

𝑎

de la même façon en se basant sur le fait qu^′une

primitive de 𝜆𝑓 est λF.

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• Si 𝑓 est positive sur 𝐼, alors 𝐹 est croissante sur 𝐼.

Ainsi 𝑎 ≤ 𝑏 ⟺ 𝐹(𝑎) ≤ 𝐹(𝑏) Soit 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) ≥ 0 Donc ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0

𝑏 𝑎

• Si 𝑓 est négative sur 𝐼, alors 𝐹 est décroissante sur 𝐼.

Ainsi 𝑎 ≤ 𝑏 ⟺ 𝐹(𝑎) ≥ 𝐹(𝑏) Soit 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) ≤ 0 Donc ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 0

𝑏 𝑎

• Si 𝑓 ≤ 𝑔 sur 𝐼 alors𝑔 − 𝑓 ≥ 0 sur 𝐼 et d’après la 1^ère propriété ci-dessus :

∫ (𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥))𝑑𝑥 ≥ 0 d^′où ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0

𝑏 𝑎 𝑏

𝑎 𝑏

𝑎

Donc ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ≥ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏 𝑎 𝑏

𝑎

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Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle 𝐼, 𝑎 et 𝑏 des réels de 𝐼 tels que 𝑎 ≤ 𝑏.

• Si 𝑓 ≥ 0, alors par définition (voir page 1 du cours) :

Aire = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 u. a.

𝑏 𝑎

• Si 𝑓 ≤ 0 sur 𝐼 alors 𝐸 a la même aire que sa symétrique par rapport à l’axe des abscisses qui est l’aire « sous la courbe » représentative de −𝑓, fonction continue et positive sur 𝐼 .

Donc Aire = ∫ −𝑓(𝑥)𝑑𝑥 u. a. = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 u. a.

𝑏 𝑎 𝑏

𝑎