SOLUTIONNAIRE : TESTS
EXERCICES
1 Tests un échantillon
(1) Les diamètres de 20 vis produites par une machine sont les suivants :
1,05 1,04 1,06 1,02 1,03 1,04 1,07 1,09 1,02 1,03 1,05 1,03 1,09 1,07 1,03 1,05 1,07 1,04 1,02 1,01
Cette machine doit fabriquer des vis dont le diamètre est de 1.04 et l’écart type du diamètre ne doit pas dépasser 0.01. Vérifier si la machine est bien calibrée.
Il faut confronter les hypothèses
H0 : µ= 1.04 H1 : µ6= 1.04 et
H0 : σ2 = 0.0001 H0 : σ2 >0.0001
On utilisera un niveau deα = 5%dans les deux cas (α est la probabilité de dire que le processus n’est pas acceptable étant donné qu’il l’est).
Les tailles d’échantillons sont relativement petites donc on supposera la normalité des observations.
Pour les hypothèses sur la moyenne, le test est de rejeterH0 si
|X−1.04| S
√20≥tn−1;α/2 = 2.093
Or on observex= 1.045 51ets= 0.02328ce qui donne comme statistique
|x−1.04| s
√20 = |1.04551−1.04| 0.02328
√20 = 1.058 5
Cette valeur étant plus petite que le point critique, on ne rejette pasH0 pour le paramètre moyenne.
Pour les hypothèses sur la variance, le test est de rejeterH0 si (n−1)S2
0.0001 ≥χ2n−1;α = 30.144 Or on observe la statistique
(n−1)S2
0.0001 = 19∗(0.02328)2
0.0001 = 102.97 On doit donc rejeterH0et dire que la machine n’est pas bien calibrée.
(2) Un échantillon de 40 cigarettes d’une certaine marque a donné les teneurs en goudron (en mg) suivantes :
12,9 11,9 12,4 14,5 13,1 12,9 14,5 14,7 12,3 13,4 14,7 13,4 14,5 16,5 12,7 14,8 11,8 14,3 14,4 13,5 11,9 12,8 13,5 15,6 14,4 15,0 15,2 11,8 12,9 13,6 14,6 12,9 11,8 14,2 12,8 14,7 13,9 12.8 12.9 11.8
La norme en vigueur recommande une teneur en goudron d’au plus 13 mg par cigarette.
Vérifier si la teneur moyenne des cigarettes est inférieure à cette norme.
On veut confronter les hypothèses
H0 : µ= 13 H1 : µ < 13
avec un seuilα= 0.05(probabilité de dire que c’est inférieur étant donné que c’est égal). Le test approximatif est de rejeterH0 si
X−13 S
√n <−zα = 1.654
Or on observex = 13.5575ets = 1.1873. Cela veut dire que les observations ne vont pas dans le sens deH1d’où le fait d’accepter automatiquementH0.
(3) Dans une population, le temps d’écoute de la télévision en une semaine (en heures) est une variable de loi normale dont la moyenneµfluctue d’une semaine à l’autre selon l’intérêt que suscitent les émissions, mais dont l’écart type est relativement stable et égal à 6. Un sondage auprès de 16 individus de cette population a donné les temps d’écoute suivants en une semaine:
12,0 23,5 15,0 11,5 23,0 29,5 34,0 19,5 20,0 27,0 13,0 22,5 6,0 25,0 18,0 20,5
Vérifier que la variance du temps d’écoute est de 36.
On veut confronter les hypothèses
H0 : σ2 = 36 H1 : σ2 6= 36
au seuilα = 5%(probabilité de dire que la variance n’est pas de 36 étant donné qu’elle est effectivement de 36) puisqu’on ne connaît pas la conséquence de l’erreur.
Le test est de rejeterH0 si (n−1)S2
36 ≥χ2n−1;α/2 ou si (n−1)S2
36 ≤χ2n−1;1−α/2 Or
χ2n−1;α/2 = 27.488 χ2n−1;1−α/2 = 6.262 1 (n−1)s2
36 = (15) 7.29612
36 = 22.18
On doit donc accepterH0 et on peut dire que la variance n’est pas significativement différente de 36.
(4) Une usine fabrique des pièces de précisions pour des moteurs. Les spécifications sont telles que la moyenne du diamètre d’un piston doit avoir 30mm et la variance ne doit pas exéder 1.
Un contrôle de qualité est effectué sur 10 pièces au hasard et on observex= 29.81mmavec s= 1.1
En considérant que les mesures sur les pièces sont des v.a. normales, vérifier si chaque spécification est respectée au niveau 10%.
Les hypothèses à confronter sontH0 :µ= 30contreH1 :µ6= 30. Le test est de rejeterH0 si
|X−30|
S
√10≥tn−1;α/2 = 1.833 1. On observe 29.81−301.1 √
10 =−0.546 22donc on accepteH0. Les hypothèses à confronter sontH0 :σ2 = 1contreH1 :σ2 >1. Le test est de rejeterH0si
(n−1)S2
σ20 ≥χ2n−1;α = 14.684. On observe (9)s12 = 9∗1.11 2 = 10.89donc on accepteH0
(5) Sur 1000 naissances échantillonnées dans une année on observe 275 de celles-ci qui ont eu lieu dans la semaine de la pleine lune. Peut-on dire qu’il y a un effet de la pleine lune sur le taux de naissances au niveau 5% ?
Les hypothèses à confronter sontH0 :π = 1/4contreH1 : π 6= 1/4oùπest la probabilité d’observer une naissance durant la semaine de la pleine lune. Le test est de rejeterH0si
|p−π0| pπ0(1−π0)
√n≥zα/2 = 1.96.
On observe
275 1000−.25
√.25(1−.25)
√1000 = 1.825 7donc on accepteH0
(6) Un syndicat français a un taux de membres de 10% dans une compagnie1. Après l’élection d’un président socialiste on se demande si ce taux sera encore le même après un an. Pour établir cette prédiction on sélectionne 503 travailleurs et on demande s’il ont l’intention d’adherer à un syndicat. Il y a 65 travailleurs qui ont l’intention d’adherer à un syndicat.
Peut-on dire que cela montre une différence entre l’ancien président et le nouveau au niveau 5% ?
Les hypothèses à confronter sontH0 : π= 0.1contreH1 :π 6= 0.1et le test est de rejeterH0
si |p−π0|
pπ0(1−π0)
√n ≥zα/2 = 1.96 On observe la statistique
65 503 −.1 p.1 (1−.1)
√503 = 2.184 8 donc on rejetteH0
(7) Un ampoule au une chance sur 5 de durer plus de 500 heures. Sur un lot de 100 ampoules il y en a 30 qui ont durée plus de 500 heures. Peut-on dire avec un niveau de 10% que ces ampoules sont plus durables que les précédantes ?
Les hypothèses à confronter sontH0 : π= 0.2contreH1 :π > 0.2et le test est de rejeterH0
si |p−π0|
pπ0(1−π0)
√n ≥zα = 1.28.
1 En France les employés ont le choix d’adhérer ou non à un syndicat et c’est le syndicat de leur choix et ce quelque soit l’entreprise.
On observe
30 100−.2 p.2 (1−.2)
√100 = 2.5 donc on rejetteH0
(8) Une grande entreprise affirme qu’il y a 50% des cadres qui sont des femmes. Or un sondage donne 201 femmes cadres sur 435 postes échantillonnés. Peut-on dire que l’affirmation de la compagnie est erronée au niveau 5% ?
Les hypothèses à confronter sontH0 :π= 1/2contreH1 :π 6= 1/2et le test est de rejeterH0
si |p−π0|
pπ0(1−π0)
√n ≥zα/2 = 1.96 On observe
201 435 −.5 p.5 (1−.5)
√435 =−1.582 2 donc on accepteH0
(9) La compagnie aérienne "les ailes du monde" vend un surplus de 6% de billets en affirmant que cela correspond au taux de personnes qui ne se présente pas. Une association de consommateurs fait un sondage auprès de 500 clients de cette entreprise qui ont achété un billet et observe qu’il y a 18 personnes qui ne se sont pas présentés. Cela infirme-t-il l’affirmation de la compagnie au niveau 5%.
Les hypothèses à confronter sontH0 :π = 0.06contreH1 :π 6= 0.06et le test est de rejeter H0 si
|p−π0| pπ0(1−π0)
√n≥zα/2 = 1.96.
On observe
18 500 −.06 p.06 (1−.06)
√500 =−2.259 7 donc on rejetteH0
(10)Dans le cadre d’un contrôle de qualité d’une machine qui doit remplir des bouteilles de 300ml on observe les valeurs suivantes :
311,314,293,282,280,260,310,290,294,321,320,310,312,286,310 Vérifier que la machine a bien une moyenne de 300 ml par bouteille au niveau 10%
Les hypothèses à confronter sontH0 : µ = 300contre H1 : µ 6= 300. Si on suppose la normalité le test est de rejeterH0 si
|X−µ0| S
√n≥tn−1;α/2 = 1.761 3 On observe
|x−300| s
√15 = |299.53−300| 17.533
√15 = 0.103 82 donc on accepteH0
(11)Un économiste prend 30 indices qui sont directement liés au marché québécois au mois de janvier et au mois de février pour vérifier que la possibilité des reer jusqu’à la fin février a comme effet d’augmenter la valeur des indices artificiellement. La mesure est donc
l’augmentation en % de l’action entre janvier et février. On observe les valeurs suivantes : 3.0 3.1 3.3 2.9 3.0 3.4 3.2 3.2 4.0 2.7 2.1 2.9 3.7 3.1 2.9 2.7 2.6 2.6 2.7 2.4 2.3 2.5 3.4 3.3 2.9 3.5 2.8 2.8 4.0 3.4 Faire un test pour vérifier qu’il y a une augmentation de l’action au niveau 10%.
Les hypothèses à confronter sontH0 :µ= 0contreH1 :µ >0. Le test est de rejeterH0 si X−µ0
S
√n≥zα = 1.28 On observe
x−0 s
√30 = 3.0133 0.45918
√30 = 35.943 donc on rejetteH0
(12)Un sondage auprès de 36 villes de tailles moyennes au USA donne un taux de chômage moyen de 12% avec un écart type de 3. Or un recensement en 2005 donnait un taux ce chômage moyen de 11% dans les villes de taille moyenne. Vérifier s’il y a eu un changement entre 2005 et 2012 (date de l’enquête) au niveau 5%.
Les hypothèses à confronter sontH0 :µ= 11contreH1 :µ6= 11. Le test de niveau 5% est de rejeterH0 si
|X−µ0| S
√n≥zα/2 = 1.96 On observe
x−11 s
√36 = 12−11 3
√36 = 2.
0donc on rejetteH0
(13)Il y a 40 ans les appareils ménagers semblaient avoir une durée de vie plus grande que ceux qui sont vendus aujourd’hui. Pour corroborer cette hypothèse un sondage auprès de 55 ménages donne une durée de vie moyenne du dernier réfrigérateur de 12 ans avec un écart type de 4. Les données d’il y a 40 ans donnaient une durée de vie moyenne des réfrigérateurs de 14 ans. Peut-on dire au niveau 10 % qu’il y a une perte dans la durée de vie.
Les hypothèses à confronter sontH0 :µ= 14contreH1 :µ <14. Le test est de rejeterH0 si X−µ0
S
√n≤ −zα =−1.28 On observe
x−14 s
√55 = 12−14 4
√55 = −3.708 1 donc on rejetteH0
(14)Des pièces de précision doivent avoir un diamètre de 21cm avec une variance maximale de 0.1. On observe les diamètres suivants :
26,18,21,14,28,27,26,10,21,20,21,24
En supposant une distribution normale des mesures vérifier si la variance est respectée au niveau 10%
Les hypothèses à confronter sontH0 :σ2 = 0.1contreH1 :σ2 >0.1. Le test est de rejeter
H0 si
(n−1)S2
σ20 ≥χ2n−1;α = 17.275 On observe
(11)s2
0.1 = 11∗5.4162
0.1 = 3226.6 donc on rejetteH0
(15)On suppose que la fabrication d’une gaufre de microprocesseurs (55 microprocesseurs par gaufre) donne un taux moyen de rejet de 10%. On observe sur 35 gaufres un taux moyen de rejet de 12% avec une variance de 12. Vérifier si la variance du taux de rejet est de 12.
Les hypothèses à confronter sontH0 :σ2 = 12contreH1 :σ2 6= 12. Le test est de rejeterH0
si (n−1)S2
σ20 ≥χ2n−1;α/2 = 51.966 ou si
(n−1)S2
σ20 ≤χ2n−1;1−α/2 = 19.806 On observe
(34)s2
12 = 34∗10
12 = 28.333 donc on accepteH0
