Chapitre I : Nombres naturels

(1)

Chapitre I – Page 1

Chapitre I : Nombres naturels

Introduction

1. Une suite de pyramides … Observe les pyramides et compte leurs arêtes.

Numéro du dessin 1 2 3 4 … 10 … n

Nombre arêtes base Nombre arêtes hors base Nombre total arêtes

2. Une suite de triangles . . . On construit des triangles avec des allumettes.

Triangle n° 1 2 3 4 5 … 10 … n

Nombre d’allumettes par triangle

3. Une rentrée en ordre

Eric et ses sœurs préparent leur rentrée. Pour ce faire, ils achètent chacun la même trousse complète contenant : un stylo, un effaceur, un crayon, une gomme et une équerre à parallèles.

Combien d’objets Eric et ses sœurs possèdent-ils (en dehors de la trousse elle-même) si Eric a n sœurs ?

Nombre de sœurs 0 1 2 3 4 5 … n

Nombre d’objets contenus

1 2 3 4

?

(2)

1. Vocabulaire et notations

A. Les nombres naturels

 { 0, 1, 2, 3, … , 70, 71, … } est l’ensemble des nombres naturels noté ……

 Un naturel quelconque est souvent noté par une lettre : n, par exemple.

« n est un naturel » se code n  …… et se lit ………

« n est un naturel non nul » se code ………

 Dans la suite des nombres naturels, 3 et 4 sont deux naturels consécutifs (qui se suivent).

De manière générale, ……….. et …………. sont deux nombres consécutifs.

B. Les nombres naturels pairs

 …….. = {0, 2, 4, 6, 8, …,76, 78, …, 102, 104, …} est l’ensemble des nombres naturels pairs

 …….. = {2, 4, 6, 8, …,76, 78, …, 102, 104, …} est l’ensemble des nombres naturels pairs non nuls.

 Le 1^er nombre naturel pair non nul est 2.1 = 2 Le 2^ème nombre naturel pair non nul est 2.2 = 4 Le 3^ème nombre naturel pair non nul est 2.3 = 6 Le 4^ème nombre naturel pair non nul est ………..

Le n^ème nombre naturel pair non nul est ………..

Dans la suite des naturels pairs non nuls, ………….. et ………….. sont consécutifs (n  ………).

C. Les nombres naturels impairs

 { 1, 3, 5, 7, … , 25, 27, 29, … , 3589, … } est l’ensemble des nombres naturels impairs

 Le 1^er nombre naturel impair est (2.1) – 1 = 1 Le 2^ème nombre naturel impair est (2.2) – 1 = 3 Le 3^ème nombre naturel impair est (2.3) – 1 = 5 Le 4^ème nombre naturel impair est ………..

Le n^ème nombre naturel impair est ………..

Dans la suite des naturels impairs, ……… et ………. sont consécutifs (n ………).

D. Applications

1) Le 7^ème nombre pair non nul est ………..

Le p^ème nombre pair non nul est ………..

2) Le rang de 12 dans la suite des nombres naturels pairs non nuls est ………..

Comment trouver le rang d’un nombre dans la suite des naturels pairs non nuls ?

………..………..………..………..………..………..………..………..………..……

………..………..………..………..………..………..………..………..………..…………

…..………..………..………..………..………..………..………..………..………

(3)

3) Le 8^ème nombre impair non nul est ………..

Le m^ème nombre impair non nul est ………..

4) Le rang de 23 dans la suite des nombres naturels impairs non nuls est 12.

Comment trouver le rang d’un nombre dans la suite des naturels impairs ?

………..………..………..………..………..………..………..………..………..……

………..………..………..………..………..………..………..………..………..…………

…..………..………..………..………..………..………..………..………..………

E. Exercices

1) Déterminer le rang du nombre

a. 173 dans la suite des naturels non nuls : ………..

b. 225 dans la suite des naturels : ………..

c. 184 dans la suite des naturels pairs non nuls : ………….

d. 207 dans la suite des naturels impairs : ………..

2) Vrai ou Faux ? (n est un naturel)

Si c’est vrai justifie, justifie. Si c’est faux, écris un contre-exemple.

a. Le naturel qui précède 2n + 1 est 2n.

………..………..………..………..………..………..………..………..……….

b. Le naturel pair qui suit 2n est 2n + 2.

………..………..………..………..………..………..………..………..……….

c. Dans la suite des naturels impairs, 2n + 1 précède 2n + 3.

………..………..………..………..………..………..………..………..……….

d. 2n + 7 est un naturel impair.

………..………..………..………..………..………..………..………..……….

e. n + 2 est un naturel pair.

………..………..………..………..………..………..………..………..……….

f. 45 est le 45^e nombre de la suite des naturels.

………..………..………..………..………..………..………..………..……….

g. Le 17^e nombre de la suite des naturels impairs est 35.

………..………..………..………..………..………..………..………..……….

h. 111 est le 11^e de la suite des naturels carrés.

………..………..………..………..………..………..………..………..……….

i. 4n est l’écriture générale pour les naturels pairs.

………..………..………..………..………..………..………..………..………

(4)

3) Complète le tableau ci-dessous :

12 23 450 1000 333

Dans la suite des naturels pairs non nuls, donne le rang de Dans la suite des naturels impairs, donne le rang de Dans la suite des naturels pairs, quel est le nombre dont le rang est

Dans la suite des naturels impairs, quel le nombre dont le rang est

(Si une solution n’existe pas, indique-le en barrant la case)

2. Propriétés et priorité des opérations

A. Activité pour découvrir

1) Voici une série de 10 nombres naturels : 22, 11, 39, 85, 6, 45, 65, 0, 27, 48 Dans cette série, trouve deux nombres qui :

a) Additionnés entre eux donnent 112 comme résultat : ………..… et …………..……

b) Soustraits entre eux, donnent 17 comme résultat : ………..… et …………..……

c) Multipliés entre eux, donnent 66 comme résultat : ………..… et …………..……

d) Divisés entre eux, donnent 8 comme résultat : ………..… et …………..……

2) Ecris le procédé, étape par étape, qui te permet de calculer le plus rapidement et le plus efficacement les calculs suivants

a) 43 + 248 + 57 = b) 25 . 1. 13 . 4 = c) 17 . 16 . 15 . 14 . 0 = d) 3 + 0 +12+56=

e) 23 . 101 =

B. Vocabulaire

Nom de l’opération

Nom du 1^er élément

Nom du 2^e

élément Symbole Nom du résultat

Addition

Soustraction Multiplication

Division

(5)

C. Propriétés de l’addition et de la multiplication dans

ADDITION MULTIPLICATION

L’addition est commutative La multiplication est commutative

Dans une somme de naturels, changer les termes de place ne modifie pas la somme

Exemple : ………

De manière générale:

………..

Dans un produit de naturels, changer les facteurs de place ne modifie pas le produit

Exemple : ………

………..

L’addition est associative La multiplication est associative

Former des sommes partielles, ne modifie pas la somme finale

Exemple :

………..

Former des produits partiels, ne modifie pas le produit final

Exemple :

………..

0 est neutre 1 est neutre

Ajouter 0 à un naturel

donne une somme égale à ce naturel

Exemple :

………..

Multiplier un naturel par 1 donne un produit égal à ce naturel

Exemple :

………..

0 est absorbant

Multiplier un naturel par zéro donne un produit égal à 0

Exemple :

………..

(6)

D. Priorité des opérations

Introduction : Tous les machines à calculer donnent-elles la même réponse ?

Exercice :

1) Effectue ces calculs à l’aide d’une « bonne » calculatrice : a. 2.5+3=

b. 3+2.5=

c. 2.5-3=

d. 2.(5-3)=

2) Effectue toi-même chaque calcul en détaillant le procédé afin d’obtenir le même résultat que la calculatrice

a.

b.

c.

d.

Conclusions

Dans une suite d’opérations, on effectue : 1) Les calculs entre parenthèses

2) Les multiplications et les divisions dans l’ordre de lecture

3) Les additions et les soustractions dans l’ordre de lecture

(12-3).4-2.5.3-4:2 =

=

Exemple :

((3+4.2).4+4.(3-1)).(2.3-5) =

E. Distributivité

Exercices :

a) Voici un rectangle divisé en deux rectangles plus petits.

Calcule l’aire du rectangle AEFD en effectuant tes calculs de deux manières différentes sachant que

|AD|=3cm, |DC|=5cm et |CF|=4cm A

D

B E

C F 1)

2)

=> Que peut-on en déduire ?

(7)

b) Et si les mesures étaient données par des lettres, calcule l’aire du même rectangle de deux manières différentes.

A

D

B E

C F

1) 2)

=> Quelle égalité peut-on en déduire ?

Conclusion :

………

De manière générale : Si a  , b  , c  , alors ( a + b ). c = a.c + b.c ( a - b ). c = a.c - b.c a .( b + c ) = a.b + a.c a .( b - c ) = a.b - a.c

Exercices :

Effectue ( a + b ). c, ( a - b ). c , a .( b + c ) et a .( b - c ) sachant que 1) a =7, b=5, c=2

2) a=31, b=3, c=0

3) a=16, b=9,, c=1

(8)

3. Exercices récapitulatifs

Prends une feuille quadrillée et nomme-la « Chapitre I : Exercices » puis résous-y les exercices suivants :

1. Effectue chaque calcul étape par étape en notant dans la colonne de droite la manière de procéder comme pour l’exemple suivant

Procédé Explications

123+48+17=123+17+48 = (123+17)+48 = 140+48 = 188

On permute 48 et 17 On associe 123 et 17

On effectue le calcul entre parenthèses

a) 125.6.8=

b) 56+72+0+24=

c) 91.1.4=91.4=

d) 27.3.0.48=

e) 3.98=3.(100-2)=

2. Ecris et calcule :

a) la somme d’un produit de deux naturels et d’un naturel b) la différence des produits de deux naturels

c) le produit d’un naturel par une somme de deux naturels d) le triple de la somme de 15 et de 110

e) le quotient de la somme de 17 et de 8 par la différence entre 13 et 8 3. Complète en vert

a) ___ . (12 + ___ ) = 48 + 12 b) 5. ( ___ + 4 ) = 15 + ___

c) 15 .( ___ + ___ ) = 45 + ___ = 105 d) 3. ( 15 + ___ + 4 ) = ___ + 27 + ___

e) ___ . ( ___ + 3 + ___ ) = 45 + 9 + 180 f) ( ___ - ___ ) . 4 = 32 – 20

4. Calcule en utilisant la distributivité pour mettre en évidence un facteur commun a) 8.33 + 8.27 = 8. ( ___ + ___ ) =

b) 2.12 + 2.8 + 2.10 = c) 10.13 + 10.17 - 7.10 = d) 32.5 + 32.3 – 32 = e) 15.7 - 12.7 + 7 = f) 14.3 + 7.5 =

5. Pour calculer la valeur numérique d’une expression littérale, il suffit de remplacer chaque lettre par la valeur qu’on lui a attribuée et d’effectuer le calcul ainsi obtenu. Calcule la valeur numérique des expressions littérales suivantes si a = 25, b = 8, c = 10 et d = 10

Exemple : ab = 25.8 =200 a) cd =

b) 12a = c) 8acd = d) d :a =

e) a + b + c = f) abcd = g) (a –b) – c = h) a – (c – b) =

(9)

6. Recopie en supprimant les ( ) inutiles, souligne les opérations prioritaires et calcule a) (3.4+5)+(8.25)=

b) 123+(12.4)-(2+7).10=

c) 2.4+6.8-3.7=

d) 7+6 :3+3.4=

e) 20-3.4+14 :2=

f) 5+2.3.4+15.3=

g) 23.2-8.5=

h) 328-28.10+1=

i) 1001 :91+135.2=

j) 122-(17+3) :(14+6)=

k) (12.5+34 :2)-(25-35 :5)=

l) 127-(54-3.7)+25=

m) 43+(37-24 :6)-28=

n) 3+5.7-(33-4.7)=

o) (7+2) :3+3.(45-6.7)=

7. Dans chaque cas , complète avec 3 de ces 4 nombres : 2, 3, 6 ou 8 a) …… + ……. x …... = 15

b) …… + …... : …... = 7 c) …… - …... x …… = 2

8. Dis si chaque égalité est exacte ; sinon corrige en plaçant les parenthèses indispensables.

a) 6+5.4-3=23 d) 6.5-4+3 =23 b) 6+5.4-3=41 e) 6.5-4+3 =29 c) 6+5.4-3=11 f) 6.5-4+3 =9

Problèmes

(Ecris le calcul avant de l’effectuer)

1. Un jardinier doit réaliser la décoration de 8 parterres identiques. Dans chacun, il mettra 60 jonquilles, 40 tulipes, 30 narcisses et 50 muscaris. Calcule le nombre de bulbes qu’il doit commander.

2. Un commerçant en articles de literie a vendu en une semaine 15 matelas à 50€ chacun, 3 lits pliants à 179€ pièce, 6 couettes à 28€ pièce, 5 sommiers à 114€ chacun et 2 canapés-lits à 245€ chacun.

Calcule le montant total exact des ventes.

3. Joan désire mettre deux couches de peinture sur un mur dans lequel se trouvent une porte et deux fenêtres identiques. La peinture se vend en pots de 5l coûtant 20€ ou de 2,5l coûtant 12€. 5l permettent de peindre 40m² . Que doit acheter Joan ?Joan paie avec un billet de 50€. Que lui rend-on ?