Etude de la fonction
f (x) = 3x x2− 1 • x ∈ domf ⇔ x2− 1 6= 0 ⇔ x26= 1 ⇔ x 6= −1 et x 6= 1 domf = R − {−1; 1} • lim x→−∞ 3x x2− 1 = limx→−∞ x · 3 x(x −1 x) = lim x→−∞ 3 x −1 x = lim x→−∞ 3 x = 0 lim x→+∞ 3x x2− 1 = limx→+∞ x · 3 x(x − 1 x) = lim x→+∞ 3 x − 1 x = lim x→+∞ 3 x = 0 Donc, Gf admet une A.H. : y = 0.• lim x→−1− 3x x2− 1 = 3 0+ = +∞ lim x→−1+ 3x x2− 1 = 3 0− = −∞
Donc, Gf admet une A.V. : x = −1.
• lim x→1− 3x x2− 1 = 3 0− = −∞ lim x→1+ 3x x2− 1 = 3 0+ = +∞
Donc, Gf admet une A.V. : x = 1.
• f est dérivable sur domf : domf0= domf ∀x ∈ domf0: f 0(x) = 3 · (x2− 1) − 3x · 2x (x2− 1)2 = 3x2− 3 − 6x2 (x2− 1)2 = −3(x2+ 1) (x2− 1)2 1
• f0(x) = 0 ⇔ x2+ 1 = 0 impossible • x −∞ −1 1 +∞ −3(x2+ 1) − − − (x2− 1)2 + k + k + f 0(x) − k − k −
f (x) +∞ & k & k & −∞
• f0 est dérivable sur domf0: domf ” = domf0
∀x ∈ domf00 : f00(x) = −6x · (x2− 1)2+ (3x2+ 3) · 2(x2− 1) · 2x (x2− 1)4 = (x2− 1)[−6x · (x2− 1) + 4x · (3x2+ 3) (x2− 1)4 =−6x 3+ 6x + 12x3+ 12x (x2− 1)3 = 6x3+ 18x (x2− 1)3 = 6x(x2+ 3) (x2− 1)3 • f”(x) = 0 ⇔ 6x(x2+ 3) = 0 ⇔ x = 0 ou x2= −3 impossible • x −∞ −1 0 1 +∞ 6x − − 0 + + (x2− 1)3 + k − − k + f ”(x) − k + − k + Gf k point d0 inflexion : x = 0 k
Rédaction du corrigé, saisie et mise en pages: Alain KLEIN, IIe C 2 LCD, 2007/08
