Comparaisondequelquestop ologiessurlesespacesdefonctions

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

Ministère de l'enseignement Supérieur et de la Recherche Scientique

UNIVERSITE Mohamed Seddik Ben Yahia-Jijel

Faculté des Sciences Exactes et Informatique

Département de Mathématiques

MÉMOIRE

Pour l'obtention du diplôme de : Master

Spécialité : Mathématiques

Option : Mathématiques Fondamentales

Thème

Comparaison de quelques topologies

sur les espaces de fonctions

Présenté par :

Sarra Talbi

Devant le Jury :

Président :

M. Ahmia

M.C.B. Univ. Jijel

Encadreur :

A. Bouchair

M.C.A. Univ. Jijel

Examinateur : M. Boulouh

M.A.B. Univ. Jijel

Remerciement

Je tiens `a exprimer ma reconnaissance `a mon encadreur A. Bouchair pour les conseils, l’orientation et l’assistance qu’il m’a apport´e.

Je remercie Mr M. Ahmia et Melle _{M. Boulouh d’avoir accept´e de faire partie du jury.}

Mes remerciements vont encore `a tous les enseignants qui ont contribu´e `a ma formation, `a mes amis et `a toutes les personnes qui m’ont aid´e de pr`es ou de loin.

Mes plus vifs remerciements `a mes parents, `a mes fr`eres et soeurs, qui m’ont accompagn´ee et soutenue durant toutes ces ann´ees.

Table des matières

Introduction 2

1 Rappels de topologie 4

1.1 Espaces topologiques, Espaces métriques . . . 4

1.2 Méthodes d'engendrer une topologie . . . 8

1.3 Topologie produit . . . 11

1.4 Axiomes de séparation . . . 13

2 Espaces compacts 17 2.1 Espaces compacts, Espaces localement compacts . . . 17

2.2 Espaces dénombrablement compacts, Espaces pseudo-compact . . . 21

2.3 Compactication d'Alexandro . . . 22

2.4 Ensembles Y-compacts . . . 24

3 Topologies sur les espaces de fonctions 28 3.1 Topologie de la convergence simple . . . 28

3.2 Topologie de la convergence uniforme sur C(X, R) . . . 30

3.3 Topologie ensemble-ouvert . . . 33

4 Topologie de la convergence uniforme sur une famille de parties 40 4.1 Dénitions . . . 40

4.2 Comparaison entre Cα(X)et Cα,u(X) . . . 41

4.3 Comparaison entre Cα(X, Y )et Cα,u(X, Y ) . . . 44

Bibliographie 49

Introduction

En mathématiques, l'espace de fonctions est une collection d'applications d'une cer-taines forme d'un ensemble X vers un ensemble Y . Ces espaces apparaissent dans plusieurs domaines : en théorie des ensembles, analyse fontionnelle, topologie,...

Au début du 19ème _{siècle, la conversion de convergence des suites de fonctions a mené}

à donner un cadre topologique à ces convergences.

les premières topologies considérées sur C(X), l'ensemble des fonctions continues à valeurs réelles, étaient la topologie de la convergence simple et la topologie de la conver-gence uniforme, ces deux dernières s'avèrent l'une trop ne et l'autre trop grossière. L'une des applications de la considération de ces topologies réside dans le théorème de Stone-Weirstrass qui fournit une méthode d'approximation uniforme de toutes les fonctions continues réelles dénies sur un compact par des polynômes.

En 1945, Fox [6] a introduit la topologie compacte ouverte sur C(X), une année plus tard, Arens [1] a étudié cette topologie, appeléé k−topology, et il a montré que cette topologie est exactement la topologie de la convergence uniforme sur les compacts de X. En 1951, Dugundj et Arens [2] ont introduit une autre classe de topologies s'appelle topologie ensemble-ouvert (set open). Cette dernière est une généralisation de la topologie de la convergence simple et la topologie compacte ouverte.

Quelques années plus tard, une topologie a été introduite par McCoy et Ntantu [8] sous le nom de topologie de la convergence uniforme sur une famille de parties de X. Cette topologie est une généralisation de la topologie de convergence uniforme sur C(X). Dans leurs étude, McCoy et Ntantu [8] ont donné quelques résultats sur la comparison des topologies sur C(X, Y ). En 2009, Nokhrin et Osipov [10] ont donné des caractérisations pour la coincidence de la topologie ensemble-ouvert et la topologie de la convergence uniforme sur une famille de parties sur C(X, Y ). L'objectif de ce mémoire et de reprendre en détail les résultats obtenus dans l'article de Nokhrin et Osipov [10].

Ce mémoire est composé de quatre chapitres. Le premier chapitre concerne un com-plément de topologie génarale qui regroupe quelques notions de bases et les résultats de la topologie qui seront utile dans la suite.

Introduction 3

Le deuxième chapitre est consacré aux notions de compacité et Y −compacités, ainsi qu'une bref introducion sur la compactication d'Alexandro.

Dans le troisième chapitre on s'intéresse à dénir et étudier en détails la topologie de la convergence uniforme et la topologie ensemble-ouvert et on va également citer quelques théorèmes importants pour ces topologies.

Enn, dans le dernier chapitre on dénit la topologie de la convergence uniforme sur une famille de parties de X, puis on va traiter les cas ou cette topologie et les autres topologies dénies dans le troisième chapitre coïncident.

Chapitre 1

Rappels de topologie

Dans ce chapitre on dénit les notions de base d'un espace topologique et d'un espace métrique, puis on passe aux dierentes méthodes d'engendrer une topologie ; en n on introduit la topologie produit et les axiomes de séparation.

1.1 Espaces topologiques, Espaces métriques

Dénition 1.1.1.

On appelle espace topologique un couple (X, τ) où X un ensemble et τ une famille de parties de X vériant les propriétés suivantes :

(O1) X et ∅ appartiennent à τ.

(O2) Toute intersection nie d'éléments de τ est un élément de τ. (O3) Toute réunion d'éléments de τ est un élément de τ.

Les éléments de τ sont appelés les ouverts de l'espace topologique X. Les complémen-taires d'ouverts de X sont appelés les fermés de X.

Exemple 1.1.1.

 Soit X un ensemble et τ = P(X). Alors τ est une topologie sur X, appelée la topologie discrète sur X, pour laquelle donc toute partie de X est ouverte.

 Soit X un ensemble et τ = {∅, X}. Alors X est une topologie, appelée la topologie grossière sur X.

Dénition 1.1.2.

Soit X un ensemble, une distance sur X est une application d : X × X 7−→ R vériant, pour tous x, y, z ∈ X :

1.1. Espaces topologiques, Espaces métriques 5

1. d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y . 2. d(x, y) = d(y, x) .

3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) . Le couple (X, d) est dit espace métrique. Exemple 1.1.2.

L'ensemble des réels muni de la distance d(x, y)= |x − y| est un espace métrique. Dénition 1.1.3.

Soit (X, d) un espace métrique. On appelle ouvert de (X, d) toute partie O de X qui est vide ou qui vérie :

∀x ∈ O; ∃r > 0; B(x; r) ⊂ O.

La famille τd de tous les ouverts de (X, d) est une topologie sur X appelée la topologie

associée à la distance d. Exemple 1.1.3.

La topologie associée à la distance d donnée dans l'exemple 1.1.2 est la topologie usuelle sur R.

Dénition 1.1.4.

Si (X, τ) est un espace topologique et A ⊂ X, on appelle topologie induite par X sur A le couple (A, τA) où τA= {O ∩ A/O ∈ τ }.

Dénition 1.1.5.

On dit qu'une topologie τ sur X est métrisable s'il existe une distance d sur X dont les ouverts sont ceux de τ.

Exemple 1.1.4.

1. R muni de la topologie usuelle est métrisable .

2. Si X a plus de deux éléments, la topologie grossière n'est pas métrisable. En eet si x 6= y ∈ X et si d est une distance sur X, la boule ouverte Bd(x, d(x, y)) est un

ouvert non vide ne contenant pas y, donc diérent de ∅ et X .

3. La topologie discrète est métrisable. On prend la distance d donnée par : d(x, x) = 0 et d(x, y) = 1 si x 6= y.

1.1. Espaces topologiques, Espaces métriques 6

Dénition 1.1.6.

Soit X un ensemble muni de deux topologies τ1 et τ2. On dit que τ1 est moins ne que τ2

si tout ouvert de τ1 est ouvert pour τ2, c'est à dire si τ1 ⊂ τ2.

Exemple 1.1.5.

Soit un ensemble X. On peut toujours dénir la topologie grossière τg = {∅, X} et la

topologie discrète τd = P(X). Toute topologie sur X est moins ne que τd et plus ne que

τg.

Dénition 1.1.7.

On appelle base d'une topologie τ, toute famille B d'ouverts, telle que tout ouvert de X est réunion d'éléments de B.

Proposition 1.1.1.

Toute base B d'un espace topologique (X, τ) joue des deux propriétés suivantes : (B1) ∀U1, U2 ∈ B, ∀x ∈ U1∩ U2, ∃U ∈ B, x ∈ U ⊂ U1 ∩ U2.

(B2)∀x ∈ X, ∃U ∈ B, x ∈ U. Lemme 1.1.2.

Soit (X, τ) un espace topologique, B une collection d'ouverts telle que pour tout U ouvert de X et tout x ∈ U, il existe Bx ∈ B tel que x ∈ Bx ⊂ U. Alors B est une base de τ .

Dénition 1.1.8.

Soit (X, τ) un espace topologique. Une famille B ⊂ τ est dite sous base pour (X, τ) si la famille de toutes les intersections nies

{U1, U2, ..., Un|Ui ∈ B, i = 1.n}

est une base pour X. Dénition 1.1.9.

Soit x un point de l'espace topologique (X, τ). On appelle voisinage de x toute partie V de X, contenant un ouvert qui lui-même contient le point x.

On note V (x) l'ensemble des voisinages de x. Dénition 1.1.10.

Soit (X, τ) un espace topologique. Soit A une partie de X et x un élément de X. On dit que :

1. x est adhérent à A si tout voisinage V de x dans X contient un point de A, i.e : x ∈ A ⇐⇒ ∀V ∈ V (x) : V ∩ A 6= ∅.

1.1. Espaces topologiques, Espaces métriques 7

2. x est un point d'accumulation de A si tout voisinage V de x dans X contient un point de A diérent de x. L'ensemble des points d'accumulation de A sera noté Ad_.

3. x est un point isolé de A s'il existe un voisinage V de x tel que V ∩ A = {x}. Dénition 1.1.11.

1) On dit qu'une partie A de X est dense dans X si A = X. 2) On dit qu'une partie B de A est dense dans A si A ⊂ B. Dénition 1.1.12.

Une famille B(x) ⊂ V (x) est dite système fondamental de voisinages (SFV) de x si : ∀V ∈ V (x), ∃U ∈ B(x), U ⊂ V.

Exemple 1.1.6.

1. Dans un espace discret X ; B(x) = {{x}} forme un système fondamental de voisi-nages de x.

2. Soit (X, τ) un espace topologique et B une base pour τ, B(x) = {O ∈ B; x ∈ O} est un système fondamental de voisinages de x.

Proposition 1.1.3.

Soit (X, τ) un espace topologique. Tout système fondamental de voisinages {B(x)}x∈X

satisfait les propriétés suivantes :

(BP1) Pour chaque x ∈ X, B(x) 6= ∅ et pour tout U ∈ B(x), x ∈ U. (BP2) Si x ∈ U ∈ B(y), alors il existe V ∈ B(x) tel que V ⊂ U.

(BP3) Pour tous U1, U2 ∈ B(x) il existe U ∈ B(x) tel que U ⊂ U1∩ U2.

Corollaire 1.1.4.

1. La famille {B(x, r), r > 0} est un système fondamental de voisinages de x. 2. La famille des boules ouvertes forme une base pour (X, τd).

Dénition 1.1.13.

Soit f : X −→ Y une application d'un espace topologique X dans un autre Y :

 f est continue si pour tout x0 ∈ X, et tout voisinage V de f(x0) dans Y , il existe

un voisinage U de x0 dans X tel que f(U) ⊂ V . Ou encore, si pour tout ouvert

(resp. fermé) V de Y , f−1_{(V ) est un ouvert (resp. fermé) de X.}

 f est ouverte (resp. fermée) si l'image par f de tout ouvert de X est un ouvert (resp. fermé) de Y .

1.2. Méthodes d'engendrer une topologie 8

Proposition 1.1.5.

Soient X et Y deux espaces topologiques et f : X −→ Y une application. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. f est continue.

2. L'image réciproque de tout élément d'une sous base (xé) de Y est un ouvert de X.

3. L'image réciproque de tout élément d'une base (xé) de Y est un ouvert de X. Démonstration : La démonstration de cette proposition se fait d'une manière directe en utilisant quelques dénitions et propriétés de la topologie. Pour conrmer voir[5],P28.  Dénition 1.1.14.

Soient X, Y deux espace topologiques :

 Une bijection f : X −→ Y est un homéomorphisme si et seulement si f et f−1

sont continues, ou d'une manière équivalente si f est une application continue et ouverte (ou fermée).

 L'application f : X −→ Y est dite un plongement de X dans Y si elle induit un homéomorphisme de X sur son image f(X).

Dénition 1.1.15.

Soit X un espace topologique et (Ωi)i∈I une famille de parties de X. On dit que (Ωi)i∈I

est un recouvrement de X si X = ∪i∈IΩi.

Un recouvrement est dit ouvert (resp. fermé) si tout membre de ce recouvrement est un ouvert(resp.fermé).

Dénition 1.1.16.

Soient X, Y deux espaces topologiques, {F1, F2, ..., Fn} un recouvrement fermé de X et

fi : Fi −→ Y une application continue pour tout 1 ≤ i ≤ n.

Si fi |Fi∩Fj= fj |Fi∩Fj, ∀i, j ∈ {1, 2, ..., n} , alors il existe une application f : X −→ Y ,

appelée application combinaison des (fi), telle que f |Fi= fi pour tout i = 1, n. De plus f

est continue.

1.2 Méthodes d'engendrer une topologie

Proposition 1.2.1.

Soit X un ensemble, et B une famille de sous ensembles de X qui vérie les conditions de la proposition 1.1.1, soit O la famille de tous les sous ensembles de X qui sont des

1.2. Méthodes d'engendrer une topologie 9

unions de sous familles de B, c'est à dire :

U ∈ O ⇐⇒ U =[B0 pour B0 ⊂ B.

La famille O est une topologie sur X et la famile B est une base pour l'éspace topologique (X, O).

Démonstration : Montrons que la famille O forme une topologie sur X.

1. La condition (O1) est satisfaite car ∅ = S B0 pour B0 = ∅ , et par (B2) on a

X =S B0 pour B0 = B.

2. Montrons que la condition (O2) est satisfaite. Prenons U1, U2 ∈ O, alors U1 =

S s∈SUs et U2 = S t∈T Ut où Us, Ut ∈ B pour s ∈ S et t ∈ T . On a U1∩ U2 = [ s∈S,t∈T Us∩ Ut.

Pour cela il sut de prouver que Us∩ Ut est l'union d'une sous famille de B. Par

(B1), pour chaque x ∈ Us∩ Ut, il existe U(x) ∈ B tel que :

x ∈ U (x) ⊂ Us∩ Ut.

Et cela implique que Us∩ Ut=

[

B0 pour B0 = {U (x) : x ∈ Us∩ Ut}.

3. La condition (O3) est satisfaite par la dénition de la famille O.

Donc O est une topologie sur X . Clairement B est une base de X.  Proposition 1.2.2.

Soit X un ensemble et C ⊂ P(X) tel que : 1. ∅, X ∈ C.

2. Pour tous B1, B2 ∈ C : B1∪ B2 ∈ C.

3. Pour tout (Bi)i∈I ∈ C : Ti∈IBi ∈ C.

Alors la famille τ = {Ω/CΩ

X ∈ C} est une topologie sur X.

Proposition 1.2.3.

Soient X un ensemble et ∼: P(X) −→ P(X) un opérateur qui associe à chaque partie A ⊂ X une partie A ⊂ Xe , de telle sorte que les conditions suivantes :

1. e∅ = ∅. 2. A ⊂Ae.

1.2. Méthodes d'engendrer une topologie 10

3. ^A ∪ B = eA ∪ eB. 4. eA = ee A.

sont satisfaites, alors la famille τ = {Ω : CΩ

X = fCXΩ} = {X\Ω : Ω = eΩ} est une topologie

sur X. De plus, pour tout A ⊂ X, l'ensemble Aeest la fermeture de A dans (X, τ). Démonstration : Montrons que la famille τ est une topologie sur X. On a :

1. e∅ = ∅ donc C∅

X = X ∈ τ, par dénition et X ⊂ Xe donc X = Xe implique C_XX = ∅ ∈ τ par dénition. 2. Soient Ω1, Ω2 ∈ τ donc g CΩ1 X = C Ω1 X et gC Ω2 X = C Ω2 X . D'autre part g CΩ1 X ∪ gC Ω2 X =C ^ Ω1 X ∪ C Ω2 X = ^C Ω1∩Ω2 X et on a aussi gCΩ1 X ∪ gC Ω2 X = C Ω1 X ∪ C Ω2 X = C Ω1∩Ω2 X , donc ^C Ω1∩Ω2 X = C Ω1∩Ω2 X , nalement Ω1∩ Ω2 ∈ τ.

3. Soit (Ωi)i∈I ⊂ τ, on va montrer que CX∪Ωi = ]C ∪Ωi X . On a d'aprés la condition (2) C∪Ωi X ⊂ ]C ∪Ωi X .

Pour montrer l'inclusion inverse on doit tout d'abord montrer que si A ⊂ B, alors e

A ⊂ eB. Soit A ⊂ B donc A ∪ B = B, donc ^ A ∪ B = eA ∪ eB = eB, d'où A ⊂ ee B. D'autre part on a \ i∈I CΩi X ⊂ C Ωi X , alors ^ \ i∈I CΩi X ⊂ gC Ωi X = C Ωi X , donc ^ \ i∈I CΩi X ⊂ ∩C Ωi X , d'où ^ C∪i∈IΩi X ⊂ C ∪i∈IΩi X .

Donc par double inclusion C∪Ωi

X = ]C ∪Ωi

1.3. Topologie produit 11

D'où Si∈IΩi ∈ τ. Donc τ est une topologie sur X.

Maintenant, on doit montrer que F = Fe pour tout F ⊂ X.

On aFe est un fermé puisque eF = ee F. D'autre part F ⊂Fe donc F ⊂ Fe, puisque F est le plus petit fermé qui contient F .

Vérions que F ⊂ F .e Soit B un fermé dans X tel que F ⊂ B, doncF ⊂ ee B = B, alors

e

F ⊂\{B : B = B et F ⊂ B} = F . Donc par double inclusion F =Fe.

 Proposition 1.2.4.

Soit X un ensemble donnée et {B(x)}x∈X une collection de familles de sous ensembles de

X, de telle sorte que les axiomes de la proposition 1.1.3 soient vériées . Soit O la famille de tous les sous ensembles de X qui sont des unions d'une sous famille de Sx∈XB(x). La

famille O satisfait les conditions de la dénition 1.1.1 et la collection {B(x)}x∈X est un

système fondamental de voisinages de x pour l'espace (X, O). La topologie O est appelée la topologie engendrée par le système fondamental de voisinages {B(x)}x∈X.

Démonstration : Il est facile de vérier que la famille O est une topologie sur X. 

1.3 Topologie produit

Dénition 1.3.1.

Soit (Xi)i∈I une famille d'espaces topologiques (pouvant être nie, dénombrable ou non

dénombrable). L'espace produit X = Qi∈IXi est le produit cartésien des espaces Xi, muni

de la topologie engendrée par les ouverts élémentaires : {O = Y

i∈I

Oi, Oi est un ouvert de Xi, et Oi = Xi, sauf pour un nombre ni d'indices }.

i.e. La topologie produit est donc constituée des réunions quelconques d'ouverts, ces ouverts élémentaires constituent une base de la topologie produit élémentaires.

Notation 1.3.1.

Un élément x, du produit X = Qi∈IXi, est une application x : I −→ Si∈IXi, telle que,

pour tout i élément de I, x(i) ∈ Xi. On notera également l'application x comme la famille

1.3. Topologie produit 12

Dénition 1.3.2.

On note pour chaque i ∈ I, la projection canonique pi : X −→ Xi

(xj)j∈I 7−→ pi((xj)j∈I) = xi

(ou encore : pi(x) = x(i)).

Proposition 1.3.2.

Chacune des projections pi est une application surjective, continue et ouverte.

Démonstration : La surjectivité est évidente. Soient pi une projection et Oi un ouvert

de Xi. On a p−1i (Oi) = Oi×Q_j6=iXj, qui est un ouvert élémentaire, donc pi est continue.

Soit U = Qj∈IUj un ouvert élémentaire, pi(U ) = Ui est un ouvert de Xi. pi est donc une

application ouverte. 

Proposition 1.3.3.

La topologie produit est la topologie la moins ne sur X rendant toutes les projections pi

continues.

Démonstration : On a déja vu que les projections sont continues, si X est muni de la topologie produit. Soit τ une topologie sur X rendant chacune des projections pi continue.

Soit Oi un ouvert de Xi, alors p−1i (Oi) = Oi×Q_j6=iXj est un ouvert de τ . Les ouverts

élémentaires sont des intersections nies de ce type d'ouverts, donc appartiennent aussi à τ . Il en résulte que τ contitent la topologie produit. _ Proposition 1.3.4.

Soient (Xi)i∈I une famille d'espaces topologiques et ∅ 6= Ai ⊂ Xi, pour tout i ∈ I. Alors :

1. Qi∈IAi =

Q

i∈IAi.

2. Qi∈IAi est fermé dans Qi∈IXi si et seulement si Ai est fermé dans Xi pour tout

i ∈ I.

Démonstration : 1. Par déniton x = (xi)i∈I ∈Q_i∈IAi si et seulement si pour tout

voisinage V = Qi∈IVi de x , on a Qi∈IVi ∩

Q

i∈IAi =

Q

i∈IVi ∩ Ai 6= ∅, c'est à

dire Vi∩ Ai 6= ∅ pour tous i ∈ I et Vi ∈ V (xi).

2. on a : Y i∈I Ai est fermé ⇐⇒ Y i∈I Ai = Y i∈I Ai = Y i∈I Ai ⇐⇒ Ai = Ai, ∀i ∈ I

⇐⇒ Ai fermé pour tout i ∈ I.

1.4. Axiomes de séparation 13

1.4 Axiomes de séparation

Dénition 1.4.1.

Un espace topologique (X, τ) est dit :

 Un espace T0 si pour tous x, y, points distincts de X, il existe un voisinage de x

ne contenant pas y ou bien un voisinage de y ne contenant pas x.

 Un espace T1 si pour tous points x, y, distincts de X, il existe un voisinage de x

ne contenant pas y et un voisinage de y ne contenant pas x . Proposition 1.4.1.

Un espace topologique X est T1 si et seulement si les singletons {x} ⊂ X sont des fermés

.

Démonstration : (⇒) Soit x ∈ X, montrons que {x} = {x}. Supposons qu'il existe y ∈ {x}, tel que y 6= x. Donc pour tout voisinage V de y,on a V ∩ {x} 6= ∅, c'est à dire x ∈ V. Ce qui est absurde car X est un espace T1.

(⇐)Soient x et y, deux points distincts de X. on a {x} est fermé, alors X\{x} est ouvert, et donc c'est un voisinage de y ne contenant pas x. De même, on a X\{y} est un voisinage

ouvert de x qui ne contient pas y. D'où X est T1. 

Dénition 1.4.2.

On dit que l'espace X est T2 ou séparé si

∀x, y ∈ X, x 6= y, ∃V ∈ V (x) et ∃U ∈ V (y) tels que U ∩ V = ∅. Exemple 1.4.1.

1. La topologie grossière n'est pas séparée . 2. R muni de la topologie

τ = {R\A : A dénombrable} ∪ {∅}

est un espace topologique non séparé, puisque si A et B sont deux parties dénom-brables avec

(R\A) ∩ (R\B) = ∅.

On a R\(A ∪ B) = ∅, alors R = A ∪ B ce qui est impossible. Corollaire 1.4.2.

1.4. Axiomes de séparation 14

Théorème 1.4.3.

Pour tout couple f, g d'applications continues d'un espace topologique X dans un espace séparé Y , l'ensemble {x ∈ X : f(x) = g(x)} est fermé dans X

Démonstration : Il sut de montrer que l'ensemble A = {x ∈ X : f(x) 6= g(x)} est ouvert. On a pour tout x ∈ A, f(x) 6= g(x), et donc il existe dans Y deux ouverts U, V tels que f(x) ∈ U, g(x) ∈ V et U ∩ V = ∅. L'ensemble f−1_{(U ) ∩ g}−1_{(V ) est un voisinage}

ouvert de x contenu dans A, et cela montre que A est ouvert.  Théorème 1.4.4.

Soit X = Qi∈IXi, alors X est séparé si et seulement si chacun des espaces Xi est séparé.

Dénition 1.4.3.

un espace topologique X est dit :

1. Un espace T3 ou régulier s'il est T1 et si pour tout x ∈ X et tout fermé F de X,

avec x /∈ F ; ils existent deux ouverts U, V tels que x ∈ U , F ⊂ V et U ∩ V = ∅. 2. Un espace T31₂ ou complètement régulier s'il est T1 et si pour tout x ∈ X et x /∈ F

fermé de X ; il existe une application continue f : X 7−→ [0, 1] telle que f(x) = 0 et f(y) = 1 pour tout y ∈ F .

Corollaire 1.4.5.

Tout espace complètement régulier est régulier.

Démonstration : Soient X un espace complètement régulier, x ∈ X et F un fermé de X tel que x /∈ F . il existe une fonction continue f : X 7−→ [0, 1] tel que f(x) = 0 et f (y) = 1, pour tout y ∈ F . Posons

U = f−1([0, 1 2[) et V = f−1(]1 2, 1]). on a [0,1 2[=] − 1, 1 2[∩[0, 1] ∈ τ[0,1]; et ]1 2, 1] =] 1 2, 2[∩[0, 1] ∈ τ[0,1].

Comme f est continue, alors U, V ∈ τX et U ∩ V = ∅. De plus x ∈ U et F ⊂ V , donc X

1.4. Axiomes de séparation 15

Proposition 1.4.6.

Soit X un espace T1, alors X est complètement régulier si et seulement si pour tout x ∈ X

et tout voisinage V de x dans une sous base xé B de X, il existe une fonction continue f : X 7−→ [0, 1] telle que f(x) = 0 et f(X\V ) = {1}.

Démonstration : La condition nécessaire est vériée, car X\V est un fermé ne contenant pas x. Pour démontrer la condition susante prenons x ∈ X et F un fermé tel que x /∈ F , donc x ∈ X\F , comme B est une sous base de X, alors il existent V1, V2, ..., Vk des

éléments de la sous base B vérient :

x ∈

k

\

i=1

Vi ⊂ X\F.

Et par hypothèse, il existe pour tout i = 1, 2, ..., k, une fonction continue fi : X 7−→ [0, 1]

telles que fi(x) = 0 et fi(y) = 1, ∀y ∈ X\Vi. Si on prend l'application :

f : X −→ [0, 1]

y 7−→ f (y) = max(f1(y), f2(y), ..., fk(y)

On a f est continue et il est clair que f(x) = 0, f(y) = 1, pour tout y ∈ F .  Théorème 1.4.7.

Soit {Xi}i∈I une famille d'espaces complètement réguliers. Alors, l'espace produit X =

Q

i∈IXi est complètement régulier.

Démonstration : Par les propositions 1.4.1 et 1.3.4 il est évident que le produit cartésien d'espaces T1 est un espace T1.

Montrons que Qi∈IXi est complètement régulier. Par la proposition 1.4.6, il sut de

montrer que pour tout x = (xi)i∈I ∈ X et tout voisinage V de x dans une sous base xé

B de X, il existe une fonction continue f : X −→ [0, 1] tel que f(x) = 0 et f(y) = 1, pour tout y ∈ X\V . Soit V un ouvert dans la sous base B, tel que x ∈ V . Il est donc de la forme p−1

i0 (Ui0) où Ui0 est un ouvert de Xi0 et i0 ∈ I. On peut facilement vérier que

l'application f0◦ pi0, où f0 : Xi0 −→ [0, 1]tels que f0(xi0) = 0et f0(Xi0\Ui0) ⊂ {1} vérie

les propriétés requises. 

Dénition 1.4.4.

Un espace topologique X est dit normal ou T4, s'il est T1 et si pour tous A, B deux fermés

disjoints de X, il existe deux ouverts disjoints U, V de X tel que A ⊂ U et B ⊂ V . Théorème 1.4.8. (Lemme d'Urysohn)

Pour chaque paire A,B de sous ensembles fermés disjoints d'un espace normal X, il existe une fonction continue f : X −→ [0, 1] telle que f(A) = {0} et f(B) = {1}.

1.4. Axiomes de séparation 16

Un résultat immédiat du Lemme d'Urysohn est : Corollaire 1.4.9.

Tout espace normal est complètement régulier. Exemple 1.4.2.

Chapitre 2

Espaces compacts

Dans ce chapitre on donne quelques généralités et notions de compacité, compacité locale, compacité dénombrable et on présente quelques nouveaux développements, comme la construction du compactié d'Alexandro et les ensembles Y −compacts.

2.1 Espaces compacts, Espaces localement compacts

Dénition 2.1.1. On dit qu'un espace topologique (X, τ) est compact s'il est séparé et si de tout recouvrement d'ouverts on peut extraire un sous-recouvrement ni, i.e.,

(X =[ i∈I Oi) =⇒ (∃J ⊂ I, J f ini, X = [ i∈J Oi) Exemple 2.1.1.

L'intervalle X =]0, 1] n'est pas compact car {On =]1_n, 1], n ∈ N∗} est une suite d'ouverts

de X recouvrant X et dont on ne peut pas extraire aucun sous recouvrement ni . Proposition 2.1.1.

Soit X un espace compact et (Fn)n∈N une suite décroissante de fermés non vide de X,

alors ∩nFn 6= ∅.

Démonstration : Supposons que X est compact et que TnFn est vide. Alors il existe

(n1, ..., np) ∈ Np tel que n1 < ... < np et ∩1≤i≤pFni = ∅. Or on a Fnp ⊂ ... ⊂ Fn1 et donc

Fnp = ∩1≤i≤pFni = ∅, d'où la contradiction . 

Exemple 2.1.2.

R n'est pas compact car {Fn= [n, +∞[, n ∈ N} est une suite décroissante de fermés non

vides de R dont l'intersection est vide. Proposition 2.1.2.

Soit X un espace topologique. Les asserstions suivantes sont vraies. 17

2.1. Espaces compacts, Espaces localement compacts 18

1. Si X est compact et A fermé de X, alors A est compact. 2. Si X est séparé et A compact de X, alors A est fermé. 3. Toute partie nie d'un espace séparé est compacte . Proposition 2.1.3.

Soit X un espace séparé et {F1, F2, ..., Fk} une famille nie de fermés de X. Alors F = k

S

i=1

Fi est compact si et seulement si Fi est compact pour tout i = 1, k.

Démonstration : La preuve se fait directement par la proposition 2.1.2 et la dénition

d'un espace compact. 

Rappelons qu'un sous ensemble d'un espace métrique est borné s'il est contenu dans une boule de cet espace.

Proposition 2.1.4.

Dans un espace métrique (X, d) tout sous ensemble compact est borné.

Démonstration : Soit A un sous ensemble compact de X. La famille des boules ouvertes {B(x, 1), x ∈ A}est un recouvrement ouvert de A. Donc il existe un sous ensemble ni {x1, x2, ..., xn} de A tel que A ⊂ n [ i=1 B(xi, 1).

Alors pour tous x, y dans A, on a immédiatement d(x, y) ≤ max

1≤i,j≤nd(xi, xj) + 2 < +∞.

Donc A est borné. 

Proposition 2.1.5.

Soit f : X → Y une application continue et A ⊆ X un sous ensemble compact. Alors f (A) est compact.

Démonstration : Soit (Ui)i∈I un recouvrement ouvert de f(A) dans Y . Donc

A ⊂ f−1(f (A)) ⊂ f−1([

i∈I

U i) =[

i∈I

f−1(U i). Comme f est continue, alors (f−1_(U

i))i∈I est recouvrement ouvert de A dans X qui est

compact. Alors il existe i1, i2, ..., ik ∈ I tel que

A ⊂

k

[

j=1

2.1. Espaces compacts, Espaces localement compacts 19 donc f (A) ⊂ f ( k [ j=1 f−1(Uij)) = k [ j=1 f (f−1(Uij)) ⊂ k [ j=1 Uij.

D'où (Uij)j=1,k est sous recouvrement ouvert ni de f(A), alors f(A) est compact. 

Théorème 2.1.6.

Soient X un espace topologique compact et f : X −→ R une application continue. Alors f est bornée et atteint ses bornes.

Démonstration : Comme X est compact et f est une application continue, alors f(X) est compact dans R. Mais R est un espace métrique. Donc f(X) est borné et fermé. Donc

f (X) contient ses bornes inférieure et supérieure. _

Théorème 2.1.7. (Théoreme de Tychono)

Soit (Xi)i∈I une famille d'espaces topologique et X = Q_i∈IXi l'espace topologique produit.

Alors X est compact si et seulement si chacun des espaces Xi est compact.

Démonstration : Pour la démonstration voir [5], P138. 

Théorème 2.1.8.

Un sous ensemble de Rn _{est compact si et seulement s'il est fermé borné.}

Théorème 2.1.9.

Soit X un espace topologique séparé. Si X est compact, alors il est normal.

Démonstration : Soient A, B deux fermés disjoints de X. Puisque X est séparé, alors pour tous x ∈ A et y ∈ B, ils existent Ux, Vy deux voisinages ouverts disjoints de x et y

respectivement. On a donc A ⊂ ∪x∈AUx et B ⊂ ∪y∈BVy. Mais A et B sont compact car

elles sont des parties fermées de l'espace compact X et donc ils existent {x1, x2, ..., xk} ⊂ A

et {y1, y2, ..., yp} ⊂ B, tels que A ⊂ k [ i=1 Uxi et B ⊂ p [ j=1 Vyj. Posons U = Sk i=1Uxi et V = S p

j=1Vyj. Les ensembles U et V sont bien des ouverts

disjoints tels que A ⊂ U et B ⊂ V . D'où X est normal.  Dénition 2.1.2.

Un espace topologique (X, τ) est dit localement compact, s'il est séparé et si tout point de X possède un voisinage compact.

2.1. Espaces compacts, Espaces localement compacts 20

Dénition 2.1.3.

Un espace séparé est localement compact si tout point de cet espace possède un voisinage ouvert U tel que U est compact.

Exemple 2.1.3.

(R, |.|) est localement compact car pour tout x ∈ R ; on a x ∈]x − ε, x + ε[⊂ [x − ε, x + ε] qui est un voisinage compact de x.

Théorème 2.1.10.

Tout espace localement compact est complètement régulier.

Démonstration : Soient X un espace localement compact, x ∈ X et F un fermé de X tel que x /∈ F . Alors il existe un voisinage ouvert U de x tel que U est compact. L'ensemble

F0 = (U \U ) ∪ (U ∩ F )

est un fermé dans U. Il est clair que x /∈ F0 c'est à dire x ∈ U\F0. Mais U est compact

donc complètement régulier, alors il existe une application continue f1 : U 7−→ [0, 1]

tel que f1(x) = 0 et f1(F0) = {1}. Considérons l'application

f2 : X\U −→ [0, 1]

dénie par f2(y) = 1. On a

U ∩ (X\U ) = U \U ⊂ F0,

donc

f1|U ∩(X\U ) = f2|U ∩(X\U ).

Donc l'application combinaison

f : X = U ∪ (X\U ) −→ [0, 1]

dénie par f(z) = f1(z)si z ∈ U, f(z) = f2(z) si z ∈ X\U, est continue. Par conclusion

2.2. Espaces dénombrablement compacts, Espaces pseudo-compact 21

2.2 Espaces dénombrablement compacts, Espaces

pseudo-compact

Rappellons qu'une famille de parties est dite dénombrable si elle est constitué d'un nombre dénombrable de parties.

Dénition 2.2.1.

Un espace est dit dénombrablement compact s'il est séparé et si tout recouvrement ouvert dénombrable de cet espace admet un sous recouvrement ni.

Exemple 2.2.1.

Tout espace compact est dénombrablement compact. Théorème 2.2.1.

Un espace topologique X est dénombrablement compact si et seulement si tout sous en-semble inni de X admet au moin un point d'accumulation.

Théorème 2.2.2.

Toute application continue à valeur réelle dénie sur un espace dénombrablement compact est bornée.

Démonstration : voir [5] 

Dénition 2.2.2.

Un espace topologique X est appelé pseudo-compact s'il est complètement régulier et si toute fonction continue à valeur réelle dénie sur X est bornée. Cette dernière est équi-valente à la condition que toute fonction continue à valeur réelle dénie sur X atteint ses bornes.

Exemple 2.2.2.

L'espace [0, 1] muni de la topologie usuelle est pseudo-compact. Théorème 2.2.3.

Tout espace dénombralement compact et complètement régulier est pseudo-compact. Démonstration : La démonstration se fait d'une façon directe en utilisant le théorème

2.2.2. 

2.3. Compactication d'Alexandro 22

Théorème 2.2.4.

Un espace pseudo-compact et normal est dénombrablement compact .

Démonstration : Supposons que X est un espace normal qui n'est pas dénombra-blement compact. Donc X n'est pas compact. Ainsi, il existe un ensemble inni A = {x1, x2, ...} ⊂ X tel que xi 6= yj pour chaque i 6= j et l'ensemble des points

d'accumu-lations Ad _{= ∅. Comme ¯A = A ∪ A}d _{alors A est fermé. De plus, A est un sous-espace}

discret puisque les singletons de A sont des ouverts. D'après le théorème 1.4.8, il existe une fonction continue f : X −→ R telle que f(xi) = i pour i ∈ N∗. Ceci implique que f

n'est pas bornée. D'où l'espace X n'est pas pseudo-compact.  Théorème 2.2.5.

S'il existe une application continue f d'un espace pseudocompact X dans un espace de Tychono Y , alors Y est pseudo-compact.

2.3 Compactication d'Alexandro

Etant donnée un espace topologique X , une compactication de X est un procédé général de plongement de X comme sous-espace dense d'un espace compact, et ce plon-gement est appelé le compactié.

Dénition 2.3.1.

Soit X un espace topologique. Une compactication de X est une paire (Y, c), où Y est un espace compact et c : X −→ Y est un plongement de X dans Y tel que c(X) = Y . L'existence d'un tel plongement implique que l'espace doit être supposé complètement ré-gulier par le théorème suivant .

Théorème 2.3.1.

Un espace topologique X admet une compactication si et seulement si X est un espace complètement régulier.

 Soit X un espace topologique localement compact mais non compact. On peut en ajoutant un point à X, obtenir un espace compact. Pour cela on considère l'en-semble X = X ∪ {w}e , où w est un point n'appartient pas à X, et on dénit une famille ˜τ sur Xe de la manière suivante :

L'enssemble des ouverts de Xe est constitué par les ouverts de X et les sous-ensembles de la forme {w}∪Kc_{où K}c_{est le complémentaire dans X d'un compact}

2.3. Compactication d'Alexandro 23

Théorème 2.3.2.

( eX,_eτ ) est un espace topologique compact.

Démonstration : 1) Montrons que ˜τ dénit bien une topologie sur ˜X. Il est clair que :

 ∅ et Xe appartiennent à e τ.

 L'ensemble des ouverts de X est bien stable par intersection nie et par réunion quelconque.

 L'ensemble des complémentaires de compacts de X dansXe est bien lui aussi stable par intersection nie et réunion quelconque (on sait qu'une réunion nie de com-pacts est compacte et qu'une intersection quelconque de comcom-pacts est compacte , comme fermé d'un compact).

Il sut donc de vérier que la réunion (resp. l'intersection) d'un ouvert de X et d'un complémentaire de compact de X est bien un ouvert de X ou un complémentaire de com-pacts de X. Pour cela soient U un ouvert de X et K un compact de X de complémentaire V. U ∩ V est un ouvert de X car c'est l'intersection d'un ouvert avec X\Ke qui est un ouvert, donc c'est un ouvert de X. Et U ∪ V est le complémentaire de K ∩ F , avec F le complémentaire de U dansXe. On a bien montrer que

e

τ est une topologie sur Xe.

2) montrons que (X,e _eτ ) est un espace compact.Vérions que l'espace topologique Xe est séparé. Soient x, y ∈ Xe avec x 6= y. Si x, y ∈ X qui est séparé, alors il existe U, V des ouverts de X, et donc de Xe, tels que x ∈ U et y ∈ V et U ∩ V = ∅.

Si y = ω (par exemple), soit K un voisinage compact de x dans X (qui existe car X est localement compact). Alors intK, X\Ke sont des ouverts disjoints de Xe , contenant x et y respectivement. D'où Xe est séparé.

Soit X = ∪e _i∈IU_i avec les U_i ouverts. Un certain U_i0 contient ω. Son complémentaire est compact, et recouvert par les Uj, pour j 6= i0, on peut donc le recouvrir par les Uj, pour

j ∈ J ni. L'ensemble des Ui pour i ∈ J ∪ {i0} est un recouvrement ni de Xe. Donc Xe

est compact. 

Dénition 2.3.2.

L'espace Xe s'appelle alors le compactié d'Alexandro de l'espace localement compact X et w s'appelle le point à l'innie de Xe et se note également {∞}.

Corollaire 2.3.3.

Soit X un espace topologique non compact mais localement compact. Alors il existe un espace topologique compact, Xe, appelé compactié d'Alexandro de X tel que :

 X est dense dans Xe.

2.4. Ensembles Y-compacts 24

Exemple 2.3.1. Le cercle

S1 _{= {(x, y) ∈ R}2 : x2+ y2 = 1}

et l'intervalle I = [0, 1] sont des compactications de la droite réelle R. Le cercle est la compactication d'Alexandro de R.

2.4 Ensembles Y-compacts

Dénition 2.4.1. [10]

Soient X, Y deux espaces topologiques. Un sous ensemble B de X est dit Y −compact si pour toute application continue f : X −→ Y , l'ensemble f(B) est compact dans Y . Exemple 2.4.1.

1. Toute partie compacte de X est R−compacte.

2. Tout sous ensemble fermé d'un espace dénombrablement compact est R−compact . Dénition 2.4.2.

Soient X un espace topologique et Y un espace discret, si A ⊂ X est Y −compact, alors pour tout f ∈ C(X, Y ), f(A) est une partie nie.

Proposition 2.4.1.

La ferméture d'un ensemble R−compact est R−compact.

Démonstration : Soit A ⊆ X un ensemble R−compact. Soit f une fonction continue de X dans R. Pour Montrer que f(A) est un sous ensemble compact de R, il sut de montrer que f(A) = f(A). Supposons le contraire, donc il existe un point y ∈ f(A)\f(A), tel que y = f(x) où x ∈ A. Puisque f(A) est compact, donc R\f(A) est un ensemble ouvert contenant y. Alors W = f−1

(R\f (A)) est un voisinage du point x dans X. Mais W ∩ A = ∅. Cela contredit le fait que x ∈ A. D'où f(A) est compact. _ Exemple 2.4.2.

Soit X = D(τ)∪{a} la compactication d'Alexandro d'un espace disret D(τ) de cardinal τ > ω0 où ω0 le cardinal de N. Montrons que tous les sous ensembles non dénombrables

de X sont R − compact. Soit A ⊂ X non dénombrable et soit f : X −→ R une fonction continue. Posons y = f(a), alors pour tout voisinage Oy de y, f−1(R\Oy)est fermé dans

X et donc dans D(τ) par suite l'ensemble f−1

(R\Oy) est ni, donc f−1(R\{y}) est au

plus dénombrable et y ∈ f(A). On a

2.4. Ensembles Y-compacts 25

Donc

f (X) = {y} ∪ (R\{y}).

De plus f(X) est une suite convergente vers y, par conséquent tout sous ensemble de l'ensemble f(X) contenant y est un ensemble compact. Par suite f(A) est un ensemble compact et donc A est un ensemble R − compact.

Exemple 2.4.3.

Soit X = D(τ)∪{a} la compactication d'Alexandro d'un espace discret D(τ) de cardinal τ > ω0 où ω0 le cardinal de N. Soient A, B deux sous ensembles non dénombrables de

D(τ ). D'après l'exemple 2.4.2, les sous ensembles A, B sont R−compacts. Soit A ∩ B = {x1, x2, ..., xn, ...}.

Montrons que A ∩ B n'est pas R−compact. Considérons la fonction f : X −→ R telle que f (xi) =

1

i, pour tout i ∈ N

∗ _{et f(x) = 0, si x /∈ A ∩ B.}

Evidement f est continue et f(A ∩ B) = {1 n}

∞

n=1 n'est pas compact.

Exemple 2.4.4.

Soit {Ps : s ∈ S} une famille de sous ensembles de N avec Ps0 ∩ Ps1 est ni pour tous

s0, s1 ∈ S et maximale par rapport à l'inclusion. Soit

X = N ∪ {as: s ∈ S},

tel que as∈ Ps pour tout s ∈ S. On dénit une topologie sur X comme suit :

1. Tous les points de N sont isolés. Donc pour tout x ∈ X, {x} est un ouvert.

2. Pour x = as; la famille B(x) = {{as} ∪ {Ps\K}} où K est un sous ensemble ni

de Ps, est un système fondamental de voisinages de x.

(X, τX)est un espace topologique pseudo-compact. Donc f(X) est compact pour f ∈ C(X).

Posons A = {as : s ∈ S} et montrons que A est R − compact. Comme f(A) ⊂ f(X), il

sut de montrer que f(A) est fermé. Soit y ∈ f(A). Comme N est partout dense dans X, donc, il existe une suite T = (bi)i≥1 telle que la suite (f(bi)) converge vers y. Il existe

s0 ∈ S tel que Ps0 ∩ T est inni, alors (bi)i≥1 converge vers as0, et par la continuité de f,

lim

i→+∞f (bi) = f (as0) = y.

Soit B = {asi : i = 1, 2, 3, ...} un sous ensemble fermé de A. Puisque l'ensemble A est un

espace discret fermé, montrons que B n'est pas R−compact. Dénissons une fonction f comme suit : f (x) = ( 0, si x /∈ S+∞_i=1(Psi ∪ {asi}) 1 i, si x ∈ S +∞ i=1(Psi ∪ {asi}).

2.4. Ensembles Y-compacts 26

Où i est le nombre maximale tel que x ∈ Psi∪ {asi}. Il est clair que f(asi) =

1

i, donc B

n'est pas R−compact. Proposition 2.4.2.

Si A est un sous ensemble R−compact de X et n un nombre naturel non nul, alors A est aussi un ensemble Rn₋compact.

Démonstration : Notons que la projection de l'ensemble f(A) sur chacun des axes est un ensemble compact, par conséquent f(A) se trouve dans le produit d'ensembles compacts. Il est donc susant de prouver que f(A) est fermé dans Rn_{, soit y ∈ R}n _{et considérons}

la fonction g : Rn_{−→ R telle que g(x) soit égale à la distance entre x et y dans R}n_{, cette}

fonction est continue et g−1_{(0) = y. Alors (g ◦ f)(A) est un ensemble compact dans R et}

le point 0 se trouve dans sa fermeture, il s'ensuit que 0 ∈ (g ◦ f)(A), y ∈ f(A), et f(A)

est fermé. 

Dénition 2.4.3.

Soit X un espace topologique et A ⊂ X. On dit que A est un zero-ensemble si A = f−1₍₀₎

pour certaine fonction continue f : X −→ [0, 1]. Proposition 2.4.3.

Soient X un espace topologique, A un sous ensemble R−compact de X et B un zéro-ensemble. Alors A ∩ B est R−compact.

Démonstration : Soient A ⊂ X un ensemble R−compact et B ⊂ X un zéro-ensemble. Pour f ∈ C(X) montrons que f(A ∩ B) est compact. Comme B est un zéro-ensemble alors il existe g ∈ C(X) tel que g−1_{(0) = B. Considérons maintenant une fonction}

h : X _{−→ R}2

x 7−→ h(x) = (f (x), g(x))

La fonction h est continue car si on prend W = U × V un ouvert de R2_{, alors}

h−1(U ×V ) = {x ∈ X : h(x) ∈ U ×V } = {x ∈ X : f (x) ∈ U et g(x) ∈ V } = f−1(U )∩g−1(V ) qui est un ouvert de X. Par la proposition 2.4.2, h(A) est compact. Posons

T = R × {0} et montrons que

h(A ∩ B) = h(A) ∩ T.

Soit y ∈ h(A ∩ B), donc y ∈ h(A), de plus il existe un point x ∈ A ∩ B tel que y = h(x) = (f (x), g(x)) = (f (x), 0).

2.4. Ensembles Y-compacts 27

Alors y ∈ T . Inversement, soit y ∈ h(A) ∩ T . Alors y = h(x) = (f (x), g(x))

pour certain x ∈ A. Puisque y ∈ T et g(x) = 0 donc x ∈ g−1_{(0) = B, par conséquent}

x ∈ A ∩ B et y ∈ h(A ∩ B). Ainsi l'ensemble h(A ∩ B) = h(A) ∩ T est compact comme intersection du compact h(A) avec le fermé T . Il reste à observer que f(A ∩ B) est la projection de lensemble h(A ∩ B) sur T , i.e.

f (A ∩ B) = (pr ◦ h)(A ∩ B), avec

pr : R2 −→ R.

Chapitre 3

Topologies sur les espaces de fonctions

Ce chapitre expose les dierentes topologies dénies sur l'espace des applications conti-nues, en particulier la topologie de la convergence simple, la topologie de la convergence uniforme et la topologie ensemble-ouvert et on va donner quelques propriétés de ces to-pologies.

3.1 Topologie de la convergence simple

Soient X, Y deux espaces topologiques. Si A ⊂ X et B ⊂ Y , alors on note [A, B] = {f ∈ C(X, Y ) : f (A) ⊂ B} .

On note

YX = {f /f : X → Y } l'ensemble de toutes les applications dénies de X dans Y . YX _{sera identié avec le produit cartésien Q}

x∈X

Yx, avec Yx = Y pour tout x ∈ X.

Dénition 3.1.1. La famille Bp = ( _n \ i=1 [Ai, Ui] / Ai partie nie de X et Ui ∈ τY )

forme une base pour une topologie sur C (X, Y ) appelée la topologie de la convergence simple sur C (X, Y ), on la note τp et l'espace topologique obtenu sera noté Cp(X, Y ) .

Proposition 3.1.1.

Soient X, Y deux espaces topologiques, x ∈ X et U ⊆ Y . Soit Px l'application projection

Px : YX =

Y

x∈X

Yx −→ Y

3.1. Topologie de la convergence simple 29

dénie par Px(f ) = f (x). Alors On a

C (X, Y ) ∩ P_x−1(U ) = [{x}, U ] . Démonstration : Soit f ∈ C(X, Y ) : f ∈ C(X, Y ) ∩ P_x−1(U ) ⇐⇒ f ∈ C(X, Y ) ∧ f ∈ P_x−1(U ) ⇐⇒ f ∈ C(X, Y ) ∧ Px(f ) ∈ U ⇐⇒ f ∈ C(X, Y ) ∧ f (x) ∈ U ⇐⇒ f ∈ [{x}, U ] .  Proposition 3.1.2.

La topologie τp coïncide avec la topologie induite sur C (X, Y ) par la topologie produit de

YX_.

Démonstration : Soit τ1 la topologie produit induit sur C(X, Y ). Soit Ω ⊂ C (X, Y ) un

ouvert dans τ1. Donc

Ω = O ∩ C (X, Y ) où O est un ouvert de YX_{. On peut prendre O ∈ B}

YX. On a alors

O = P_x−1₁ (U1) ∩ Px−12 (U2) ∩ . . . ∩ P

−1 xk (Uk) ,

où xi ∈ X et Ui ∈ τY pour tout i = 1, k, avec Pxi :

Q

x∈XYxi −→ Yxi = Y. On a Alors

Ω = [{x1}, U1] ∩ [{x2}, U2] ∩ . . . ∩ [{xk}, Uk]

pour chaque i = 1, k, d'où Ω ∈ τp.

Inversement, pour montrer que τp ⊂ τ1, il sut de montrer que Bp ⊂ τ1. Soit [A, U] ∈ Bp

où A est une partie nie de X et U un ouvert de Y . Montrons que [A, U] est un ouvert de τ1. Par dénition, on a A une partie nie de X et U un ouvert de Y . Comme A est

nie donc

A = {x1, x2, . . . , xk}

tels que xi ∈ X pour tout i dans {1, 2, ...k}. Alors

[A, U ] =∪k_i=1{xi}, U = ∩i=1k [{xi}, U ] = C (X, Y )∩(Px−11 (U1)∩P

−1

x2 (U2)∩. . .∩P

−1 xk (Uk)).

Donc [A, U] ∈ τ1. D'où τp = τ1. 

Théorème 3.1.3.

3.2. Topologie de la convergence uniforme sur C(X, R) 30

Démonstration : Supposons que Y est un espace Ti. Alors l'espace topologique produit

Q

x∈X

Yx avec Yx = Y, pour tout x ∈ X, est un espace Ti. Et comme tout sous espace d'un

espace Ti est un espace Ti, alors CP (X, Y ) ⊂

Q

x∈X

Yx est un espace Ti. 

3.2 Topologie de la convergence uniforme sur C(X, R)

Dénition 3.2.1.

On dit qu'une suite de fonction (fn)_n∈N ⊂ RX converge uniformément vers une application

f : X −→ R si :

∀ε > 0, ∃k ∈ N, ∀x ∈ X, ∀n ≥ k : |fn(x) − f (x)| < ε.

On note dans ce cas fn CU

−→ f.

La dénition de la convergence uniforme va nous conduire à dénir une topologie sur C(X). Pour dénir cette topologie nous allons dénir l'ensemble des fermés.

Dénition 3.2.2. Soit A ⊂ C(X, R). On dénit l'ensemble A comme suit : f ∈ A ⇐⇒ ∃ (fn)_n∈N ⊂ A : fn CU −→ f. Propriété 3.2.1. 1) ∅ = ∅. 2) A ⊂ A. 3) A ⊂ B =⇒ A ⊂ B. 4) A ∪ B = A ∪ B. 5) A = A. Démonstration : 1. Évident

2. Si f ∈ A, alors la suite (fn)_n∈N ⊂ A avec fn= f converge vers f pour tout n ∈ N.

Donc f ∈ A. D'où A ⊂ A.

3. Soit f ∈ A. Alors il existe suite de fonctions (fn) ⊂ Atel que

fn CU

−→ f.

Comme A ⊂ B, il s'ensuit que (fn) ⊂ B et (fn) converge uniformément vers f

3.2. Topologie de la convergence uniforme sur C(X, R) 31

4. On a

A ⊂ A ∪ B et B ⊂ A ∪ B, alors d'après la propriété 3, on aura

A ⊂ A ∪ B et B ⊂ A ∪ B. Donc

A ∪ B ⊂ A ∪ B.

Soit f ∈ A ∪ B. Donc il existe une suite (fn)_n∈N ⊂ A∪Bqui converge uniformément

vers f. Dans l'un des ensembles A ou bien B, par exemple A, il existe une sous suite (fni) ⊂ (fn) tel que (fni) ⊂ A. La convergence uniforme de (fn) assure la

convergence uniforme du sous suite (fni)i∈N vers f. Donc

f ∈ A ⊂ A ∪ B. D'où

A ∪ B ⊂ A ∪ B. Donc par double inclusion on a A ∪ B = A ∪ B.

5. Par dénition on a A ⊂ A. Inversement, soit f ∈ A et (fn) une suite de A tel que

(fn)converge uniformément vers f. pour  = _2k1 avec k ∈ N∗, on a

∃δ ≥ 0, ∀n ≥ δ, ∀x ∈ X : |fn(x) − f (x)| < . Prenons n(k) > δ, alors |fn(k)(x) − f (x)| < 1 2k, i.e. ∀k ∈ N∗, ∃n(k) : |f (x) − fn(k)(x)| < 1 2k, ∀x ∈ X. Puisque fn(k)∈ A, alors fn(k) est une limite d'une suite gik

i∈N ⊂ A. Donc ∀ > 0, ∃δ ∈ N∗, ∀i ≥ δ : |fn(k)(x) − gki(x)| < , ∀x ∈ X. Pour  = 1 2k, on a ∃δ, ∀i ≥ δ : |fn(k)− gki(k)| < 1 2k. Prenons i = i(k) ≥ δ |fn(k)(x) − gi(k)k (x)| < 1 2k, ∀k ∈ N∗, ∃i(k) ∈ N∗ : |fn(k)(x) − gi(k)k (x)| < 1 2k,

3.2. Topologie de la convergence uniforme sur C(X, R) 32

donc, il existe i(k) ∈ N∗ _{tel que}

|fn(k)(x) − gi(k)k (x)| <

1

2k, ∀x ∈ X. Prenons gk= g_i(k)k ∈ A, pour tout k ∈ N∗. Alors

|f (x) − gk(x)| <

1

k, ∀x ∈ X.

Donc, la suite (gk) converge uniformément vers f, d'où f ∈ A. Alors, on obtient

A ⊂ A. D'où l'égalité c'est à dire A = A.

 Dénition 3.2.3. La famille τu = n Ω ⊂ C(X, R)/CΩ_{= C}Ωo

est une topologie sur C(X, R) appelée la topologie de la convergence uniforme sur C(X, R). On note l'espace topologique obtenu par Cu(X, R) = Cu(X).

Proposition 3.2.2.

Pour tout espace topologique X, la topologie de la convergence simple est moin ne que la topologie de la convergence uniforme sur C(X, R), i.e, τp ⊂ τu et on écrit dans ce cas

Cp(X, R) ≤ Cu(X, R).

Démonstration : On a τp ⊂ τu si et seulement si l'application identique

id : Cu(X) −→ Cp(X)

est continue, ce qui est équivalent à id F
⊂ id(F ) pour tout F ⊂ C(X). Notons par Fu la ferméture de F dans Cu(X) et F

p

la ferméture de F dans Cp(X) et

montrons que Fu

⊂ Fp pour tout sous ensemble F de C(X, R). Soit f ∈ Fu

et montrons que f ∈ Fp

.On a

f ∈ Fp ⇐⇒ ∀U ∈ V (f ) : U ∩ F 6= ∅. Soit U un voisinage ouvert de f dans Cp(X), alors

U = n \ i=1 [{xi}, Ui] = C (X, R) \ ( n \ i=1 P_x−1_i (Ui))

avec Uiest un ouvert de R pour tout i = 1, n. Comme Ui est un ouvert de R et f(xi) ∈ Ui,

pour chaque i = 1, n, alors il existe ε0 > 0 tel que

3.3. Topologie ensemble-ouvert 33

D'autre part on a f ⊂ Fu

, donc il existe une suite de fonctions (fn)n∈N ⊂ F telle que

(fn)n∈Nconverge uniformément vers f. On en déduit qu'il existe j ∈ N∗, tel que pour tout

n ≥ j, on ait

|f (xi) − fn(xi)| < ε0

Pour tout x ∈ X. En particulier

|f (xi) − fj(xi)| < ε0

implique que

fj(xi) ∈ ]f (xi) − ε0, f (xi) + ε0[ ⊂ Ui

pour tout i = 1, n. Donc

fj ∈ n

\

i=1

[{xi}, Ui] = U et fj ∈ F.

D'où fj ∈ F ∩ U, ce qui signie que F ∩ U 6= ∅. Finalement on a fj ∈ F p

. 

Théorème 3.2.3.

L'espace topologique Cu(X)est un espace Ti, pour i = 0, 1, 2.

Démonstration : Ceci vient du fait que τp ⊂ τu. 

3.3 Topologie ensemble-ouvert

Soient X, Y deux espaces topologiques. Dénition 3.3.1.

Soit α une famille non vide de sous ensembles de X. On appelle topologie ensemble-ouvert sur C(X, Y ) la topologie, notée τα, qui admet comme sous base la famille

Bα= {[B, U ] , B ∈ α , U ∈ τY} .

On note C(X, Y ) muni de τα par Cα(X, Y ).

 Si α est la famille de toutes les parties nies de X, alors τp = τα.

 Si α = K(X) est la famille de toutes les parties compates de X, alors τα = τk

s'appelle la topologie compacte-ouverte et Cα(X, Y ) = Ck(X, Y ). Cette topologie

est parmi les exemples bien connus des topologies ensemble-ouvert. Proposition 3.3.1.

La topologie de la convergence simple est moins ne que la topologie compacte-ouverte sur C(X, Y ), i.e. τp ⊂ τk.

3.3. Topologie ensemble-ouvert 34

Démonstration : On a Bp ⊂ Bk car toute partie nie est compate. Donc τp ⊂ τk. 

Proposition 3.3.2.

Soit X un espace complètement régulier et Y un espace T1 qui contient un chemin non

trivial. Alors, Cp(X, Y ) = Ck(X, Y ) si et seulement si toute partie compacte de X est

nie.

Démonstration : Si tout compact de X est ni, alors Bp = Bk et donc τp = τk.

Supposons que τp = τk. Soient K un compact de X, γ : [0.1] −→ Y un chemin dans Y

tel que γ (0) 6= γ (1) et g une application continue de X dans Y dénie par g(x) = γ(1), pour tout x ∈ X. Posons

U = Y \ {γ (0)} .

Donc U est un ouvert comme complémentaire d'un fermé. De plus on a g(K) = {γ(1)} ⊂ U,

d'où [K, U] est un voisinage ouvert de g dans Ck(X, Y ) et donc dans Cp(X, Y ), d'après

l'hypothèse. Il existe donc un ouvert de base dans Cp(X, Y )de la forme

W = [B1, U1] ∩ [B2, U2] ∩ ... ∩ [Bn, Un],

où B1, B2, ..., Bn sont des parties nies de X et U1, U2, ..., Un sont des ouverts de Y, tel

que

g ∈ W ⊂ [K, U ]. (3.1)

Posons

B = B1∪ B2∪ ... ∪ Bn.

Pour trouver que K est ni, il sut de montrer que K ⊂ B. Supposons que K 6⊂ B, donc il existe un point x ∈ K tel que x 6∈ B. Il est clair que B est une partie fermée de X. Comme X est complètement régulier, alors il existe une application continue

f : X → [0, 1] telle que f (x) = 0et f(B) = {1}. D'une part, on a (γ ◦ f )(Bi) = γ(1) = g(Bi) ⊂ Ui, pour tout i = 1, 2, ..., n. Donc γ ◦ f ∈ W.

3.3. Topologie ensemble-ouvert 35

D'autre part, on a

(γ ◦ f )(x) = γ(0) 6∈ U, et cela implique que

γ ◦ f 6∈ [K, U ],

ce qui est absurde avec (3.1). D'où K ⊂ B et donc K est ni.  Exemple 3.3.1.

On a Cp(N, R) = Ck(N, R), car la topologie induite sur N par la topologie usuelle de R est

la topologie discrète et on sait que dans un espace discert les parties compactes sont les parties nies. En eet, ona

{n} =]n − 1 2, n +

1 2[∩N, pour tout n ∈ N. Donc les singletons de N sont des ouverts. Dénition 3.3.2.

Une famille non vide α de sous ensembles de X est dite réseau de X, si pour tout x ∈ X et tout V ∈ V (x) il existe B ∈ α tel que x ∈ B ⊂ V .

Si tout les éléments de α sont fermés (resp. compacts), on dit réseau fermé (resp. compact). Exemple 3.3.2.

1) Toute base d'un espace topologique X est un réseau.

2) La famille α = F (X) de toutes les parties nies d'un espace X est un réseau compact. 3) α = K (X) la collection de toutes les parties compactes de X est un réseau compact. 4) Soit X = [0, 3] et α = {X, {x} : x ∈ X}. Alors α est un réseau compact.

Dénition 3.3.3.

Une famille α de sous ensembles R−compact de X est dite hériditaire si pour tout A ∈ α et tout sous ensemble R−compact B de X inclu dans A, on a B ∈ α.

Proposition 3.3.3.

Soient X un espace topologique et α un réseau de X. Alors pour tout fermé V de Y et tout B ∈ α, on a [B, V ] est un fermé de Cα(X,Y ).

Démonstration :

Montrons que Cα(X,Y ) \ [B, V ] est un ouvert de Cα(X Y ). Soit

f ∈ Cα(X Y ) \ [B, V ] .

Alors

3.3. Topologie ensemble-ouvert 36

Donc, il existe x0 ∈ B tel que f (x0) /∈ V, alors

f (x0) ∈ Y \ V.

Donc

x0 ∈ f−1(Y \ V ) .

Mais comme α est un réseau, alors il existe B0 ∈ α tel que

x0 ∈ B0 ⊂ f−1(Y \ V ) .

Donc

x0 ∈ B0 et f ∈ [B0, Y \ V ] .

Montrons maintenant que

[B0, Y \ V ] ⊂ Cα(X,Y ) \ [B, V ] . Soit g ∈ [B0, Y \ V ], donc g (x0) /∈ V alors g(B) 6⊂ V donc g /∈ [B, V ], donc g ∈ Cα(X,Y ) \ [B, V ] . D'où f ∈ [B0, Y \ V ] ⊂ Cα(X,Y ) \ [B, V ] .

Ceci montre que Cα(X,Y ) \ [B, V ] est un voisinage de tous ses points et donc est un

ouvert. 

Proposition 3.3.4. Si X est un espace complètement régulier et A un sous-espace com-pact de X, alors pour tout fermé B avec A ∩ B = ∅, il existe une fonction continue f : X −→ [0, 1] telle que f(x) = 0, ∀x ∈ A et f(y) = 1, ∀y ∈ B.

Démonstration : Puisque B est fermé et A ∩ B = ∅, alors, pour tout x ∈ A, il existe une fonction continue

fx : X −→ [0, 1]

telle que

3.3. Topologie ensemble-ouvert 37

On a f−1

x ([0, 1/2[) est un ouvert, de plus

A ⊂ ∪

x∈Af −1

x ([0, 1/2[).

Et comme A est compact, alors il existe {x1, x2, ..., xk} ⊂ A tel que

A ⊂ ∪k i=1f −1 x ([0, 1/2[). Prenons g = min(fx1, fx2, ..., fxk).

Alors on a d'une part, pour tout z ∈ A, il existe i0 tel que

z ∈ f_x−1 i0([0, 1/2[) et fxi0(z) est minimal , i.e., z ∈ g−1([0, 1/2[). D'où A ⊂ g−1([0, 1/2[). De l'autre part, on a pour tout y ∈ B,

fxi(y) = 1, ∀i ∈ {1, 2, ..., k}

ce qui implique que

g(y) = 1, ∀y ∈ B. Considérons la fonction

f : X −→ [0, 1] x 7−→ f (x) = 2 max(g(x) −1

2, 0).

Comme l'application g est continue alors f est continue. D'où f est la fonction recherchée.  Lemme 3.3.5. [8]

Soit α un réseau de X, et soit K un compact de X. La fonction Ξ : Cα(X, [0, 1]) −→ [0, 1]

f −→ Ξ(f ) = supx∈Kf (x)

3.3. Topologie ensemble-ouvert 38

Proposition 3.3.6.

Soit α un réseau de X, on a les propriétés suivantes :

1) Si Y est un espace Ti, alors Cα(X, Y ) est un espace Ti pour tout i = 0, 1, 2.

2) Si α est une famille de Y −compact et si Y est complètement régulier, alors Cα(X, Y )

est complètement régulier. Démonstration :

1) On va montrer que si Y est un espace T1, alors Cα(X, Y ) est aussi T1. Notons que les

autres cas où Y est un espace T0 ou T2 se démontrent d'une façon similaire.

Supposons que Y est un espace T1 et montrons que Cα(X, Y ) est un espace T1.

Soient f, g ∈ C (X, Y ) tel que f 6= g. Donc, il existe un point x ∈ X tel que f (x) 6= g (x). Comme Y est un espace T1, alors il existe U, V ∈ τY tel que

f (x) ∈ U et g (x) ∈ V avec g (x) /∈ U et f (x) /∈ V. Puisque α est un réseau , alors il existe B1, B2 ∈ α tel que

x ∈ B1 ⊂ f−1(U )

et

x ∈ B2 ⊂ g−1(V ) .

Considérons [B1, U ] et [B2, V ] qui sont des voisinages ouverts de f et g dans Cα(X, Y ),

respectivement, avec

f /∈ [B2, V ] et g /∈ [B1, U ] .

D'où Cα(X, Y ) est un espace T1.

2) Supposons que α est un réseau de Y −compact et montrons que pour tout f ∈ C (X, Y ) et pour tout [B, U] voisinage ouvert de f dans Cα(X, Y ), il existe une application continue

G : Cα(X, Y ) −→ [0, 1]

tel que

G (f ) = {0} et G (h) = {1}

pour tout h ∈ C (X, Y ) \ [B, U]. Soit f ∈ [B, U]. Comme f (B) est un compact dans Y qui est complètemet régulier, donc par la proposition 3.3.4, il existe une fonction continue

g : Y −→ [0, 1] tels que

3.3. Topologie ensemble-ouvert 39

Dénissons l'application

G : Cα(X, Y ) −→ [0, 1]

par

G(h) = Ξ(goh) = supx∈B(goh)(x)

pour tout h ∈ Cα(X, Y ). On a G (f) = 0. Et pour chaque h ∈ C (X, Y ) \ [B, U], il existe

x ∈ B tel que h (x) ∈ Y \ U. Donc

g (h (x)) = 1 i.e.

g (h (x)) = sup (g ◦ h) (y) = G (h) .

Pour justier la continuité de G, on doit montrer que pour tout intervalle ]a, b[ de R on a G−1([0, 1] ∩ ]a, b[)

est un ouvert dans Cα(X, Y ). Posons

V = {x ∈ [0, 1] : x ≤ a} qui est un fermé dans [0, 1] et

W = {x ∈ [0, 1] : x < b} qui est un ouvert dans [0, 1]. Alors

G−1([0, 1] ∩ ]a, b[) = Cα(X, Y ) \B, g−1(V ) ∩ B, g−1(W )



Chapitre 4

Topologie de la convergence uniforme

sur une famille de parties

Dans ce chapitre nous allons dénir la topologie de la convergence uniforme sur une famille de parties α sur C(X, Y ) où Y est un espace métrique. Ensuite on donne des conditions essentielles pour la coincidence de cette topologie avec la topologie ensemble-ouvert.

4.1 Dénitions

Dénition 4.1.1.

Soient X un espace topologique et α une famille de sous ensembles de X. On appelle topologie de la convergence uniforme sur α la topologie sur C(X) qui a comme système fondamental de voisinages en un point f l'ensemble

< f, A, ε >= {g ∈ C(X) : ∃a < ε, ∀x ∈ A : |f (x) − g(x)| ≤ a} où A ∈ α et ε > 0. L'espace topologique obtenu sera noté Cα,u(X).

Exemple 4.1.1.

1. Si α = {X}, alors Cα,u(X) = Cu(X) .

2. Si α = K(X), l'ensemble de tous les compacts de X, alors Cα,u(X) = Ck(X).

Dénition 4.1.2. Soient X un espace topologique, α une famille de sous ensembles de X et (Y, d) un espace métrique. Une base pour Cα,u(X, Y ) en un point f ∈ C(X, Y ) est

formée par tous les ensembles de la forme :

< f, F, ε >= {g ∈ C(X, Y ) : ∃a < ε, ∀x ∈ F : d(f (x), g(x)) ≤ a} où F ∈ α et ε > 0. 40

4.2. Comparaison entre Cα(X) et Cα,u(X) 41

4.2 Comparaison entre C

(X)

et C

(X)

Théorème 4.2.1. Soient X un espace complètement régulier, α une famille héréditaire de sous ensemble de X constitué de parties R−compactes. Alors Cα,u(X) = Cα(X).

Démonstration : Montrons que Cα(X) ≥ Cα,u(X). Soient f ∈ C(X) et < f, A, ε >,

avec A ∈ α et ε > 0, un voisinage de f dans Cα,u(X). Cherchons un voisinage Of de f

dans Cα(X) qui est contenu dans l'ensemble < f, A, ε >. Comme f(A) est un ensemble

compact et la famille des intervalles {]y − ε

3, y + ε

3[ : y ∈ f (A)}

est un recouvrement ouvert de f(A) dans R, on peut choisir un sous recouvrement ni de telle sorte que

f (A) ⊂ n [ i=1 ]yi− ε 3, yi+ ε 3[. On a, pour chaque i, l'ensemble

f−1([yi−

ε 3, yi+

ε 3])

est un zéro-ensemble. Donc par la proposition 2.4.3, l'ensemble Ai = f−1([yi−

ε 3, yi+

ε 3]) ∩ A

est R−compact. Par hypothèse cet ensemble appartient à α, par conséquent

Of = n \ i=1 [Ai, (]yi− ε 2, yi+ ε 2[)] est un ouvert dans la topologie set-open. Montrons que

f ∈ Of ⊆< f, A, ε > .

En eet, pour tout nombre i ≤ n et tout point x ∈ Ai, nous avons

f (x) ∈ [yi− ε 3, yi+ ε 3] ⊆]yi− ε 2, yi+ ε 2[.

Donc f ∈ Of. Montrons maintenant que Of ⊂< f, A, ε > .Soit g ∈ Of et soit x un point

arbitraire de A. Choisissons i de sorte que x ∈ Ai, ceci est possible puisque Sn_i=1Ai = A.

Comme g ∈ Of, on aura g(x) ∈ g(Ai) ⊆]yi− ε 2, yi+ ε 2[, ce qui signie que

|g(x) − yi| <

ε 2.

4.2. Comparaison entre Cα(X) et Cα,u(X) 42

Par le même raisonnement, on a

|f (x) − yi| <

ε 2. Alors

|g(x) − f (x)| < ε. D'où g ∈< f, A, ε >. On a bien Cα,u(X) ≤ Cα(X).

Montrons que Cα(X) ≤ Cα,u(X). Soit [A, V ] un ouvert de base dans Cα(X), où A ∈ α et

V un ouvert de R. Soit f ∈ [A, V ], Donc f(A) ⊂ V . Puisque V est ouvert dans R, alors pour tout x ∈ A, il existe εx > 0 tel que

]f (x) − εx, f (x) + εx[⊂]f (x) − 2εx, f (x) + 2εx[⊂ V.

Donc on a

f (A) ⊂ ∪x∈A]f (x) − εx, f (x) + εx[⊂ V

Puisque f(A) est compact et {]f(x) − εx, f (x) + εx[, x ∈ A} est un recouvrement ouvert

de f(A) dans R, alors il existe une partie nie {x1, x2, ..., xn} ⊂ A tel que

f (A) ⊂ n [ i=1 ]f (xi) − εxi, f (xi) + εxi[. Posons ε = max{εx1, εx2, ..., εxn}. Alors f ∈< f, A, ε >= {g ∈ C(X) : |f (x) − g(x)| < ε, ∀x ∈ A} ⊂ [A, V ].

D'où [A, V ] est voisinage de tous ses points dans Cα,u(X) ce qui implique qui est ouvert

dans Cα,u(X). D'où l'égalité. 

Théorème 4.2.2.

Soient X un espace topologique et α une famille de sous ensembles de X. Si Cα(X) ≤

Cα,u(X), alors la famille α est constituée de parties R−compactes.

Démonstration : Supposons le contraire, donc il existe F ∈ α et f ∈ C(X) tel que f (F ) n'est pas compact. On distingue deux cas.

1) Supposons que f(F ) n'est pas fermé. Soit a ∈ f(F )\f(F ). Comme a /∈ f(F ) alors f ∈ [F, R\{a}].

Puisque Cα(X) ≤ Cα,u(X), alors il existe un voisinage uniforme Of de f tel que

4.2. Comparaison entre Cα(X) et Cα,u(X) 43

Soit Of =< f, A0, ε0 >= {g ∈ C(X) : ∃α < ε0 : ∀x ∈ A0 : |f (x) − g(x| ≤ a} où A0 ∈ α et

ε0 > 0. Soit b un nombre réel, considérons les fonctions continues suivantes :

f + b : X _{−→ R}

x 7−→ (f + b)(x) = f (x) + b et

f − b : X _{−→ R}

x 7−→ (f − b)(x) = f (x) − b Il est clair que si b < ε0 alors

f + b, f − b ∈ Of.

D'autre part, comme a ∈ f(F ), alors

F ∩ f−1(]a − ε0, a + ε0[) 6= ∅.

Prenons x0 ∈ F ∩ f−1(]a − ε0, a + ε0[) et b0 = |f (x0) − a|. Clairement b0 < ε0. Mais dans

ce cas l'une des fonctions f + b0 et f − b0 prend la valeur a au point x0 et n'appartient

pas donc à Of ce qui est contradictoire. D'où F est R−compact.

2) Si f(F ) est fermé, alors on considère la fonction arctan dénie de R dans ] − π 2, π 2[ et posons h = arctan ◦f : X −→] −π 2, π 2[.

On sait que les compacts de R sont les parties fermées bornées. Puisque F n'est pas R−compact, alors h(F ) = arctan(f (F )) ⊂] −π2,

π

2[n'est pas fermé. Donc on suit la même

démonstration du premier cas. 

Proposition 4.2.3.

On a Cα(X) ≤ Cα,u(X) si et seulement si α est constitué de parties R−compactes.

Théorème 4.2.4.

Si Cα(X) = Cα,u(X), alors

1. α est constitué de parties R−compactes.

2. Si A ∈ α et B ⊂ A un sous ensemble R−compact, alors [B, U] est un ouvert dans Cα(X) et < f, B, ε > est un ouvert dans Cα,u(X) pour tous ε > 0, f ∈ C(X) et

U ∈ τ_R.

4.3. Comparaison entre Cα(X, Y ) et Cα,u(X, Y ) 44

2. Soit A ∈ α et B ⊂ A un sous ensemble R−compact. Soit U un ouvert quelconque de R. Montrons que [B, U] est un ouvert dans Cα(X), pour cela posons α1 =

α ∪ {B}, donc il sut de prouver que Cα1(X) = Cα(X). On a α ⊂ α1, alors

Cα(X) ≤ Cα1(X). Montrons que Cα1(X) ≤ Cα(X), comme α est constitué de

parties R−compactes alors α1 est aussi constitué des sous ensembles R−compacts.

Donc d'après la proposition 4.2.3 Cα1(X) ≤ Cα1,u(X). On a aussi Cα,u(X) =

Cα1,u(X)...(*) alors

Cα(X) ≤ Cα1(X) ≤ Cα1,u(X) = Cα,u(X) = Cα(X).

Et donc Cα(X) = Cα1(X). De (*), on a < f, B, ε > est un ouvert dans Cα,u(X).



4.3 Comparaison entre C

(X, Y )

et C

(X, Y )

Soit Y un espace discret, alors d'après l'exemple 1.1.4, Y est métrisable et la distance associée à Y est dénie par : pour tout x, y ∈ Y

d(x, y) = (

0, si x = y 1, sinon . Proposition 4.3.1.

Soient X un espace topologique, Y un espace métrique discret et f ∈ C(X, Y ), alors la famille

{g ∈ C(X, Y ) : g|A = f|A}, où A ∈ α

forme une base pour Cu,α(X, Y ).

Démonstration : Il sut de noter que pour ε < 1 :

< f, A, ε >= {g ∈ C(X, Y ) : g|A= f|A}.

On a < f, A, ε >= {g ∈ C(X, Y ) : ∃a < ε, ∀x ∈ A : d(f(x), g(x)) ≤ a} = {g ∈ C(X, Y ) : d(f (x), g(x)) < 1}

Comme Y est un espace métrique discret alors d(f(x), g(x)) = 0 pour tout x ∈ A , donc f (x) = g(x), ∀x ∈ A.

Alors f|A = g|A . 

Théorème 4.3.2.

Soient X un espace complètement régulier , Y un espace métrique discret et α une famille de sous ensembles de X. On a Cα,u(X, Y ) ≥ Cα(X, Y ).