Analyse des syst`emes dynamiques dans R

(1)

Analyse des syst`

_{emes dynamiques dans R}

2 Automne 2010

S. Mousset

(2)

Table des mati`

eres

1 Introduction : le mod`

ele proies-pr´

edateurs de Lotka-Volterra

2 Les syst`

emes planaires dans R

2

3 Etude qualitative des syst`

´

emes non lin´

eaires dans R

2

4 Exemples classiques

(3)

Introduction : le modèle proies-prédateurs de Lotka-Volterra Les équations du modèle

Plan d´

etaill´

e

1 Introduction : le mod`

ele proies-pr´

edateurs de Lotka-Volterra

Les ´

equations du mod`

ele

Portrait de phase

(4)

Les ´equations du mod`ele

Le mod`

ele proies-pr´

edateurs de Lotka-Volterra

Dynamique des populations de proies et pr´

edateurs sans interactions

Les proies N

croissance logistique,

param`

etres r et K .

t N K

Les pr´

edateurs P

d´

ecroissance exponentielle,

param`

etre µ

t P P0

(5)

Introduction : le modèle proies-prédateurs de Lotka-Volterra Les équations du modèle

Le mod`

ele proies-pr´

edateurs de Lotka-Volterra

Les interactions proies-pr´

edateurs

Si les d´

eplacements de proies et pr´

edateurs se font au hasard, alors

le nombre de rencontres entre proies et pr´

edateurs est

proportionnel au produit NP .

Les proies N

Consommation `

a la vitesse

αNP .

α caract´

erise l’efficacit´

e des

attaques des pr´

edateurs.

Les pr´

edateurs

Reproduction `

a la vitesse

βNP .

β caract´

erise le rendement

des attaques en termes de

reproduction des pr´

edateurs.

(6)

Les ´equations du mod`ele

Le mod`

ele proies-pr´

edateurs de Lotka-Volterra

Les ´

equations du mod`

ele

On a le syst`

eme de deux EDO du premier ordre suivant :











dN

dt

= rN

1 −

N

K

− αNP

dP

dt

= −µP + βNP

Dans le plan (N , P ), on peut ´

etudier le signe de

dN

dt

et

dP

dt

.

(7)

Introduction : le mod`ele proies-pr´edateurs de Lotka-Volterra Portrait de phase

Plan d´

etaill´

e

1 Introduction : le mod`

ele proies-pr´

edateurs de Lotka-Volterra

Les ´

equations du mod`

ele

Portrait de phase

(8)

Portrait de phase

Signe de

dN

dt

L’´

evolution du nombre de proies d´

epend du signe de

dN

dt

dN

dt

> 0

⇐⇒

rN

1 −

N

K

− αNP > 0

⇐⇒

N

r −

rN

K

− αP

> 0

⇐⇒

P <

r

α

1 −

N

K

dN

dt

= 0 pour N = 0 et P =

r

α

1 −

N

K

.

(9)

Portrait de phase

Signe de

dP

dt

L’´

evolution du nombre de pr´

edateurs d´

epend du signe de

dP

dt

dP

dt

> 0

⇐⇒

−µP + βNP > 0

⇐⇒

P (βN − µ) > 0

⇐⇒

N >

µ

β

dP

dt

= 0 pour P = 0 et N =

µ

β

.

(10)

Portrait de phase

Signe de

dN

dt

P

r

α

K

dN dt

<

0 dN dt

>

0

(11)

Portrait de phase

Signe de

dP

dt

N

P

µ β

dP dt

<

0 dP dt

>

0

(12)

Portrait de phase

Vecteurs vitesse

N

P

r

α

K

µ β

(13)

Portrait de phase

´

Evolution du syst`

eme

N

P

r

α

K

(14)

Portrait de phase

Chroniques

0

50

100

150

200

250

300

350

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5 t

(15)

Introduction : le modèle proies-prédateurs de Lotka-Volterra Définitions

Plan d´

etaill´

e

1 Introduction : le mod`

ele proies-pr´

edateurs de Lotka-Volterra

Les ´

equations du mod`

ele

Portrait de phase

D´

efinitions

(16)

D´efinitions

D´

efinitions

Point d’´

equilibre

Soit un syst`

eme dynamique d’EDO tel que











dx

dt

=

f (x , y)

dy

dt

=

g(x , y)

Un point d’´

equilibre de ce syst`

eme est un point (x

?

, y

?

) qui v´

erifie :











dx

dt

x =x

?

_,y=y

?

=

f (x

?

, y

?

) = 0

dy

dt

x =x

?

_,y=y

?

=

g(x

?

, y

?

) = 0

(17)

Introduction : le modèle proies-prédateurs de Lotka-Volterra Définitions

D´

efinitions

Isoclines nulles

Soit un syst`

eme dynamique d’EDO tel que











dx

dt

=

f (x , y)

dy

dt

=

g(x , y)

Les isoclines nulles de ce syst`

emes sont l’ensemble des points du

plan qui v´

erifient :

dx

dt

= f (x , y) = 0

ou

dy

dt

= g(x , y) = 0

Sur le portrait de phase, on parle d’isocline horizontale

dy

dt

= 0

ou verticale

dx

dt

= 0

(18)

Table des mati`

eres

1 Introduction : le mod`

ele proies-pr´

edateurs de Lotka-Volterra

2 Les syst`

emes planaires dans R

2

3 Etude qualitative des syst`

´

emes non lin´

eaires dans R

2

4 Exemples classiques

(19)

Analyse des syst`emes dynamiques dans R Les syst`emes planaires dans R2

D´efinitions

Plan d´

etaill´

e

2 Les syst`

emes planaires dans R

2 D´

efinitions

Solutions des syst`

emes d’EDO lin´

eaires (cas de 2 valeurs

propres r´

eelles)

Exponentielles de matrices et formes de Jordan

Typologie des syst`

emes planaires

(20)

D´efinitions

Syst`

eme planaire

D´

efinition

Un syst`

eme d’EDO tel que











dx

dt

=

f (x , y)

dy

dt

=

g(x , y)

est un syst`

eme planaire si et seulement si

∃(α, β, γ, α

0 , β

0 , γ

0 ) ∈ R

6 |

f (x , y)

=

αx + βy + γ

g(x , y)

=

α

0 x + β

0 y + γ

0

(21)

D´efinitions

Syst`

eme planaire

Propri´

et´

e

Si (x

?

, y

?

) est un point d’´

equilibre d’un syst`

eme planaire, on

effectue le changement de variable x = x

?

+ u ⇐⇒ u = x − x

?

et y = y

?

+ v ⇐⇒ v = y − y

?











du

dt

=

dx

dt

= f (x

?

_{+ u, y}

?

_{+ v )}

dv

dt

=

dy

dt

= g(x

?

_{+ u, y}

?

_{+ v )}

Soit

_









du

dt

= αu + βv

dv

dt

= α

0 _{u + β}

0 _v

(22)

D´efinitions

Syst`

eme planaire

Propri´

et´

e

Pour tout syst`

eme planaire, il existe un syst`

eme planaire ´

equivalent

s’´

ecrivant a

11 , a

12 , a

21 , a

22 









du

dt

=

a

11 u

+

a

12 v

dv

dt

=

a

21 u

+

a

22 v

Pour l’´

etude des syst`

emes non planaires, nous utiliserons un

d´

eveloppement de Taylor du premier degr´

e pour nous placer dans

un syst`

eme planaire ´

equivalent au voisinage des points d’´

equilibre.

(23)

D´efinitions

Syst`

eme planaire

Ecriture matricielle

Soit un syst`

eme planaire du type











du

dt

=

a

11 u

+

a

12 v

dv

dt

=

a

21 u

+

a

22 v

Ce syst`

eme est ´

equivalent `

a l’´

ecriture matricielle ˙

X = MX avec

M =

a

11 a

12 a

21 a

22 et

X =

u

v

(24)

D´efinitions

Syst`

eme planaire

Ecriture matricielle

Soit un syst`

eme planaire du type











du

dt

=

a

11 u

+

a

12 v

dv

dt

=

a

21 u

+

a

22 v

La matrice M =

a

11 a

12 a

21 a

22 est appel´

ee “matrice Jacobienne”

du syst`

eme.

(25)

Solutions des systèmes d’EDO linéaires (cas de 2 valeurs propres réelles)

Plan d´

etaill´

e

2 Les syst`

emes planaires dans R

2 D´

efinitions

Solutions des syst`

emes d’EDO lin´

eaires (cas de 2 valeurs

propres r´

eelles)

Exponentielles de matrices et formes de Jordan

Typologie des syst`

emes planaires

(26)

´

Equation caract´

eristique

Soit un syst`

eme planaire du type admettant la matrice Jacobienne

M =

a

11 a

12 a

21 a

22 Les valeurs propres de M sont les solutions de l’´

equation

caract´

eristique

det(M − λI) = 0

⇔

a

11 − λ

a

12 a

21 a

22 − λ

= 0

⇔

(a

11 − λ)(a

22 − λ) − a

12 a

22 = 0

⇔ λ

2 _{− (a}

11 + a

22 )λ + (a

11 a

22 − a

21 a

22 ) = 0

(27)

´

Equation caract´

eristique

Soit un syst`

eme planaire du type admettant la matrice Jacobienne

M =

a

11 a

12 a

21 a

22 La nature des solutions d´

epend du discriminant de l’´

equation

caract´

eristique λ

2 − λtr(M) + det(M) = 0

(28)

∆ > 0

M admet deux valeurs propres r´

eelles

λ

1 =

tr(M) +

√

∆

2 λ

2 =

tr(M) −

√

∆

2 On effectue un changement de bases pour se placer dans une base

o`

u M est diagonale

D =

λ

1

0

0 λ

2 = P

−1

MP

o`

u M est la matrice de passage constitu´

ee par les vecteurs propres

de M associ´

es `

a λ

1 et λ

2 .

p

11 p

21

(29)

∆ > 0

Alors, on pose

u

v

= P

w

z

⇔ P

−1

u

v

=

w

z

On a alors

˙

w

˙z

= P

−1

˙

u

˙v

= P

−1

M

u

v

= P

−1

MP

w

z

= D

w

z

(30)

∆ > 0

On a alors

˙

w = λ

1 w

˙z = λ

2 z

⇔

w (t ) = K

1 e

λ

1

t

z (t ) = K

2 e

λ

2

t

d’o`

u

v

= P

w

z

=

p

11 p

21 p

12 p

22 w

z

soit

u(t )

v (t )

= K

1 p

11 p

12 e

λ

1

t

_{+ K}

2 p

21 p

22 e

λ

2

t

(31)

Exponentielles de matrices et formes de Jordan

Plan d´

etaill´

e

2 Les syst`

emes planaires dans R

2 D´

efinitions

Solutions des syst`

emes d’EDO lin´

eaires (cas de 2 valeurs

propres r´

eelles)

Exponentielles de matrices et formes de Jordan

Typologie des syst`

emes planaires

(32)

Solutions de ˙

X = MX

Soit un syst`

eme planaire du type ˙

X = MX, les solutions du

syst`

eme sont du type :

X(t ) = e

Mt

X

0 o`

u e

M

est l’exponentielle de la matrice M d´

efinie par :

e

M

=

∞

X

k =0

M

k

k !

,

o`

u M

0 = I (la matrice identit´

e) et X

0 est impos´

e par les

(33)

Propri´

et´

es des exponentielles de Matrices

1

Si A et B commutent (AB = BA), alors e

A+B

= e

A

e

B

.

2

Si B = −A, alors e

A+B

= e

0 = I, d’o`

u e

−A

= e

A

−1

.

3

Si B est semblable `

a A (B = P

−1

AP), alors e

B

= P

−1

e

A

P.

4

Si B = At , alors

d

dt

e

(34)

Formes de Jordan dans R

2 Proposition

Soit A une matrice r´

eelle carr´

ee de dimension 2, alors il existe une

matrice r´

eelle inversible P telle que J = P

−1

AP est de l’une des

formes suivantes :

J =

λ

1

0

0 λ

2 J =

λ

0

0 λ

0 J =

λ

0

1

0 λ

0 J =

α

−β

β

α

(35)

Formes de Jordan dans R

2 J =

λ

1

0

0 λ

2 ⇒ e

Jt

₌

e

λ

1

t

₀

0 e

λ

2

t

J =

λ

0

0 λ

0 ⇒ e

Jt

₌

e

λ

0

t

₀

0 e

λ

0

t

= e

λ

0

t

_I

2 J =

λ

0

1

0 λ

0 ⇒ e

Jt

₌

e

λ

0

t

_te

λ

0

t

0 e

λ

0

t

= e

λ

0

t

1 t

0

1 J =

α

−β

β

α

⇒ e

Jt

_{= e}

αt

cos(βt )

− sin(βt)

sin(βt )

cos(βt )

(36)

Typologie des syst`emes planaires

Plan d´

etaill´

e

2 Les syst`

emes planaires dans R

2 D´

efinitions

Solutions des syst`

emes d’EDO lin´

eaires (cas de 2 valeurs

propres r´

eelles)

Exponentielles de matrices et formes de Jordan

Typologie des syst`

emes planaires

(37)

Forme de Jordan associ´

ee `

a la Jacobienne

Soit un syst`

eme planaire du type











du

dt

=

a

11 u

+

a

12 v

dv

dt

=

a

21 u

+

a

22 v

Il existe une forme de Jordan r´

eelle J associ´

ee `

a la matrice

Jacobienne du syst`

eme M =

a

11 a

12 a

21 a

22 .

(38)

Forme de Jordan associ´

ee `

a la Jacobienne

Valeurs propres de la Jacobienne

Les valeurs propres de M =

a

11 a

12 a

21 a

22 sont les solutions de

det(M − λI) = 0.

det(M − λI) = 0

⇐⇒

a

11 − λ

a

12 a

21 a

22 − λ

= 0

⇐⇒

(a

11 − λ)(a

22 − λ) − a

12 a

21 = 0

⇐⇒

λ

2 _{− λ(a}

11 + a

22 ) + a

11 a

22 − a

12 a

21 = 0

⇐⇒

λ

2 − tr(M)λ + det(M) = 0

(39)

Forme de Jordan associ´

ee `

a la Jacobienne

´

Equation caract´

eristique de la Jacobienne

Les valeurs propres de M sont les solutions de l’´

equation

caract´

eristique

λ

2 − tr(M)λ + det(M) = 0.

On distingue plusieurs cas selon le signe de

(40)

Typologie des syst`

emes planaires

∆ > 0, M a 2 valeurs propres r´

eelles distinctes

On note λ

1 et λ

2 les valeurs propres de M.

Des vecteurs propres associ´

es sont u

1 =

u

11 u

12 et

u

2 =

u

21 u

22 .

La matrice de passage est P =

u

11 u

21 u

12 u

22 P

−1

MP = J =

λ

1

0

0 λ

2

(41)

Typologie des syst`

emes planaires

2 valeurs propres r´

eelles distinctes positives

(42)

Typologie des syst`

emes planaires

2 valeurs propres r´

eelles distinctes n´

egatives

(43)

Typologie des syst`

emes planaires

2 valeurs propres r´

eelles de signes oppos´

es

(44)

Typologie des syst`

emes planaires

∆ = 0, M a 1 valeur propre double r´

eelle

On distinque deux cas possibles :

1

M est d´

ej`

a diagonale, M =

λ

0

0 λ

0 , alors M est d´

ej`

a

sous sa forme de Jordan J =

λ

0

0 λ

0

(45)

Typologie des syst`

emes planaires

1 valeur propre r´

eelle double et M est diagonale

(46)

Typologie des syst`

emes planaires

1 valeur propre r´

eelle double et M est diagonale

(47)

Typologie des syst`

emes planaires

∆ = 0, M a 1 valeur propre double r´

eelle et n’est pas diagonale

On note λ

0 la valeur propre double de M.

Un vecteur propre associ´

e est u

0 =

u

01 u

02 et m =

m

1 m

2 est un vecteur non colin´

eaire `

a u

0 .

La matrice P =

u

01 m

1 u

02 m

2 permet de triangulariser M.

P

−1

MP =

λ

0 c

0 λ

0 o`

u c est un r´

eel non nul.

Pour triangulariser M, on utilise une nouvelle matrice de

passage P

1 =

1

0

0 c

−1

P

1 −1

MP

1 = J =

λ

0

1

(48)

Typologie des syst`

emes planaires

1 valeur propre r´

eelle double et M n’est pas diagonale

(49)

Typologie des syst`

emes planaires

1 valeur propre r´

eelle double et M n’est pas diagonale

(50)

Typologie des syst`

emes planaires

∆ < 0, M a 2 valeurs propres complexes conjugu´

ees

On note λ

1,2

= α ± i β, avec α =

tr(M)

₂

et β =

√

|∆|

2 .

Des vecteurs propres associ´

es `

a λ

1 et λ

2 sont ´

egalement

complexes conjugu´

es, et on peut ´

ecrire u

1,2

= a ± i b, o`

u

a =

a

1 a

2 et b =

b

1 b

2 sont des vecteurs r´

eels de R

2 .

La matrice de passage est P =

b

1 a

1 b

2 a

2 P

−1

MP = J =

α

−β

β

α

(51)

Typologie des syst`

emes planaires

2 valeurs propres complexes conjugu´

ees

(52)

Typologie des syst`

emes planaires

2 valeurs propres complexes conjugu´

ees

(53)

Typologie des syst`

emes planaires

2 valeurs propres complexes conjugu´

ees

(54)

Synth`ese

Plan d´

etaill´

e

2 Les syst`

emes planaires dans R

2 D´

efinitions

Solutions des syst`

emes d’EDO lin´

eaires (cas de 2 valeurs

propres r´

eelles)

Exponentielles de matrices et formes de Jordan

Typologie des syst`

emes planaires

(55)

Synth`ese

Typologie des syst`

emes planaires : synth`

ese

Soit un syst`

eme planaire du type











du

dt

=

a

11 u

+

a

12 v

dv

dt

=

a

21 u

+

a

22 v

Ce syst`

eme est ´

equivalent au syst`

eme ˙

X = MX, o`

u M est la

matrice Jacobienne du syst`

eme d´

efinie par

M =

a

11 a

12 a

21 a

22 .

(56)

Synth`ese

Typologie des syst`

emes planaires : synth`

ese

Le type de point d’´

equilibre du syst`

eme d´

epend du nombre, du

type (complexe ou r´

eel), et du signe de la partie r´

eelle, des valeurs

propres de la matrice Jacobienne du syst`

eme M. Ces valeurs

propres sont solutions de l’´

equation caract´

eristique de M,

λ

2 − tr(M)λ + det(M) = 0.

On distingue plusieurs cas selon le signe de

(57)

Synth`ese

Typologie des syst`

emes planaires : synth`

ese

Cas ∆ > 0.

Les valeurs propres de M sont

λ

1,2

=

tr(M) ±

p(tr(M))

2 _{− 4det(M)}

2 Si det(M) > 0, alors

p(tr(M))

2 _{− 4det(M) < |tr(M)| et λ}

1 et λ

2 sont du signe de tr(M). Le point d’´

equilibre est un

nœud stable ou instable.

Si det(M) < 0, alors

p(tr(M))

2 _{− 4det(M) > |tr(M)| et λ}

1 et λ

2 sont de signes oppos´

es. Le point d’´

equilibre est un point

(58)

Synth`ese

Typologie des syst`

emes planaires : synth`

ese

Cas ∆ = 0.

M poss`

ede une valeur propre double

λ

0 =

tr(M)

2 Si M est diagonale, le point d’´

equilibre est une ´

etoile stable

ou instable selon le signe de tr(M).

Si M n’est pas diagonale, le point d’´

equilibre est un nœud

d´

eg´

en´

er´

e stable ou instable selon le signe de tr(M).

(59)

Synth`ese

Typologie des syst`

emes planaires : synth`

ese

Cas ∆ < 0.

M poss`

ede deux valeurs propres complexes conjugu´

ees

λ

1,2

=

tr(M)

2 ± i

p|(tr(M))

2 _{− 4det(M)|}

2 Si tr(M) > 0, le point d’´

equilibre est un foyer instable.

Si tr(M) < 0, le point d’´

equilibre est un foyer stable.

Si tr(M) = 0, le point d’´

equilibre est un centre.

(60)

Synth`ese

Typologie des syst`

emes planaires : synth`

ese

Dans le plan (tr(M); det(M)), on peut repr´

esenter les r´

egions

d’apparition des diff´

erents types de points d’´

equilibre.

Le discriminant de l’´

equation caract´

eristique de la Jacobienne M

du syst`

eme est :

∆ = (tr(M))

2 − 4det(M).

La parabole d’´

equation det(M) =

(tr(M))

2

4 d´

elimite les r´

egions du

plan o`

u ∆ > 0 (sous la parabole) et ∆ < 0 (au dessus de la

parabole).

(61)

Synth`ese

(62)

Table des mati`

eres

1 Introduction : le mod`

ele proies-pr´

edateurs de Lotka-Volterra

2 Les syst`

emes planaires dans R

2

3 Etude qualitative des syst`

´

emes non lin´

eaires dans R

2

4 Exemples classiques

(63)

Analyse des syst`emes dynamiques dans R ´

Etude qualitative des systèmes non linéaires dans R2 Exemple : le modèle proies-prédateurs de Lotka-Volterra

Plan d´

etaill´

e

3 Etude qualitative des syst`

´

emes non lin´

eaires dans R

2 Exemple : le mod`

ele proies-pr´

edateurs de Lotka-Volterra

Isoclines et points d’´

equilibre

Jacobienne d’un syst`

eme quelconque

(64)

Exemple : le mod`ele proies-pr´edateurs de Lotka-Volterra

Mod`

ele proies-pr´

edateurs de Lotka-Volterra

Les ´

equations du mod`

ele

Les ´

equations du mod`

ele sont :











dN

dt

= rN

1 −

N

K

− αNP

dP

dt

= −µP + βNP

(65)

Etude qualitative des systèmes non linéaires dans R2 Isoclines et points d’équilibre

Plan d´

etaill´

e

3 Etude qualitative des syst`

´

emes non lin´

eaires dans R

2 Exemple : le mod`

ele proies-pr´

edateurs de Lotka-Volterra

Isoclines et points d’´

equilibre

Jacobienne d’un syst`

eme quelconque

(66)

Isoclines et points d’´equilibre

Isoclines nulles

Rappel

Soit un syst`

eme dynamique d’EDO tel que











dx

dt

=

f (x , y)

dy

dt

=

g(x , y)

Les isoclines nulles de ce syst`

emes sont l’ensemble des points du

plan qui v´

erifient :

dx

dt

= f (x , y) = 0

ou

dy

(67)

Isoclines nulles

exemple

Dans le mod`

ele propos´

e, les isoclines verticales v´

erifient

dN

_dt

= 0

dN

dt

= 0

⇐⇒

rN

1 −

N

K

− αNP = 0

⇐⇒

N

r −

rN

K

− αP

= 0

⇐⇒

N = 0

ou

P =

r (K − N )

αK

Il existe deux isoclines verticales d’´

equation N = 0 et

P =

r (K − N )

(68)

Isoclines nulles

exemple

Dans le mod`

ele propos´

e, les isoclines horizontales v´

erifient

dP

_dt

= 0

dP

dt

= 0

⇐⇒

−µP + βNP = 0

⇐⇒

P (−µ + βN ) = 0

⇐⇒

P = 0

ou

N =

µ

β

Il existe deux isoclines horizontales d’´

equation P = 0 et N =

µ

β

.

(69)

D´

efinitions

Point d’´

equilibre

Soit un syst`

eme dynamique d’EDO tel que











dx

dt

=

f (x , y)

dy

dt

=

g(x , y)

Un point d’´

equilibre de ce syst`

eme est un point (x

?

, y

?

) qui v´

erifie :











dx

dt

x =x

?

_,y=y

?

=

f (x

?

, y

?

) = 0

dy

dt

x =x

?

_,y=y

?

=

g(x

?

, y

?

) = 0

(70)

Points d’´

equilibre

Les points d’´

equilibre sont `

a l’intersection des isoclines horizontales

et verticales. Dans le mod`

ele de propos´

e, il existe trois points

d’´

equilibre :

A

0 N

₀

?

= 0

p

?

0 = 0

A

1 





P

₁

?

= 0

P

₁

?

=

r (K − N

?

1 )

αK

⇐⇒ N

?

1 = K

A

2 









N

₂

?

=

µ

β

P

₂

?

=

r (K −

µ

β

)

αK

(71)

´

Etude du syst`

eme au voisinage des points d’´

equilibre

Changement de variable

Soit un syst`

eme dynamique d’EDO tel que











dx

dt

=

f (x , y)

dy

dt

=

g(x , y),

poss`

edant un point d’´

equilibre (x

?

, y

?

).

On introduit le changement de variable suivant :

u

=

x − x

?

(72)

´

Etude du syst`

eme au voisinage des points d’´

equilibre

Lin´

earisation au voisinage du point d’´

equilibre

On lin´

earise le syst`

eme au voisinage du point d’´

equilibre en utilisant

un d´

eveloppement de Taylor au premier ordre des fonctions f et g











˙

u = ˙x = f (x

?

, y

?

) +

∂f

_∂x

(x

?

_,y

?

₎

(x − x

?

_{) +}

∂f

∂y

(x

?

_,y

?

₎

(y − y

?

₎

˙v = ˙y = g(x

?

, y

?

) +

_∂x

∂g

(x

?

_,y

?

₎

(x − x

?

_{) +}

∂g

∂y

(x

?

_,y

?

₎

(y − y

?

₎

soit,











˙

u =

_∂x

∂f

(x

?

_,y

?

₎

u +

∂f

∂y

(x

?

_,y

?

₎

v

˙v =

∂g

_∂x

(x

?

_,y

?

₎

u +

∂g

∂y

(x

?

_,y

?

₎

v

(73)

Etude qualitative des systèmes non linéaires dans R2 Jacobienne d’un système quelconque

Plan d´

etaill´

e

3 Etude qualitative des syst`

´

emes non lin´

eaires dans R

2 Exemple : le mod`

ele proies-pr´

edateurs de Lotka-Volterra

Isoclines et points d’´

equilibre

Jacobienne d’un syst`

eme quelconque

(74)

Jacobienne d’un syst`eme quelconque

Jacobienne d’un syst`

eme quelconque

Soit un syst`

eme dynamique d’EDO tel que











dx

dt

=

f (x , y)

dy

dt

=

g(x , y)

La matrice Jacobienne de ce syst`

eme est d´

efinie par

M =







∂f

∂x

∂f

∂y

∂g

∂x

∂g

∂y







(75)

Etude qualitative des systèmes non linéaires dans R2 Jacobienne d’un système quelconque

Jacobienne d’un syst`

eme quelconque

Exemple du mod`

ele de Lotka-Volterra

Les ´

equations du syst`

eme sont







˙

N = rN

1 −

N

K

− αNP

˙

P = −µP + βNP

La matrice Jacobienne de ce syst`

eme est

M =







∂ ˙

N

∂N

∂ ˙

N

∂P

∂ ˙

P

∂N

∂ ˙

P

∂P







(76)

Jacobienne d’un syst`eme quelconque

Jacobienne d’un syst`

eme quelconque

Exemple du mod`

ele de Lotka-Volterra

Les ´

equations du syst`

eme sont







˙

N = rN

1 −

N

K

− αNP

˙

P = −µP + βNP

La matrice Jacobienne de ce syst`

eme est

M =







r − αP −

2rN

K

−αN

βP

βN − µ







(77)

Etude qualitative des systèmes non linéaires dans R2 Théorème de linéarisation

Plan d´

etaill´

e

3 Etude qualitative des syst`

´

emes non lin´

eaires dans R

2 Exemple : le mod`

ele proies-pr´

edateurs de Lotka-Volterra

Isoclines et points d’´

equilibre

Jacobienne d’un syst`

eme quelconque

(78)

Théorème de linéarisation

Th´

eor`

eme de lin´

earisation

Th´

eor`

eme de lin´

earisation

Soit un syst`

eme non lin´

eaire ˙

X = Φ(X) admettant un point

d’´

equilibre (x

?

, y

?

) et tel que det(A) 6= 0, o`

u A est la matrice

Jacobienne du syst`

eme au point (x

?

, y

?

). Alors, dans un voisinage

du point d’´

equilibre, les portraits de phase du syst`

eme ˙

X = Φ(X)

et de sa forme lin´

earis´

ee ˙

U = AU sont qualitativement

´

equivalents, sous r´

eserve que le syst`

eme lin´

earis´

e ne corresponde

pas `

a des centres.

(79)

Th´

eor`

eme de lin´

earisation

Application au mod`

ele de Lotka et Volterra (cas K >

µ_β

)

On se place dans le cas o`

u il existe trois points d’´

equilibre K >

µ

_β

.

La Jacobienne du syst`

eme est :

M =







r − αP −

2rN

K

−αN

βP

βN − µ







Au point d’´

equilibre A

0 = (0, 0), la Jacobienne s’´

ecrit

M

A

0

=

r

0

0 −µ

(80)

Th´

eor`

eme de lin´

earisation

Application au mod`

ele de Lotka et Volterra

Au point d’´

equilibre A

1 = (K , 0), la Jacobienne s’´

ecrit

M

A

1

=

−r

−αK

0 βK − µ

On a det(M

A

1

) = −r (βK − µ) < 0 (car βK > µ) donc le point

d’´

equilibre A

1 = (K , 0) est un point selle.

(81)

Th´

eor`

eme de lin´

earisation

Application au mod`

ele de Lotka et Volterra

Au point d’´

equilibre A

2 = (

_β

µ

,

r (K −

µ_β

)

αK

), la Jacobienne s’´

ecrit

M

A

2

=

−r

N

?

K

−αN

?

βP

?

0 On a det(M

A

2

) = αβN

?

_P

?

_{> 0 et tr(M}

A

2

) = −r

N

?

K

< 0 donc le

point d’´

equilibre A

2 est un nœud, un nœud d´

eg´

en´

er´

e, ou un foyer

stable selon le signe de ∆ = (tr(M

A

2

))

2 _{− 4det(M}

A

2

).

(82)

Application au mod`

ele de Lotka et Volterra

´

Etude du signe de ∆

∆

=

(tr(M

A

2

))

2 _{− 4det(M}

A

2

)

=

_K

r

N

?

2 − 4αβN

?

_P

?

⇐⇒

∆

N

?

=

r

2

K

2

µ

β

− 4αβ

r

αK

K −

µ

_β

⇐⇒

_rN

K ∆

?

=

r

µ

K β

+ 4(µ − βK ).

∆ est donc du signe de r

_{K β}

µ

+ 4(µ − βK ).

∆ < 0 ⇐⇒ r <

4(βK − µ)K β

µ

(83)

Application au mod`

ele de Lotka et Volterra

Portrait de phase au voisinage de A

2

r <

4(βK −µ)K β

_µ

⇒ foyer stable

N P

r >

4(βK −µ)K β

_µ

⇒ nœud stable

N P

(84)

Application au mod`

ele de Lotka et Volterra

Portrait de phase (cas K >

µ β

et r <

4(βK −µ)K β µ

)

N

P

r

α

K

µ β

A

0

A

1

A

2

(85)

Application au mod`

ele de Lotka et Volterra

Chroniques (cas K >

µ β

et r <

4(βK −µ)K β µ

)

0

50

100

150

200

250

300

350

0

10

20

30

40

50

60 temps

eff

ectif

prédateurs

proies

(86)

Table des mati`

eres

1 Introduction : le mod`

ele proies-pr´

edateurs de Lotka-Volterra

2 Les syst`

emes planaires dans R

2

3 Etude qualitative des syst`

´

emes non lin´

eaires dans R

2

4 Exemples classiques

(87)

Analyse des syst`emes dynamiques dans R Exemples classiques

Le modèle de compétition interspécifique de Lotka-Volterra

Plan d´

etaill´

e

4 Exemples classiques

Le mod`

ele de comp´

etition intersp´

ecifique de Lotka-Volterra

(88)

Mod`

ele de comp´

etition intersp´

ecifique

Pr´

esentation du mod`

ele

On mod´

elise deux esp`

eces 1 et 2 en comp´

etition

Croissance logistique en absence de comp´

etition

Chaque individu de l’esp`

ece 2 g`

ene la croissance de l’esp`

ece 1

comme α individus de l’esp`

ece 1.

Chaque individu de l’esp`

ece 1 g`

ene la croissance de l’esp`

ece 2

comme β individus de l’esp`

ece 2.

(89)

Mod`

ele de comp´

etition intersp´

ecifique

Les ´

equations du mod`

ele

Esp`

ece 1

dN

1 dt

= r

1 N

1 1 −

N

1 + αN

2 K

1 Esp`

ece 2

dN

2 dt

= r

2 N

2 1 −

N

2 + βN

1 K

2

(90)

Mod`

ele de comp´

etition intersp´

ecifique

Isoclines nulles : isoclines verticales ˙

N

1

= 0

On r´

esoud ˙

N

1 = 0

dN

1

dt

= 0

⇐⇒

r

1 N

1 1 −

N

1

+αN

2

K

1

= 0

⇐⇒

N

1 = 0

ou

N

1

+αN

2

K

1

= 1

⇐⇒

N

1 + αN

2 = K

1 ⇐⇒

N

2 =

K

1

−N

_α

1

(91)

Mod`

ele de comp´

etition intersp´

ecifique

Isoclines nulles : isoclines horizontales ˙

N

2

= 0

On raisonne par sym´

etrie (N

1 ↔ N

2 , K

1 ↔ K

2 , r

1 ↔ r

2 et

α ↔ β).

dN

2

dt

= 0

⇐⇒

N

2 = 0

ou

N

1 =

K

2

−N

_β

2

⇐⇒

N

2 = K

2 − βN

1 Il y a deux isoclines horizontales d’´

equation N

2 = 0 et

(92)

Mod`

ele de comp´

etition intersp´

ecifique

Portrait de phase

N

1

N

2

K

2

β

K

2

K

1

α

K

1

(93)

Mod`

ele de comp´

etition intersp´

ecifique

Portrait de phase : directions des vecteurs vitesse

N

1

N

2

K

2

β

K

2

K

1

α

K

1

(94)

Mod`

ele de comp´

etition intersp´

ecifique

Points d’´

equilibre

Points d’´

equilibres sur l’isocline verticale N

1 = 0

N

2 = 0, un point d’´

equilibre A

0 : (N

1 (0)

?

= 0; N

2 (0)

?

= 0).

N

2 = K

2 − N

1 un point d’´

equilibre

A

1 : (N

1 (1)

?

= 0; N

2 (1)

?

= K

2 ).

Points d’´

equilibres sur l’isocline verticale N

2 =

K

1

−N

_α

1

N

2 = 0, un point d’´

equilibre A

2 : (N

1 (2)

?

= K

1 ; N

2 (2)

?

= 0).

N

2 = K

2 − βN

1 un point d’´

equilibre

A

3 : (N

1 (3)

?

=

K

1−αβ

1

−αK

2

; N

?

2 (3)

=

K

2

−βK

1

1−αβ

)

(95)

Mod`

ele de comp´

etition intersp´

ecifique

Points d’´

equilibre

Il y a quatre points d’´

equilibre

A

0 : (N

1 (0)

?

= 0; N

2 (0)

?

= 0).

A

1 : (N

1 (1)

?

= 0; N

2 (1)

?

= K

2 ).

A

2 : (N

1 (2)

?

= K

1 ; N

2 (2)

?

= 0).

A

3 : (N

1 (3)

?

=

K

1

−αK

2

1−αβ

; N

2 (3)

?

=

K

2

−βK

1

1−αβ

)

Conditions d’existence du point d’´

equilibre A

3 





1 − αβ > 0

K

1

K

2

> α

K

2

K

1

> β

ou







1 − αβ < 0

K

1

K

2

< α

K

2

K

1

< β

(96)

Mod`

ele de comp´

etition intersp´

ecifique

Matrice Jacobienne

La matrice Jacobienne du syst`

eme est

M =







r

1 1 −

2N

1 + αN

2 K

1 −

αr

1 K

1 N

1 −

βr

2 K

2 N

2 r

2 1 −

2N

2 + βN

1 K

2 





(97)

Mod`

ele de comp´

etition intersp´

ecifique

Stabilit´

e des points d’´

equilibre

Au point d’´

equilibre A

0 : (N

1 (0)

?

= 0; N

2 (0)

?

= 0), la matrice

Jacobienne s’´

ecrit

M

0 =





r

1

0

0 r

2 



(98)

Mod`

ele de comp´

etition intersp´

ecifique

Stabilit´

e des points d’´

equilibre

Au point d’´

equilibre A

1 : (N

1 (1)

?

= 0; N

2 (1)

?

= K

2 ), la matrice

Jacobienne s’´

ecrit

M

1 =







r

1 1 − α

K

2 K

1

0 −βr

2 −r

2 





Si

K

1

α

< K

2 , alors det(M

1 ) > 0 et tr(M

1 ) < 0, A

1 est donc

un point d’´

equilibre stable.

Si

K

1

(99)

Mod`

ele de comp´

etition intersp´

ecifique

Stabilit´

e des points d’´

equilibre

Au point d’´

equilibre A

2 : (N

1 (2)

?

= K

1 ; N

2 (2)

?

= 0), on raisonne par

sym´

etrie

M

2 =







−r

1 −αr

1

0 r

2 1 − β

K

1 K

2 





Si

K

2

β

< K

1 , alors det(M

2 ) > 0 et tr(M

2 ) < 0, A

2 est donc

un point d’´

equilibre stable.

Si

K

2

(100)

Mod`

ele de comp´

etition intersp´

ecifique

Stabilit´

e des points d’´

equilibre

Au point d’´

equilibre A

3 : (N

1 (3)

?

=

K

1

−αK

2

1−αβ

; N

2 (3)

?

=

K

2

−βK

1

1−αβ

), la

matrice Jacobienne s’´

ecrit :

M

3 =







r

1 1 −

2N

_{1 (3)}

?

+ αN

_{2 (3)}

?

K

1 !

−

αr

1 N

?

1 (3)

K

1 −

βr

2 N

?

2 (3)

K

2 r

2 1 −

2N

?

2 (3)

+ βN

1 (3)

?

K

2 !







(101)

Mod`

ele de comp´

etition intersp´

ecifique

Stabilit´

e des points d’´

equilibre

Au point d’´

equilibre A

3 : (N

1 (3)

?

=

K

1

−αK

2

1−αβ

; N

?

2 (3)

=

K

2

−βK

1

1−αβ

), la

matrice Jacobienne s’´

ecrit :

M

3 =







−

r

1 N

?

1 (3)

K

1 −

αr

1 N

?

1 (3)

K

1 −

βr

2 N

?

2 (3)

K

2 −

r

2 N

?

2 (3)

K

2 





(102)

Mod`

ele de comp´

etition intersp´

ecifique

Stabilit´

e des points d’´

equilibre

det(M

3 ) = (1 − αβ)

r

1 r

2 N

1 (3)

?

N

2 (3)

?

K

1 K

2 est du signe de (1 − αβ).

tr(M

3 ) = −

r

1 N

1 (3)

?

K

1 −

r

2 N

?

2 (3)

K

2 < 0

Si (1 − αβ) < 0, alors A

3 est un point selle.