Chapitre I : LES NOMBRES ENTIERS

I DIVISIBILITÉ

Dans ce paragraphe, tous les nombres seront des entiers naturels (0,1,2,3,4, . . .).

Définitions : 1) On dit que m est un multiple de b quant il existe c tel que m=bc. 2) On dit que d divise a quand il existe c tel que a=dc.

On dit alors que d est un diviseur de a, ou encore que a est divisible par d. Remarques : 1) Dire que b divise a revient à dire que a est un multiple de b.

2) 24 = 8×3 donc on peut en déduire que 3 et que 8 sont des diviseurs de 24 et que 24 est un multiple de 3 et de 8.

3) Tout nombre divise 0. En effet, pour tout nombren,n×0 = 0 donc 0 est multiple de n, ou encore ndivise 0.

4) En revanche, 0 ne divise aucun nombre non nul (il ne divise que 0).

En effet, un multiple de 0 est toujours égal à 0 (n×0 = 0), donc ne peut être égal à un autre nombre.. 5) 1 divise tous les nombres.

6) Tous les multiples de 5 sont de la forme 0, 5, 10, . . . ,5n . . .avec nentier.

Plus généralement, chaque entier non nul a une infinité de multiples.

7) Tous les entiers, sauf 0 , n’ont qu’un nombre fini de diviseurs (par exemple, les diviseurs de 240 ne peuvent être qu’inférieur à 240.

8) On peut étendre cette définition aux entiers relatifs (, . . .−2, −1, 0, 1, 2, 3. . .) et, par exemple, comme 24 = (−3) ×(−8) dire que −8 est un diviseur de 24 et comme −12 = 2×(−6) on peut dire que −12 est un multiple de 2 et de −6.

Critères de divisibilité : •par 2 : le nombre est pair (le dernier chiffre est 0,2,4,6 ou 8 ).

•par 3 : la somme des chiffres est un multiple de 3 .

•par 4 : le nombre formé par les deux derniers chiffres est un multiple de 4 .

•par 5 : le dernier chiffre est un zéro ou un cinq.

•par 6 : le nombre est à la fois divisible par 2 et par 3.

•par 8 : le nombre formé par les trois derniers chiffres est un multiple de 8 .

•par 9 : la somme des chiffres est un multiple de 9 .

•par 10 : le nombre se termine par zéro.

•par 11 : la différence entre la somme des chiffres situés à un rang impair (unités, centaines...) et celle des chiffres situés à un rang pair (dizaines, milliers...) est un multiple de 11 . Division euclidienne :

150 7 10 21

3

150 = 7×21 + 3

Effectuer la division euclidienne deapar b (avec b non nul), c’est trouver les deux entiers naturels q etr, avec 06r < btels que a=b×q+r .

Vocabulaire :aest le dividende, blediviseur, q lequotient etr le reste.

La condition imposée au reste 06r < b fait qu’il n’y a qu’une seule division euclidienne pouraetb donnés (admis).

150 = 7×20 + 10 cette égalité représente la division euclidienne de 150 par 20 (car 0610<20) mais pas celle de 150 par 7 (car 10≮7 ).

1

II NOMBRES PREMIERS

Définition : un entier naturel est ditpremier s’il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Remarques :• 0 n’est pas premier (tous les entiers non nuls divisent 0 ).

• 1 n’est pas considéré comme premier : il n’a qu’un diviseur (lequel ?).

• 6 = 2×3 n’est pas premier (4 diviseurs : 1 ; 2 ; 3 et 6 ).

Nombres premiers inférieurs à 100 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97.

Le mathématicien grec Euclide a démontré, auiii^esiècle avant J.-C., qu’il existe une infinité de nombres premiers.

Interprétation : Le nombre p (p > 2) d’élèves d’une classe est premier quand les seules manières de partager cette classe en groupes de même effectif sont :

(ou bien en un groupe de p élèves (classe entière), ou bien en pgroupes de 1 élève (cours particuliers).

–> 30 n’est pas premier car 1 groupe de 30 ; 2 groupes de 15 ; 3 groupes de 10 ; 5 groupes de 6 ; 6 groupes de 5 ; 10 groupes de 3 ; 15 groupes de 2 ou 30 « groupes » de 1 .

Théorème : (admis)

de décomposition d’un entier en facteurs premiers.

Tout entier naturel n>2 peut s’écrire comme produit de nombres premiers.

Exemples :• 42 = 2×3×7 ;

• 19 = 19 (on considère que c’est un produit avec un seul facteur) ;

• 40 = 2×2×2×2×5 = 2³×5 (certains facteurs de la décomposition peuvent être égaux).

Méthodes de décomposition : exemple, on veut décomposer 420 en facteurs premiers.

méthode 1 : on écrit 420 = 42×10 = 6×7×2×5 = 2×3×7×2×5

soit 420 = 2²×3×5×7 en regroupant les termes, tous les facteurs sont bien premiers.

—> revoir les tables de multiplications ! méthode 2 : 420 2

210 2

105 3

35 5

7 7

1

On effectue les divisions, si besoins répetées, par les nombres premiers 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; · · · on s’arrête lorsque le quotient obtenu est 1 .

Le produit de tous les diviseurs est alors la décomposition en facteurs premiers :

ici 420 = 2×2×3×5×7 .

2 2 3 5 7

420

—> Le théorème indique qu’à partir des nombres premiers, en les mul- tipliant, on peut avoir tous les entiers (sauf 0 et 1) : ce sont des nombres premiers dans le sens de « primitifs », « de bases ».

moralement : les nombres premiers sont les briques qui permettent de construire les entiers (le ciment étant la multiplication).

En fait, il y aunicité en ce sens que 420 ne peut pas être construit avec d’autres briques.

III APPLICATIONS DE LA DÉCOMPOSITION

III.1 Simplification et multiplication de fractions

Exemples :• 156

252 , on a

156 2 78 2 39 3 13 13

1

et

252 2 126 2 63 3 21 3 7 7 1

donc 156 = 2×2×3×13 252 = 2×2×3×3×7 puis 156

252 = 2×2×3×13

2×2×3×3×7 = 13 21·

• 84

630 = 2×2×3×7

2×3×3×5×7 = 2

3×5 = 2

15· (refaire les décompositions.)

• 35 82 ×123

770 = 5×7

2×41 × 3×41

11×2×5 = 5×7×3×41

2×41×7×11×2×5 = 3 44 Rappel : La fraction 13

21 ne peut plus se simplifier. On dit qu’elle estirréductible.

III.2 Savoir si un nombre est diviseur d’un autre

Exemple : 420 = 2²×3×5×7 (cf. II), de cette décomposition on peut remarquer que :

• 15 est un diviseur de 420 car 15 = 3×5 qui est dans sa décomposition et 420 = 3×5×2²×7 = 15×28 ;

•de même 420 est un multiple de 12 = 3×4 ; de 105 = 3×5×7 ; . . .

•mais∗13 n’est pas un diviseur de 420 (13 est premier et ne figure pas dans la décomposition) ;

∗16 ne divise pas 420 car 16 = 2⁴ est trop grand : ce n’est que 2² qui intervient dans la décomposition de 420 ;

∗ de même 45 = 3×3×5 n’est pas un diviseur de 420 . III.3 Rechercher des diviseurs communs

méthode :

(• on décompose les deux nombres en produit de facteurs premiers ;

• on recherche les nombres commun aux deux décompositions.

exemple pour 540 et 375 :

375 3 125 5 25 5

5 5

1

et 540 = 54×10 = 9×6×2×5

donc

(540 = 2²×3³×5

375 = 3×5×5×5 les diviseurs communs sont : 1, 3, 5 et 3×5 = 15.

Remarques :• Si les nombres son simples, on peut faire la liste des diviseurs et comparer.

Exemple : 18 et 27

18 = 1×18 18 = 2×9 18 = 3×6







les diviseurs de 18 sont : 1 , 2 , 3 , 6 , 9 et 18 . 27 = 1×27

27 = 3×9 )

les diviseurs de 27 sont : 1 , 3 , 9 et 27 . Donc les diviseurs communs à 18 et 27 sont 1, 3, 9.

• Deux nombres entiers ont toujours au moins un diviseur commun, le nombre 1.

S’ils n’on pas d’autres diviseurs communs, on dit qu’ils sont premiers entre eux.

Une fraction est irréductible dès que le numérateur et le dénominateurs sont premiers entre eux.

IV RAPPELS SUR LES PUISSANCES

IV.1 Puissance de dix 10⁰ = 0 ; 10¹= 10 ; 10⁵ = 100 000

| {z } 5 zéros

; 10⁻⁶ = 1

10⁶ = 0,00 00

| {z } 6 zéros

1 ; 10 000 000 = 10⁷ ; 10⁻³ = 0,001 . Préfixe : mille : 10³ (kilo), un million : 10⁶ (méga), un milliard : 10⁹ (giga),

mille milliard : 10¹² (tera), million de milliard : 10¹⁵ (péta)

un millième : 10⁻³(milli), un millionième : 10⁻⁶ (micro), un milliardième : 10⁻⁹(nano), millième de milliardième : 10⁻¹² (pico), millionième de milliardième : 10⁻¹⁵ (femto) IV.2 Écriture scientifique

2 540 = 2,54×10³ (on déplace la virgule de 3 « crans » vers la gauche).

0,000 36 = 3,6×10⁴ (on déplace la virgule de 4 « crans » vers la droite).

0,215 = 2,15×10⁻¹ (si le nombre est plus petit que 1 la puissance est négative).

L’écriture scientifique est de la forme a×10^p avec 16a <10 (un seul chiffre non nul avant la virgule) et p entier relatif.

IV.3 Puissance entière d’un nombre

×a

×a

×a

×a

×a

×a

×a

×a

×a :a

:a :a :a :a

:a :a :a :a

a⁰= 1 a¹=a

a² a³ ... a⁴

a⁻¹=1 a a⁻²= 1 a² a⁻³= 1

a³ ... 5⁴ = 5×5×5×5

| {z } 4 fois

= 625 aⁿ =a×a×a× · · · ×a

| {z }

nfacteurs (n entier positif)

(−8)³= (−8)×(−8)×(−8)

| {z }

3 fois

=−512 a¹ =a

et a⁰ = 1 (par convention).

2⁻³ = 1

2³ = 1

2×2×2 = 1

8 a⁻ⁿ= 1

aⁿ = 1

a n

(a6= 0 ).

IV.4 Règles de calculs sur les puissances 3⁶×3⁻² = 3⁶⁺⁽⁻²⁾ = 3⁴

on multiplie les puissances d’un même nombre

on additionne les exposants 6 et−2

règle : a^p×a^q =a^p+q 2⁴×2⁶ = 2¹⁰

5²

5⁷ = 5²⁻⁷= 5⁻⁵

on divise les puissances d’un même nombre

on soustrait les exposants 2 et 7

règle : a^p

a^q =a^p−q 3²

3⁻⁴ = 3²⁻⁽⁻⁴⁾= 3²⁺⁴= 3⁶

10²³= 10^2×3 = 10⁶

on prend la puissance d’une puissance

on multiplie les exposants

règle : (a^p)^q =a^p×q

3⁴×2⁴ = (3×2)⁴ = 6⁴

on prend le produit d’une même puissance

on fait la puissance du produit

règle : a^p×b^p = (ab)^p

−3 2

2

= (−3)² 2² = 9

on élève un quotient 4

à une même puissance

on élève le numérateur et le dénominateur à cette même puissance

règle : a b

p

= a^p b^p

Remarque :a⁻ⁿ=1 a

n

car a⁻ⁿ= 1

aⁿ = 1

a× · · · ×a = 1× · · · ×1 a× · · · ×a = 1

a× · · · ×1 a =1

a n

Justifications :(Cas où p etq sont positifs. Je ne les demanderai pas, c’est trop difficile !) a^p×a^q =a×a×a× · · · ×a

| {z }

pfacteurs

×a×a×a× · · · ×a

| {z }

qfacteurs

=a×a×a× · · · ×a

| {z }

p+q facteurs

=a^p+q

(a^p)^q =a^p×a^p×a^p× · · · ×a^p

| {z }

qpuissances

=a×a× · · · ×a

| {z }

pfacteurs

×a×a× · · · ×a

| {z }

pfacteurs

×a×a× · · · ×a

| {z }

pfacteurs

× · · · ×a×a× · · · ×a

| {z }

pfacteurs

| {z }

qfois pfacteurs

=a×a× · · · ×a

| {z }

p×q facteurs

=a^p×q

(ab)^p = (a×b)^p = (a×b)×(a×b)×(a×b)× · · · ×(a×b)

| {z }

pfacteurs

=a×a×a× · · · ×a

| {z }

pfacteurs

×b×b×b× · · · ×b

| {z }

pfacteurs

=a^p×b^p

a b

p

= a b ×a

b × a

b × · · · ×a

| {z b}

pfacteurs

=

pfacteurs

z }| {

a×a×a× · · · ×a b×b×b× · · · ×b

| {z }

pfacteurs

= a^p b^p

Règles de priorités :Attention :(−5)² = (−5)×(−5) = 25 et −5²=−(5×5) =−25 . Les puissances sont prioritaires, sauf s’il y a des parenthèses.

Règle : Dans une suite de calculs, on doit effectuer dans l’ordre : – les calculs à l’intérieur des parenthèses ;

– les puissances ;

– les multiplications et divisions ; – les additions et soustractions.

Exemples :5×3²+ 12 = 5×9 + 12 = 45 + 12 = 57 . 2⁵⁻³−(5 + 3)² = 2²+ 8² = 4−64 =−60 , (pour 2⁵⁻³ il faut comprendre 2⁽⁵⁻³⁾.) IV.5 Exemples, applications

À savoir : • La liste des carrés jusqu’à 20 et 30², 40². . .

11² = 121 ; 12² = 144 ; 13²= 169 ; 14² = 196 ; 15² = 225 ; 16²= 256 ; 17² = 289 ; 18² = 324 ; 19² = 361 ; 20² = 400 ; 30² = 900 ; 40² = 1 600 . . .

• La liste des cubes jusqu’à 5 : 2³= 8 ; 3³ = 27 ; 4³ = 64 ; 5³= 125 .

• Savoir retrouver très rapidement les puissances de 2 jusqu’à 2¹⁰.

2² = 4 ; 2³ = 8 ; 2⁴ = 16 ; 2⁵ = 32 ; 2⁶ = 64 ; 2⁷ = 128 ; 2⁸ = 256 ; 2⁹ = 512 ; 2¹⁰= 1 024 (Remarquer que 1 000 = 10³ est une bonne approximation de 2¹⁰.)

Remarques :• 3⁻² = 1

9 est un nombre positif ;

(−2)⁴ = (−2)×(−2)×(−2)×(−2) = +16 est aussi positif.

Question : La puissance d’un nombre peut-elle être un nombre négatif ? Si oui, à quelle(s) condition(s) ?

Réponse :

• Pour a6= 0 , a⁻¹ = 1 a¹ = 1

a ; a⁻¹ est donc l’inverse de a.

• 3⁴ = 3×3×3×3 = 81 et 4³ = 4×4×4 = 64 . Il ne faut donc pas confondre les nombres 3⁴ et 4³.

Question : Peut on trouver des entiers netm tels quen^m =mⁿ? Réponse :

• 1,2³ est bien défini et 1,2³ = 1,2×1,2×1,2 = 1,728

En revanche, 3^1,2 n’a aucun sens (n’a pas été défini), l’exposant doit être entier.

Exemples : 5³×5² =5³⁺²= 5⁵; 7⁵×7=7⁵×7¹=7⁵⁺¹= 7⁶. 3⁶

3² =3⁶⁻²= 3⁴; 2³

2⁸ =2³⁻⁸= 2⁻⁵; 2³

2⁻⁸ =2³⁻⁽⁻⁸⁾ = 2³⁺⁸= 2¹¹. 5²⁴ = 5^2×4= 5⁸; 2⁻³⁴ = 2^(−3)×4 = 2⁻¹²; 6³⁻³= 6^3×(−3)= 6⁻⁹; 3⁻²⁻³ = 3^{(−2)×(−3)}= 3⁺⁶= 3⁶ (revoir la règle des signes !) ; 4⁵ = 2²⁵ = 2^2×5= 2¹⁰; 27³ = 3³³ = 3^3×3 = 3⁹.

2⁵×5⁵= (2×5)⁵= 10⁵; 6⁸= (2×3)⁸ = 2⁸×3⁸. 5

6 ₂

= 5² 6² = 25

36; 2

3 ₃

= 2³ 3³ = 8

27; 6⁴ 2⁴ =

6 2

₄

= 3⁴ = 81 . 18⁵

6³ = 2×3²⁵

(2×3)³ = 2⁵× 3²⁵

2³×3³ = 2⁵×3¹⁰

2³×3³ = 2⁵⁻³×3¹⁰⁻³ = 2²×3⁷; ou : 18⁵

6³ = (6×3)⁵

6³ = 6⁵×3⁵

6³ = 6⁵⁻³×3⁵= 6²×3⁵ = 2²×3²×3⁵ = 2²×3⁷. Remarques :• On a 3²

3⁶ = 3²⁻⁶ = 3⁻⁴ mais on peut aussi écrire 3² 3⁶ = 1

3⁶⁻² = 1 3⁴ · De même, 8

8⁵ = 8¹ 8⁵ = 1

8⁵⁻¹ = 1 8⁴ ; 2⁻³

2⁹ = 1

2⁹⁻⁽⁻³⁾ = 1

2⁹⁺³ = 1 2¹² · Plus généralement poura6= 0, on pourra utiliser la règle a^p

a^q = 1 a^q−p ·

• Il n’y a pas de règle pour simplifiera priori des expressions comme 2⁵×3⁸ ou 5⁶

3⁴ ; en effet, dans aucun des cas les exposants ou les nombres sous les exposants sont les mêmes.

• Il faut bien faire attention de n’appliquer qu’une règle à la fois : 3⁴×3⁴= 3⁴⁺⁴= 3⁸ ou 3⁴×3⁴ = 3²⁴= 3^2×4 = 3⁸

mais 3⁴×3⁴ n’est surtout pas égal à (3×3)⁴⁺⁴= 3²⁸= 3¹⁶.

Exercice :Le nombre 80 000 s’obtient en multipliant uniquement des 2 et des 5 . Combien en faut-il de chaque ?

Réponse :80 000 = 8×10 000 = 8×10⁴ = 2³×(2×5)⁴

Donc 80 000 = 2³×2⁴×5⁴ (règle (ab)^p=a^p×b^p)

= 2³⁺⁴×5⁴ (règle a^p×a^q=a^p+q)

= 2⁷×5⁴

On doit donc multiplier sept 2 et quatre 5 pour obtenir 80 000 . Exercice :Combien de chiffres a le nombre 4¹⁰×5²¹?

Réponse :On va transformer l’écriture à l’aide des règles sur les puissances.

4¹⁰×5²¹= 2²¹⁰×5²¹ car 4 = 2²

= 2^2×10×5²¹ (règle (a^p)^q =a^p×q)

= 2²⁰×5²⁰×5¹ car 21 = 20 + 1 et a^p+q=a^p×a^q

= (2×5)²⁰×5 (règle a^p×b^p = (ab)^p)

= 5×10²⁰

Ce nombre n’est autre qu’un cinq suivi de 20 zéros (10²⁰ est un 1 suivi de 20 zéros). Il a donc en tout 21 chiffres (ne pas oublier le 5 !).

Dans la vie de tous les jours, 5²⁰ = 5×10²×10¹⁸= 500×10⁹×10⁹, c’est donc le nombre cinq cent milliards de milliards.

Table des matières

I DIVISIBILITÉ 1

II NOMBRES PREMIERS 2

IIIAPPLICATIONS DE LA DÉCOMPOSITION 3

III.1 Simplification et multiplication de fractions . . . 3

III.2 Savoir si un nombre est diviseur d’un autre . . . 3

III.3 Rechercher des diviseurs communs . . . 3

IV RAPPELS SUR LES PUISSANCES 4 IV.1 Puissance de dix . . . 4

IV.2 Écriture scientifique . . . 4

IV.3 Puissance entière d’un nombre . . . 4

IV.4 Règles de calculs sur les puissances . . . 4

IV.5 Exemples, applications . . . 5