corrigé

Exercice 1 : Dans la figure ci-contre, I, K et L sont des points choisis sur les arêtes [CG], [AE] et [AB] du cube.

1. Les droites (HK) et (AI) sont-elles sécantes? Justifier. (HK) est contenue dans le plan (ADE).

(AI) est contenue dans le plan (ACG).

Les plans (ADE) et (ACG) sont sécants selon la droite (AE). Donc, si (HK) et (AI) sont sécantes, elles le sont sur (AE). Or (HK) coupe (AE) en K alors que (AI) coupe (AE) en A. Donc (HK) et (AI) ne sont pas sécantes (n'étant pas parallèles, elles ne sont donc pas coplamaires).

2. Les droites (FL) et (HK) sont-elles parallèles? Justifier. Le plan (FLK) est confondu avec le plan (ABF), et est donc parallèle strictement au plan (CDH).

Le point H n'appartient donc pas au plan (FLK). Donc les droites (HK) et (FL) ne sont pas coplanaires. Elles ne sont donc pas parallèles.

3. Dessiner l'intersection des plans (HAI) et (ABC). Justifier brièvement. A ∈ (HAI)∩(ABC)

(HI)⊂(CDH) et (CDH)∩(ABC)=(CD)

Donc (HI) coupe (ABC) sur (CD). Soit M le point d'intersection de (HI) et (CD). M ∈ (HAI)∩(ABC)

Finalement, (HAI)∩(ABC)=(AM)

4. Dessiner l'intersection des plans (HAI) et (HGF). Justifier brièvement. H ∈ (HAI)∩(HGF)

(AI)⊂(ACG) et (ACG)∩(HGF)=(EG)

Donc (AI) coupe (HGF) sur (EG). Soit N le point d'intersection de (AI) et (EG). N ∈ (HAI)∩(HGF)

Finalement, (HAI)∩(HGF)=(HN)

5. Dessiner l'intersection de (HAI) et du cube. (HAI)∩(ADH)=(AH )

(HAI)∩(CDG)=(HI)

(ADH)//(BCG) donc (HAI) coupe (ADH) et (BCG) selon deux droites parallèles. Or I ∈ (HAI)∩(BCG) . Donc, (HAI)∩(BCG) est la parallèle à (AH) passant par I. Cette droite coupe [BC] en P.

(HAI)∩(BCG)=(IP) (HAI)∩(ABC)=(AP)

Géométrie dans l'espace - corrigé

Exercice 2 : ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que AB = 4, AE = 3 et AD = 5.

1. Montrer que AG = 5



ABE est rectangle en A, donc, d'après le théorème de Pythagore, BE2_=EA2

+AB2

BE2=25 BE=25

Les diagonales du rectangle ABFE sont de même longueur, donc AF=5 . FG=AD=5

AFG est donc un triangle rectangle isocèle en F, les côtés de l'angle droit valant 5. L'hypoténuse AG a donc pour longueur 5

√

2. Faire un patron.

Remarque : dans GeoGebra 5, on peut faire un dessin en 3D, et déplier le patron dans le plan de base.

3. Une fourmi se promène sur ce parallélépipède rectangle et se déplace du point A vers le point G en passant par les faces ABFE et BFGD. Quelle est la distance la plus courte pour aller ainsi du point A au point G ? Sur les deux dessins précédents, on a schématisé le parcours de la fourmi, par des traits noirs.

Le patron ainsi dessiné n'est pas pratique (on voit que la ligne noire sur le patron est « sectionnée »). 3 5 4 A B B C

Reproduisons le patron en faisant pivoter la face FBCG d'un quart de tour autour de F. La ligne noire précédente, schématisant

le trajet de la fourmi, est maintenant continue, mais elle est brisée et ne représente donc pas le chemin le plus court permettant d'aller de A à G en passant par l'arête [FB] (commune aux faces ABFE et BCGC).

« Le chemin le plus court entre deux points est la ligne droite ! ».

Traçons en bleu ce chemin optimal. Il coupe [FB] en I.

La position de I étant connue, grâce au patron, elle peut être reportée sur le solide... A

B C

G

I

Exercice 3 :

ABCDEFGH est un cube.

K est situé au quart du segment [AH]. L est le milieu de [GH].

1°) On trace le rectangle ABGH, sachant que AH = AF (AF est en vraie grandeur puisque dans une face frontale).

Il n'est alors plus très difficile, en utilisant des médiatrices de placer K au quart de [AH] en partant de H, et L au milieu de [GH].

2°) L’arête du cube vaut a.

a. Dans le triangle AEH, rectangle en E, d'après le théorème de Pythagore,

AH2_=AE2

EH2

AH2=2 a2

b. Dans le triangle KLH, rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore, KL2=KH2HL2 KL2=











c. Dans le triangle AKB, rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore,

KB2 =KA2_AB2 KB2=







d. Dans le triangle LGB, rectangle en G, d'après le théorème de Pythagore, LB2=LG2GB2 LB2=2 a2





e. Le plus long côté du triangle KLB est [BL]. KB2KL2=3 a 2 8  17 a2 8 KB2KL2=20 a 2 8 KB2KL2=5 a 2 2 KB2KL2≠LB2

Donc, d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle KLB n'est pas rectangle.

Exercice 4 : Paul et Françoise sont confortablement installés au bar du Petit Pêcheur. Le verre que le patron pose devant Paul, a la forme d'un cône. Il est rempli à ras bord.

Tout en écoutant son amie Françoise, Paule savoure son jus d'orange.

Après une minute, Françoise remarque que le niveau du liquide dans le verre de Paul a baissé d'un tiers. En supposant que Paul continue de boire son verre de jus d'orange au même rythme, après combien de secondes son verre sera-t-il vide ?

Rappels : volume d'un cône de hauteur h, dont la base a pour rayon R : Vc= 1 3πR

2

×h

réduction : si le rapport existant entre les dimensions de deux solides de même forme est 1

k , alors

le rapprot existant entre le volume de l'un et celui de l'autre est 1

k3 .

Soit Vd le volume de jus d'orange au départ et Vr le volume de jus d'orange restant après une minute. Vr=

(

3

)

3

Vd soit Vr=₂₇8 Vd

Soit V_b le volume d jus d'orange bu en 60 s. Vb= 19 27Vd et, V_r Vd = 8 19

En supposant que Paul continue à boire au même rythme, il aura vidé son verre au bout de 8

19×60≈25,26 s. Après moins de 26 s, son verre sera alors vide...

Exercice 5 : Déterminer la section du pavé ABCDEFGH par le plan (PQR), dans chacun des cas, en justifiant.

1°) Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles donc (PQR) les coupe selon deux droites parallèles. (ABC) ∩ (PQR) est la parallèle à (PQ) passant par R.

Cette droite coupe (CD) en S.

De même, les plans (ABF) et (DCG) sont parallèles donc (PQR) les coupe selon deux droites parallèles. (ABF) ∩ (PQR) est la parallèle à (PR) passant par S.

Cette droite coupe (CG) en T.

Il reste à tracer : (PQR) ∩ (BCG) = (QT)

S

2°) (HG) et (PQ) sont contenues dans (EFG) : elle sont sécantes en un point que l'on note I. (HG) ⊂ (CDH) et (PQ) ⊂ (PQR) donc le point I est sur (PQR) ∩ (CDH).

Les plans (ABF) et (DCG) sont parallèles donc (PQR) les coupe selon deux droites parallèles. (ABF) ∩ (PQR) est la parallèle à (PR) passant par I.

Cette droite coupe (CG) et (CD) respectivement en S et T. (PQR) ∩ (BCG) = (QS)

(PQR) ∩ (CDH) = (ST)

Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles donc (PQR) les coupe selon deux droites parallèles. (ABC) ∩ (PQR) est la parallèle à (PQ) passant par T.

Cette droite coupe (AD) en U.

Il reste à tracer : (PQR) ∩ (ADH) = (RU)

Exercice 6 : Alain, Bob et Charles habitent très loin les uns des autres et, de temps en temps, échangent des informations par Internet. Ils découvrent ainsi que les villes où vivent Bob et Charles se trouvent sur le même méridien : celle de Charles à 30° sous l'Équateur et celle de Bob à 60° au-dessus de l'Équateur.

Les villes de Bob et d'Alain se situent sur le même parallèle, mais en des points diamétralement opposés.

Quel est l'arc le plus long:l'arc de méridien qui va de Bob à Charles ou l'arc de parallèle que va de Bob à Alain ?

Soit R le rayon de la Terre. L'arc BC a pour longueur un quart de l'équateur, soit πR 2 .

Soit O' le centre du parallèle sur lequel se trouvent les villes où habitent Bob et Alain, et r son rayon. Dans le triangle OO'B, rectangle en O', ̂BOO ' = 30° et r = Rsin(30°) = R₂

Le parallèle a donc pour longueur 2 π r=π R et l'arc AB a pour longueur πR 2 .

Les villes où habitent Alain et Charles sont équidistantes de la ville dans laquelle habite Bob !

I

S T