Chap 17 : Eléments algébriques
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Chap 17 : Eléments algébriques
I. Action de K[X]
Dans tout ce qui suit, est un corps commutatif, est une A algèbre unitaire associative
0 0
[ ]
est un morphisme d'algèbre d'image [ ]
n n
a
k k
k k
k k
X A
a A a
X a
{ [ ] | ( ) 0} ker {0}
{0} [ ]
L'idéal annulateur de est alors
Lorsque , il possède un unique générateur normalisé , appelé polynôme minimal de Lorsque , est un isomorphisme de dans
a a
a a
a a
a I P X P a
I a
I X
[ ]
Si , et a {0} on dit alors que est transcendant X
a I a
{0}, [ ], ( ) 0 |
Si Ia P X P a a P
. [ ] ( ) { ( ) | [ ]} {0} dim [ ] deg
{0} [ ]
est de dim finie Dans ce cas, Si et est intègre, est irréductible et est un corps
k
a a
a k
a
a A a Vect a P a P X I a
I A a
0
1. k ( ) [ ], ( ) ( )... 2.Inverse : Bezout Polynômes
k k n
b a P a a DE P a R a
II. Les nombres algébriques
, , Sous corps de
[ ] \{0} ( ) 0
est algébrique sur s'il existe tq Sinon, il est transcendant
a P X P a
dim dim dim
Base téléscopique : Si est de dim. finie sur , et est de dim. finie sur , alors est de dim. finie sur et
[ ] [ ]
Avec ce qui a été vu sur les algèbres, est algébrique sur est de dim finie.
Dans ce cas, a est irréductible sur et est un corps
a ssi a
a
// //
sous-corps de . L'ensemble des algébriques sur , noté est un sous-corps de
HP a
(1/ ), , 2, [ ] [ ],dim [ ] [ , ] [ ]
InverseX Pn X Somme : a b a, b finie, a b sev de a b a b de dim finie
1 1
1 1 1
1
1
1 1
* , ( ... ) ( , )
( 0 ( )( ( ) ( )) 0 0... 0 ... )
. .
0
et corps, , . mph de corps 2 à 2 est libre dans de
Rec,
n n
i i i i i n n n n
n n
n
i i
n ev
x y y
F
