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DM n°9
Exercice n°1 (librement inspiré d'une activité du manuel Sesamath)
Akwa, Bali et Deïdo sont trois chiens. Akwa a une puce nommée Puce. Chaque seconde, Puce peut :
– rester sur Akwa avec une probabilité de /t{0,1;0,2;0,3}.
– passer de Akwa à Bali avec une probabilité de /t{0,4;0,5;0,6}.
– passer de Akwa à Deïdo avec une probabilité de /calc{1-#1-#2}.
– rester sur Bali avec une probabilité de /t{0,1;0,2;0,3}.
– passer de Bali à Akwa avec une probabilité de /t{0,4;0,5;0,6}.
– passer de Bali à Deïdo avec une probabilité de /calc{1-#3-#4}.
– rester sur Deïdo avec une probabilité de /t{0,1;0,2;0,3}.
– passer de Deïdo à Bali avec une probabilité de /t{0,4;0,5;0,6}.
– passer de Deïdo à Akwa avec une probabilité de /calc{1-#5-#6}.
1[2]. On appelle graphe probabiliste le graphe qui schématise les échanges entre les différents chiens par des flèches orientées, pondérées par les probabilités de passer d'un chien à l'autre ou de rester sur le même chien.
Recopier et compléter le graphe probabiliste correspondant à la situation.
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2[2]. On appelle matrice de transition la matrice T dont chaque coefficient tij
est la probabilité de passer de i à j. Ainsi, t11=#1 (ceci correspond à la probabilité que Puce reste sur Akwa), et t12=#2 (ceci correspond à la probabilité que Puce passe de Akwa à Bali).
Donner la matrice de transition du système Akwa/Bali/Deïdo.
3[2]. Au départ, Puce est sur Akwa. On l'indique par la matrice M0 = /mat{1;0;0} . Déterminer, à l'aide de la matrice de transition, les probabilités que Puce reste sur Akwa, aille sur Bali ou aille sur Deïdo au bout de une seconde.
4[2]. Déterminer, toujours à l'aide de la matrice de transition, les probabilités que Puce soit sur Akwa, Bali ou Deïdo au bout de deux secondes.
5[2]. Comme on peut le constater, rechercher si, à long terme, un état stable (=
la suite converge) apparaît revient à voir si Tn a une limite.
Théorème : Si la matrice T a une puissance n'ayant aucun coefficient nul, alors la suite des états converge vers un état stable, indépendamment de la situation initiale. L'état stable est la matrice solution S telle que ST=S.
a. A-t-on une puissance de T dont tous les coefficients sont non nul ? b. En déduire l'état du système Akwa/Bali/Deïdo à long terme.
Exercice n°2 (là aussi librement inspiré d'un TP du manuel Sesamath).
En cryptographie, le chiffrement de Hill est un système de chiffrement par bloc : il consiste à substituer les lettres du message en clair, non pas l'une après l'autre, mais par paquets. On obtient ainsi un message chiffré plus difficile à casser.
Chaque lettre est codée par son rang diminué de 1 dans l'alphabet latin (A->0, B->1, etc.)
Avant qu'il ne soit traité, on formate d'abord le message en clair : on supprime les accents, espaces et ponctuation, on regroupe les lettres par bloc de deux verticalement (si un lettre reste orpheline à la fin, on ajoute arbitrairement une lettre) puis on remplace chaque lettre par le nombre correspondant (le rang diminué de 1).
Par exemple, PUCE EST SUR AKWA devient :
P C E T U A W
U E S S R K A
Puis : 2/3
3/3
15 2 4 19 20 0 22
20 4 18 18 17 10 0
Ceci donne donc la matrice X :/mat{15;2;4;19;20;0;22;;20;4;18;18;17;10;0}
On calcule ensuite AX, où A est une matrice carrée d'ordre 2, appelée clef de chiffrement. On obtient une matrice C, où l'on remplace chaque coefficient par le plus petit entier naturel qui lui est congru modulo 26, puis on convertit en lettre.
1[3]. On donne la matrice A /mat{/t{2;4} ;/t{3;5} ;;/si{#8=5;3;5} ;/t{6;12} } . Chiffrer PUCE EST SUR AKWA.
2. Le problème du déchiffrement.
Normalement, si AX=C, alors X=A-1C. Mais ici, il faut travailler modulo 26. Il faut donc inverser A modulo 26 : c'est la clef de déchiffrement.
a. Calculer A-1 sous la forme δ -1B où est une matrice carrée d'ordre 2 et δ le déterminant de A (voir cours).
b. Chercher l'inverse de δ modulo 26, c'est chercher le nombre qui, multiplier par δ, vaut 1 modulo 26. En utilisant le principe de disjonction des cas, déterminer s'il existe l'inverse δ ' de δ modulo 26. Dans le cas contraire, modifier la matrice A de façon à ce que δ soit inversible.
c. Vérifier sur les premières lettres du message chiffré qu'en appliquant δ 'B , on retrouve le message de départ.
3. On change de matrice de chiffrage : A' /mat{/t{2;4};/t{2;4};;/t{3;5};/t{6;12} } . A' est-elle inversible modulo 26 ? Pourquoi ?
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