D´EVELOPPEMENT 29 ENDOMORPHISMES SEMI-SIMPLES

D´ EVELOPPEMENT 29

ENDOMORPHISMES SEMI-SIMPLES

D´efinition. — SoitE un K-espace vectoriel de dimension finie.

(i) On dit quef ∈ L(E) est semi-simplesi pour tout sous-espaceF de E stable par f, il existe un suppl´ementaireS de F stable par f.

(ii) On dit queM ∈ M_n(K) est semi-simple si l’endomorphisme x7→M xest semi-simple.

Lemme. — Soit f ∈ L(E) est tel que µ_f soit irr´eductible alors f est semi-simple.

D´emonstration. — SoitF un sous-espace strict deE stable parf et soitx₁ ∈E\F alors le sous-espace Ex1 ={P(f)(x1) ; P ∈K[X]} est stable par f et Ix1 ={P ∈K[X] ; P(f)(x1) = 0} est un id´eal non nul de K[X] (puisqueµ_f(f)(x₁) = 0) donc il existe π₁ ∈K[X] unitaire tel que I_x1 =π₁K[X]. De plus, x1 6= 0 donc id∈/ Ix1 i.e.π1 n’est pas constant. Puisque µf est irr´eductible et divisible parπ1, on a en fait µ_f =π₁ d’o`u (d’apr`es l’hypoth`ese) π₁ irr´eductible.

Supposons qu’il existe y ∈ E_x1 ∩F non nul, on ´ecrit y = P(f)(x₁) avec P ∈ K[X] ; alors π₁ est irr´eductible et ne divise pasP donc π1 etP sont premiers entre eux et il existe donc U, V ∈K[X] tels que U P +V π₁ = 1 d’o`u

x1 =U(f)◦P(f)(x1) +V(f)◦π1(f)(x1) =U(f)◦P(f)(x1) =U(f)(y)

mais y ∈F et F est stable parf donc U(f)(y) ∈F ce qui est impossible par choix de x₁. On a donc Ex1 ∩F = {0} i.e.Ex1 et F sont en somme directe. Si F ⊕Ex1 = E, c’est fini, sinon on consid`ere x₂∈E\F ⊕E_x1. Puisque E est de dimension finie, on obtient une d´ecomposition de la forme

E =F ⊕Ex1 ⊕ · · · ⊕Exr

avec chaque E_xi stable parf; on pose donc S=E_x1⊕ · · · ⊕E_xr.

Proposition. — Si f ∈ L(E) alors on a ´equivalence entre (i) f est semi-simple

(ii) µ_f est un produit de polynˆome irr´eductibles unitaires deux `a deux distincts.

D´emonstration. — (i)⇒(ii) Siµ_f a un facteur carr´ei.e. siµ_f =M²N, alorsF = kerM(f) est stable par f donc il existe un suppl´ementaire S de F stable par f. Soit x ∈ S alors M(f)◦M N(f)(x) = µ_f(f)(x) = 0 i.e. M N(f)(x) ∈F et, d’autre part, S est stable par f doncM N(f)(x) ∈S; on a donc M N(f)(x)∈F∩S ={0} i.e.M N(f) s’annule sur S. Six∈F alorsM N(f)(x) =N(f)(M(f)(x)) = 0 i.e. M N(f) s’annule sur F. Il s’ensuit queM N(f) est nul alors que degM N <degµ_f ce qui contredit la d´efinition du polynˆome minimal.

(ii)⇒(i) On d´ecompose µf = P1· · ·Pr et on note Fi = kerPi(f). Soit F stable par f alors on a E =F1⊕ · · · ⊕Fr et F = (F ∩F1)⊕ · · · ⊕(F∩Fr). ChaqueFi est stable par f et on peut consid´erer la restriction f_i ∈ L(F_i) de f `a F_i. Pour tout i, on aP_i(f_i) = 0 avecP_i irr´eductible donc P_i =µ_fi et,

80 Endomorphismes semi-simples

d’apr`es le lemme, f_i est semi-simple i.e.il existe S_i stable par f_i tel que F_i = (F ∩F_i)⊕S_i. Il suffit alors de poser S=S₁⊕ · · · ⊕S_r.

Corollaire. — Si K est alg´ebriquement clos alors f ∈ L(E) est semi-simple si et seulement si f est diagonalisable.

D´emonstration. — Si K est alg´ebriquement clos alors les polynˆomes irr´eductibles sur K sont ceux de degr´e 1 donc µ_f est sans facteur carr´e si et seulement siµ_f est scind´e `a racines simples.

Proposition. — Soit M ∈ M_n(R).

(i) M est semi-simple si et seulement si M est diagonalisable dansM_n(C).

(ii) Si M ∈ M_n(R) est semi-simple alors M est semblable dans M_n(R) `a une matrice de la forme D 0

0 B

avec D diagonale et B constitu´ee de blocs de la forme

α −β β α

centr´es sur sa diagonale principale.

D´emonstration. — (i) SiM est semi-simple alorsµ_M =P1· · ·Pr avec lesPiirr´eductibles unitaires deux

`

a deux non associ´es. Soit α∈Cune racine deµ_M alorsαest une racine de l’un desP_i, par exempleP₁, orP1 est irr´eductible surRdoncα est racine simple deP1. Pouri >1, on aPi etP1 premiers entre eux i.e. U P_i+V P₁ = 1 avecU, V ∈R[X] doncU P_i(α) = 1i.e.α n’est pas racine des autresP_i doncµ_M est

`

a racines simples et il s’ensuit queM est diagonalisable surC. R´eciproquement, siM est diagonalisable sur C alors µ_M ∈R[X] est scind´e `a racines simples dans C doncµ_M est sans facteur carr´e dans C[X]

eta fortiori dansR[X].

(ii) On raisonne par r´ecurrence sur n, le cas n= 1 ´etant trivial. Si µ_M est scind´e sur R alors, d’apr`es le premi`ere proposition et puisque M est semi-simple, µM est un produit de polynˆomes irr´eductibles distincts donc est `a racines simples et il s’ensuit queM est diagonalisable surR. On peut donc supposer queµ<sub>M</sub> = [(X−α)<sup>2</sup>+β<sup>2</sup>]Qavecα∈R,β >0 etQ∈R[X] et on poseE = ker[(M−α)<sup>2</sup>+β<sup>2</sup>I]. Puisque Q divise strictement µM, on a Q(M) 6= 0 donc [(X−α)<sup>2</sup> +β<sup>2</sup>] n’est pas inversible et il s’ensuit que E 6={0}, on consid`eree₁ ∈E non nul. SiM e₁ =λe₁ alors

0 = [(M−α)²+β²I](e₁) = [(λ−α)²+β²]e₁

ce qui est impossible puisque β >0 donc e₁ etM e₁ sont ind´ependants et il en est donc de mˆeme dee₁ ete2 = ¹_β[M e1−αe1]. De plus, on a M e1 =αe1+βe2 et

M e2= (M−αI)e2+αIe2 = 1

β(M −αI)²e1+αe2=−βe₁+αe2

doncF = Vect(e1, e2) est stable par M et on a M|F =

α −β β α

. PuisqueM est semi-simple, il existe un suppl´ementaireG de F stable par M et il suffit d’appliquer l’hypoth`ese de r´ecurrence `a la matrice M_|G.

Le¸cons concern´ees

11 Id´eaux d’un anneau commutatif unitaire. Exemples et applications

14 Polynˆomes irr´eductibles `a une ind´etermin´ee. Corps de rupture. Exemples et applications 23 R´eduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications

24 Sous-espaces stables d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications 37 Endomorphismes diagonalisables

40 Polynˆomes d’endomorphismes. Applications

S´ebastien Pellerin

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Compl´ements

Une lemme utile. —

Lemme. — Soitf ∈ L(E) et µ_f =P₁^α1· · ·P_r^αr. Si F est un sous-espace stable par f alors F =

r

M

i=1

(F ∩kerP_i^αi(f)).

Premi`ere d´emonstration. — Soitx=x1+· · ·+xr∈F o`u xi ∈kerP_i^αi(f) alors, pour tout P ∈K[X], on aP(f)(x) =P(f)(x₁) +· · ·+P(f)(x_r). Soiti∈ {1, . . . , r}, on ´ecritµ_f =P_i^αiQ_i avecQ_i∈K[X] alors Qi(f)(x) =Qi(f)(x1). Puisque kerP_i^αi(f) etF∩kerP_i^αi(f) sont stables parf, ils sont stables parQi(f) donc on peut consid´erer les restrictionsg et h deQ_i(f) `a kerP_i^αi(f) et F∩kerP_i^αi(f) respectivement.

Notons que

kerQ_i(f)∩kerP_i^αi(f) = M

j6=i

kerP_j^αj(f)

∩kerP_i^αi(f) ={0}

i.e. gethsont injectives d’o`u bijectives. Alorsy=g(xi) est dans kerP_i^αi(f) ory=Qi(f)(x) doncy est aussi dansF; il s’ensuit queyest dansF∩kerP_i^αi(f) doncxi=h⁻¹(y) aussii.e.xi∈F∩kerP_λ(f).

Deuxi`eme d´emonstration. — On poseFi = kerP<sub>i</sub><sup>αi</sup>(f), on aE=F1⊕· · ·⊕F<sub>r</sub> et on notepila projection sur Fi parall`element `a M

j6=i

Fj, il s’agit d’un polynˆome en f. Comme F est stable par f, F est aussi stable par chaque p_i i.e. p_i(F) ⊂F mais on a aussi p_i(F)⊂p_i(E) ⊂F_i, d’o`u p_i(F)⊂F ∩F_i. Comme p1+· · ·+pr= idE, il vient

F ⊂p1(F) +· · ·+pr(F) =p1(F)⊕ · · · ⊕pr(F)⊂(F∩F1)⊕ · · · ⊕(F ∩Fr).

D´emonstration dans le cas diagonalisable. — Si f est diagonalisable alors on a E = E_λ1 ⊕ · · · ⊕E_λr. Soit x ∈ F, on ´ecrit x = x1+· · ·+xr, o`u xi ∈ Eλi, alors P(f)(x) = P(λ1)x1+· · ·+P(λr)xr pour tout P ∈ K[X]. Soit 1 ≤ i ≤ r et P_i ∈ K[X] tel que P_i(λ_i) = 1 et P_i(λ_j) = 0 pour j 6= i, alors xi=Pi(f)(x)∈F.

Le th´eor`eme de Maschke. —

Th´eor`eme. — SoitE unC-espace vectoriel de dimension finien≥1,Gun sous-groupe fini deGL(E) et F un sous-espace de E stable par tous les ´el´ements de G. Alors F admet un suppl´ementaire stable par tous les ´el´ements deG.

D´emonstration. — On pose

ϕ(x, y) =X

g∈G

hg(x), g(y)i

ce qui d´efinit un produit scalaire sur E invariant parG. Il suffit alors de prendre l’orthogonal S =F^⊥ de F pour le produit scalaire ϕ.

R´ef´erences

M. Alessandri,Th`emes de g´eom´etrie. Groupes en situation g´eom´etrique, Dunod, 1999.

S. Francinou, H. Gianella et S. Nicolas,Oraux X-ENS, alg`ebre 1, Cassini, 2001.

X. Gourdon,Alg`ebre, Ellipses, 1994.

S´ebastien Pellerin