Etude de la convection naturelle transitoire et bidimensionnelle dans une enceinte parallélépipédique allongée de section droite carrée << Bifurcation vers le chaos>>

(1)

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIQUE UNIVERSITE MENTOURI CONSTANTINE

FACULTE DES SCIENCES EXACTES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE N° d’ordre :………

Série :……….

THESE

PRESENTE POUR OBTENIR LE DIPLOME DE DOCTEUR D’ETAT EN PHYSIQUE

SPECIALITE : Energétique

THEME

ETUDE DE LA CONVECTION NATURELLE

TRANSITOIRE ET BIDIMENSIONNELLE

DANS UNE ENCEINTE PARALLELEPIPEDIQUE

ALLONGEE DE SECTION DROITE CARREE

«

BIFURCATION VERS LE CHAOS

»

Par

SALAH LAOUAR SOUTENU LE : Devant le jury :

Président : _{L. BAHI} _Prof. _{Univ. Mentouri Constantine}

Rapporteur : Co-Rapporteur : M. DAGUENET E. MEZAACHE Prof. Emérite Prof.

Univ. Perpignan France Univ. 20/08/55 Skikda

Examinateurs : _{B. BENYOUCEF} _Prof. _{Univ. Abu-Bakr Belkaid Tlemcen}

A. CHAKER Prof. Univ. Mentouri Constantine T. BOUFENDI M. C. Univ. Mentouri Constantine

(2)

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(4)

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(5)

Remerciements

Cette thèse a été menée sous la direction de Monsieur Michel

Daguenet, Professeur émérite à l’Université de Perpignan, France et

Co-dirigée par Monsieur El-Hacene Mezaache, Professeur à

l’Université du 20 Août 1955, Skikda. Qu’ils trouvent ici l’expression

de ma profonde gratitude.

Je tiens à remercier Monsieur Lakhdar Bahi, Professeur à

l’Université Mentouri, Constantine, pour l’honneur qu’il m’a fait en

présidant mon jury de Thèse.

Je tiens à remercier vivement Madame Abla Chaker, Professeur à

l’Université Mentouri, Constantine, Monsieur Benyoucef

Boumedienne, Professeur à l’Université Abu-Bakr Belkaid, Tlemcen,

malgré ses nombreuses occupations et Monsieur Toufik Boufendi,

Maître de Conférences à l’Université Mentouri, Constantine, pour

avoir accepté d’examiner ma Thèse.

J’exprime également mes vifs remerciements à Messieurs Ali

Meftah, Professeur à l’Université du 20 Août 1955, Skikda et

Directeur du Laboratoire LRPCSI d’avoir mis à ma disposition tous le

matériel nécessaire pour la réalisation de ma Thèse et Djamal

Boudjaadar, Maître de Conférences à l’Université du 20 Août 1955,

Skikda pour ses conseils fructueux en programmation.

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SOMMAIRE

Page

NOMENCLATURE III INTRODUCTION 1

Chapitre I : FORMULATION MATHEMATIQUE 5

I.1. Exposé du problème 5

I.2. Hypothèses simplificatrices 6

I.3. Formulation vectorielle 6

I.4. Formulation vorticité-fonction de courant 7

I.5. Choix des conditions initiales et aux limites 8

I.6. Adimensionnalisation des équations 9

I.6.1. Equations de transfert 9

I.6.2. Conditions initiales et aux limites 10

I.7. Transfert de chaleur 11

Chapitre II : ANALYSE NUMERIQUE 12

II.1. Choix du maillage 12

II.2. Formulation algébrique 13

II.2.1. Discrétisation de l’équation de la chaleur (ADI-Method) 13 II.2.2. Discrétisation de l’équation de la vorticité (ADI-Method) 13 II.2.3. Discrétisation de l’équation de la fonction de courant 14

II.2.4. Discrétisation des composantes de la vitesse 14

II.2.5. Discrétisation des conditions initiales et aux limites 14

II.2.6. La vorticité sur les frontières 15

II.2.7. Le nombre de Nusselt 16

II.3. Procédure numérique 17

II.3.1. Organigramme des calculs 17

II.3.2. Validation du code de calcul 18

Chapitre III : TRANSITION VERS LE CHAOS 38

III.1. Exploration de la route vers le chaos 38

III.1.1. Paramètres de calculs et paramètre de contrôle 38

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III.1.3. La quasi-périodicité et l’accrochage de fréquences 59 III.1.4. Le chaos et la sensibilité aux conditions initiales 64

III.1.5. Dimension fractale de l’attracteur 69

III.2. Evolution des lignes de courant et des isothermes 72

CONCLUSION 82

ANNEXES 85

A1. Formulation des méthodes numériques 85

A1.1. Méthode implicite aux directions alternées : (ADI-Method) 85

A1.2. Développement des équations algébriques 85

A1.3. La méthode de surrelaxation successive :(SOR-Method) 87

A2. Systèmes dynamiques 89

A2. 1. Notion de bifurcation 89

A2.1.1. Concept de bifurcation 89

A2.1.2. Bifurcation de Hopf 89

A2.2. Caractérisation des régimes dynamiques 89

A2.2.1. Transformation de Fourier 89

A2.2.2. Espace des états 90

A2.2.3. Notion d’attracteur et d’attracteur étrange 91

A2.2.4. Section de Poincaré 91

A2.2.5. Plus grand exposant de Lyapunov 92

A2.2.6. Dimension fractale de l’attracteur 92

A3. Listing des programmes développés

A3.1. Plus grand exposant de Lyapunov 95

A3.2. Dimension fractale d’un attracteur 96

A3. 3. Programme principal 98

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NOMENCLATURE

Symbole Nom, unité

(n,m) Nombre de noeuds du maillage suivant les deux axes x et y (x, y) Coordonnées cartésiennes sans dimensions (x,y)=(x*,y*)/L a Diffusivité thermique, m2.s-1

AB, EF Parois chaudes de l’enceinte BC, DE Parois froides de l’enceinte

cp Capacité calorifique massique à pression constante (J.kg-1.K-1) dc Dimension de capacité (fractale)

dep Dimension de l’espace de phase (entière) dG Dimension de correlation (fractale)

f Fréquence adimensionnelle du signal ψmid ou (Tmid – 0,5)

g Accélération de la pesanteur, m.s-2

L Hauteur de l’enceinte carrée, m

Ly Exposant de Lyapunov

NuAB Nombre de Nusselt moyen à travers la paroi chaude AB NuAB+EF Nombre de Nusselt global relatif aux deux parois chaudes NuBC Nombre de Nusselt moyen à travers la paroi froide BC NuBC+DE Nombre de Nusselt global relatif aux deux parois froides NuDE Nombre de Nusselt moyen à travers la paroi froide DE NuEF Nombre de Nusselt moyen à travers la paroi chaude EF

P Période adimensionnelle

Pr Nombre adimensionnel de Prandtl (Pr=ν/a)

Ra Nombre adimensionnel de Rayleigh (Ra=gβ(Th-Tc)L3/νa)

T Température adimensionnelle T=(T*-Tc )/(Th-Tc)

t Temps adimensionnel (t=t*a/L2) Tc Température froide de la paroi

Th Température chaude de la paroi

u Vitesse adimensionnelle suivant l’axe x (u=u*L/a) v Vitesse adimensionnelle suivant l’axe y (v=v*L/a)

∆t Pas de temps adimensionnel, pour la discrétisation temporelle

∆x Pas d’espace adimensionnel suivant l’axe x, ∆x=1/(n-1)

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Symboles grecs

β Coefficient d’expansion thermique, K-1

γ Facteur de surrelaxation

λ Conductivité thermique, W.m-1.K-1

ν Viscosité cinématique, m2.s-1 ρ Masse volumique de l’air, kg.m-3

Ψ Fonction de courant adimensionnelle (ψ= ψ*/a) ω Vorticité adimensionnelle (ω= ω*L2/a)

Indices

0,1 Relatifs à la fréquence de base

AB, EF Relatifs aux parois chaudes

BC, DE Relatifs aux parois froides

c Froid

cr Critique

h Chaud

i Relatif au iième nœud suivant l’axe x j Relatif au jième nœud suivant l’axe y

k Relatif au temps

max Valeur maximale

mid Milieu de l’enceinte, [ i = (n+1) / 2 , j = (m+1) / 2 ] min Valeur minimale

opt Optimal

p Relatif à la pième itération w Relatif à la paroi

Exposant

* Grandeurs dimensionnelles

Abréviations

ADI Alternating Direction Implicit (méthode implicite des directions alternées)

FFT Fast Fourier Transform (transformée de Fourier rapide) SCI Sensibilité Conditions Initiales

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INTRODUCTION

Le météorologue Edward Lorenz a publié en 1963 [9] les résultats numériques de la modélisation simplifiée du mouvement des courants d’air atmosphérique. Il part de données qu’il croyait suffisamment précises, dans le but de prévoir la météorologie des jours qui suivent. Seulement, voilà qu’il découvre la grande sensibilité aux conditions initiales (SCI). Il y a lieu de noter, qu’une toute petite perturbation, de l’ordre des battements des ailes d’un papillon dans l’atmosphère suffit pour que les données s’éloignent de façon asymptotique. Le comportement du système est qualifié d’aléatoire, d’imprévisible et de chaotique. Depuis, la découverte du chaos a changé notre compréhension des phénomènes physiques. Cette notion n’est pas à dissocier du phénomène de turbulence. Ainsi le chaos trouve son champ d’investigation en mécanique des fluides et les transferts de chaleur, en particulier et en ce qui nous concerne, en convection naturelle dans les enceintes fermées, sans oublier les autres domaines, tels que la mécanique des structures, la chimie, la médecine, les finances, les mathématiques, l’astronomie, les sciences sociales…

Dans le contexte historique, signalons en premier lieu, le travail du mathématicien et astronome Henri Poincaré [4]. Il considère un système de trois corps en interaction gravitationnelle (connu sous l’appellation du problème des trois corps). L’étude de leur mouvement a mis en évidence le caractère irrégulier et imprédictible du système, de sorte qu’un changement infinitésimal sur les conditions initiales conduit à l’imprédictibilité de son évolution temporelle. Cette grande sensibilité aux conditions initiales est due essentiellement aux termes non linéaires des équations du modèle.

D’autre part, pour le physicien Landau [5], l’augmentation de la vitesse d’un fluide (donc du nombre adimensionnel de Reynolds) entraîne l’apparition de plusieurs modes d’oscillations superposées, provoquant une complexité du mouvement de l’ensemble des particules fluides. L’apparition de la turbulence est ainsi observée suite à la superposition d’une infinité de modes d’oscillations.

La grande sensibilité aux conditions initiales a conduit à l’introduction de la notion d’attracteur étrange pour la première fois en 1971, par Ruelle et Takens [54]. Cet attracteur différent du tore, possède la propriété d’être SCI et ne nécessite qu’un petit nombre de degrés de liberté (ou modes de vibrations) pour que le système transite vers le chaos. Ainsi, un système dynamique dans un état stationnaire, peut perdre sa stabilité et devenir oscillant suite à l’augmentation du paramètre de contrôle. En continuant d’augmenter ce paramètre, le système passe par le régime quasi-périodique à deux fréquences, puis trois fréquences avant de devenir chaotique. Sous certaines conditions, comme dans le modèle de Curry et Yorke [55], le chaos s’installe sans l’apparition d’une troisième fréquence. Par la suite, ce sont plusieurs scénarios qui ont été identifié. Gollub et Benson [22], dans une étude expérimentale

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et en utilisant la technique LDV (Laser Doppler velocimetry), ont identifié quatre séquences d’instabilités menant à la convection turbulente pour des nombres de Prandtl variant de 2.5 à 5. Ils considèrent l’eau comme fluide de travail à l’intérieur de deux cellules parallélépipédiques en plexiglas de rapports de forme égaux respectivement à 3.51 et 2.42. La première cellule est de dimensions 16.42x27.72 et 7.90 mm de hauteur, la seconde 14.66x28.85 et 11.94 mm de hauteur. Les quatre scénarios identifiés sont : la quasi-périodicité suivie d’un accrochage des fréquences, la cascade sous harmonique (ou doublements de la période), la quasi-périodicité caractérisée par trois fréquences distinctes et le bruit intermittent.

Le scénario de la route vers le chaos proposé par Ruelle et Takens [54], a été cité également dans le travail numérique de Paolucci et Chenoweth [24]. Les deux auteurs ont considéré une enceinte différentiellement chauffée contenant de l’air. En général, pour un facteur de forme A≤1/2 et ≥3, le régime transitoire observé est dû essentiellement à l’instabilité de la couche limite au voisinage des parois verticales. Cependant, pour un facteur de forme 1/2<A<3, les auteurs observent en premier un régime oscillatoire dû essentiellement aux oscillations internes au voisinage des coins inférieurs suivi d’un régime quasi-périodique, puis une régularité apériodique et complexe, pour aboutir finalement à un régime turbulent. La transition vers le chaos suit le scénario stationnaire→périodique→quasi-périodique→chaotique prédit par Ruelle et Takens [54], dont le régime quasi-périodique est uniquement à deux fréquences incommensurables.

Le même scénario a été observé par Xia, Yang et Mukutmoni [28]. L’enceinte considérée est différentiellement chauffée. Ils ont imposé sur la paroi chaude une condition de température sinusoïdale donnant ainsi naissance à un régime instationnaire. En conclusion, ce sont les nombres de Rayleigh critiques pour les successions de bifurcations vers le régime chaotique qui se trouvent diminuer par rapport au scénario décrit dans [54].

A notre connaissance [10], dans la théorie des systèmes dynamiques dissipatifs, trois scénarios sont identifiés comme étant des routes possibles vers le chaos, il s’agit de :

9 La quasi-périodicité : suite à l’augmentation du paramètre de contrôle, le système passe de l’attracteur point limite, correspondant à une solution stationnaire, à l’attracteur cycle limite, correspondant à une solution périodique à une seule fréquence de base. En continuant d’augmenter ce paramètre, la solution devient quasi-périodique à deux fréquences de bases et l’attracteur est un tore T2, qu’on peut visualiser dans un espace de phase à trois dimensions. Suite à une perte de stabilité, on assiste à un accrochage des deux fréquences ou à l’apparition d’une troisième fréquence, l’attracteur est alors un tore T3.

9 La cascade sous harmonique : suite à l’augmentation progressive du paramètre de contrôle, on assiste à une cascade de bifurcations. La première, survenant après le cycle limite, fait apparaître un pic de faible amplitude sur le spectre de Fourier, de fréquence égale à la moitié du pic

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fondamental. A la seconde bifurcation c’est l’apparition du quart de la fréquence fondamentale. A la troisième bifurcation, c’est le huitième du pic fondamental et ainsi de suite jusqu’à l’infini. Théoriquement, le chaos s’installe après une infinité de bifurcations.

9 L’intermittence : partant d’un régime périodique stable caractérisé par des oscillations régulières, elles sont interrompues de temps en temps par des fluctuations, dont l’amplitude et la durée sont à peu près les mêmes d’une fluctuation à l’autre.

Observons enfin, que l’imprédictibilité et l’irrégularité de ces systèmes déterministes n’est pas à confondre avec celle des processus stochastiques. Dans le premier cas on parle de chaos déterministe, dans le second il s’agit du chaos stochastique.

Dans ce travail, on s’intéresse aux systèmes chaotiques et déterministes, où les pertes de stabilité des écoulements de convection naturelle dans une enceinte fermée seront analysées par simulation numérique. Le régime instationnaire de la convection naturelle concerne le cas où les conditions thermiques sur les parois sont permanentes. Sous ces conditions, l’étude des routes vers le chaos et la turbulence ainsi que les instabilités physiques qui en sont responsables sera notre objectif principal.

Dans ce même contexte [32,56-57], Skouta, Randrianzanamparany et Daguenet ont exploré la route vers le chaos en convection naturelle dans le cas de l’air dans une enceinte bidimensionnelle carrée inclinée de 45° par rapport à l’horizontal. Deux méthodes numériques ont été développées ; la méthode des différences finies et la méthode des volumes de contrôle. Les conditions pariétales imposées concernent les températures et les flux. Ainsi, suite à l’augmentation progressive du paramètre de contrôle à savoir, le nombre adimensionnel de Rayleigh, le système en question suit le scénario de cascade sous-harmonique ou de quasi-périodicité selon le type de condition pariétale.

Notre système, est une enceinte parallélépipédique de section carrée, contenant de l’air sous l’approximation de Boussinesq (nombre de Prandtl égal à 0.71). Les deux parois verticales, sont différentiellement, mais non uniformément chauffées, de sorte que l’une des parois est chauffée sur sa moitié inférieure et refroidie sur sa moitié supérieure, alors que l’autre paroi est refroidie sur sa moitié inférieure et chauffée sur sa moitié supérieure. Les deux parois horizontales sont adiabatiques. Cette configuration paraît intéressante du fait qu’elle fait apparaître deux courants de convections, l’un dans le sens horaire et l’autre dans le sens antihoraire. Une zone de mélange est alors établie sur l’axe central horizontal de l’enceinte. Nous supposons l’écoulement bidimensionnel et nous écrivons les équations de transferts sous formulation fonction de courant-vorticité. Nous approchons les dérivées partielles par des différences finies. Les équations de la chaleur et de la vorticité seront intégrées par la méthode implicite aux directions alternées et la fonction de courant sera déterminée à chaque nœud du domaine par la méthode de sur-relaxation successive. Nous avons développé un code de calcul, qui dans une

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première étape, a été validé en comparant nos résultats stationnaires avec ceux de Davis [19], dans le cas d’une enceinte différentiellement chauffée et dont les parois horizontales sont adiabatiques. Dans la seconde étape, la comparaison a été faite avec les travaux de Samuels et Churchill [30], dans le cas d’une enceinte chauffée isothermiquement par le bas. Dans la troisième étape, la comparaison a été faite dans le cas instationnaire avec les travaux précédemment cités [56-57].

Dans le cas de solutions instationnaires de notre problème, les résultats sont relativement sensibles aux choix du pas d’espace et de temps. Pour cela, une étude sur la stabilité des solutions numériques a été nécessaire.

Nous avons inclus une annexe que nous avons jugé nécessaire. Elle parle du chaos et de la dynamique non linéaire. L’annexe en question, ne remplacera en aucun cas les ouvrages référencés dans ce travail. On parle brièvement de la notion de bifurcation, de l’analyse de Fourier, de la notion d’attracteur et d’attracteur étrange, de la section de Poincaré, du plus grand exposant de Lyapunov et de la dimension fractale. Ce qui donne de brefs résumés pour les lecteurs non initiés. La dernière annexe est consacrée aux listings des différents programmes fortran développés.

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Chapitre I

FORMULATION MATHEMATIQUE

I.1. Exposé du problème

Dans ce travail nous étudions la convection naturelle en régime transitoire dans une enceinte fermée parallélépipédique de section droite carrée et suffisamment allongée suivant l’axe horizontal z*, qui est perpendiculaire au plan de la figure 1. 1.

Figure 1. 1

Système physique

Nous supposons par conséquent, que le problème peut être considéré comme bidimensionnel, l’enceinte est de largeur suivant l’axe x* égale à la hauteur suivant l’axe y* et égale à L.

Avant l’instant initial nous supposons l’air au repos dans l’enceinte, à une température moyenne T* = (Th + Tc ) / 2.

A l’instant initial, pris arbitrairement, l’enceinte considérée est différentiellement, mais non uniformément chauffée, de sorte que la demi-paroi verticale inférieure en

X* Axe médian horizontal

Origine des coordonnées h

T

Y* A B C D E F Paroi adiabatique Paroi adiabatique h

T

c

T

c

T

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x* = 0 est maintenue chaude, alors que l’autre partie est maintenue froide. Sur la

paroi de droite en x* = L nous imposons l’inverse.

I.2. Hypothèses simplificatrices

Nous modélisons le fluide (air) à l’intérieur de l’enceinte, en supposant qu’il est incompressible, à propriétés physiques constantes et peut s’adapter au modèle de Boussinesq. En d’autres termes, la masse volumique est constante, sauf dans le terme de force de poussée dans l’équation du mouvement suivant l’axe vertical y*, où elle est remplacée par :

(

)

[

−βT −Tc

]

ρ ∗

1 (1.1)

Dans l’équation de la chaleur, l’apport de l’énergie par rayonnement est négligeable. Le travail dû à la variation de volume sous l’effet de la pression est négligeable. La dissipation visqueuse, représentant la dégradation de l’énergie cinétique en chaleur est négligeable. L’écoulement est bidimensionnel.

I.3. Formulation vectorielle

En tenant compte des hypothèses simplificatrices précédentes, les équations du modèle, à savoir, la conservation de la masse, du mouvement et de la chaleur en chaque point de l’écoulement sont données par :

Equation de conservation de la masse

0 = ⋅ ∇ VG G (1.2) Equation du mouvement ) ( 1 ) (V V P 2V g T Tc t V − β − ∇ ν + ∇ ρ − = ∇ ⋅ + ∂ ∂ ∗ ∗ G G G G G G G G (1.3) Equation de la chaleur ∗ ∗ ∗ ∗ ∇ ρ λ = ∇ ⋅ + ∂ ∂ T c T V t T p 2 ) (G G G (1.4)

Les symboles utilisés dans ces équations et dans tous ce qui suit ont été mentionnés en nomenclature.

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I.4. Formulation vorticité-fonction de courant

En se conformant aux hypothèses simplificatrices, on est en mesure d’éliminer le terme de pression dans l’équation du mouvement, en prenant le rotationnel de cette équation. Ce qui réduit le système des deux équations du mouvement suivant les deux axes en une seule. Sachant que la vorticité ω*

est donnée par :

k y u x v V Rot ( _∗) ∗ ∗ ∗ ∗ ∂ ∂ − ∂ ∂ = = ωG G kG

⊥

au plan de la figure 1. 1

et afin de pouvoir visualiser l’écoulement de l’air, on définit la fonction de courant ψ* par : ∗ ∗ ∗ ∂ ψ ∂ = y u et _∗ ∗ ∗ ∂ ψ ∂ − = x v (1.5)

u* et v* sont les composantes de la vitesse suivant les deux axes x* et y*. Les équations précédentes deviennent :

Equation des courants

) ( ₂ 2 2 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∂ ψ ∂ + ∂ ψ ∂ − = ω y x (1.6) Equation du mouvement ) ( ₂ 2 2 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∂ ω ∂ + ∂ ω ∂ ν + ∂ ∂ β = ∂ ω ∂ + ∂ ω ∂ + ∂ ω ∂ y x x T g y v x u t (1.7) ou sa forme conservative [1, 12] ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∂ ∂ β = ∂ ω ∂ ν − ω ∂ ∂ + ∂ ω ∂ ν − ω ∂ ∂ + ∂ ω ∂ x T g y v y x u x t ( ) ( ) (1.8) Equation de la chaleur         ∂ ∂ + ∂ ∂ λ = ∂ ∂ ρ + ∂ ∂ ρ + ∂ ∂ ρ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 2 2 2 2 y T x T y T v c x T u c t T c_p _p _p 1.9) ou sa forme conservative [1, 12]

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0 ) ( ) ( = ∂ ∂ λ − ρ ∂ ∂ + ∂ ∂ λ − ρ ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ ∗ ∗ _∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ y T T v c y x T T u c x t T cp p p (1.10) les termes _∗ ∗ ∗ ∗ ∂ ∂ λ − ρ x T T u cp et _∗ ∗ ∗ ∗ ∂ ∂ λ − ρ y T T v

cp représentent respectivement les

quantités de chaleur nettes traversant les plans de coupe d’abscisse x et ∗

parallèlement à l’axe y et d’ordonnée ∗ y et parallèlement à l’axe ∗ x . ∗

I.5. Choix des conditions initiales et aux limites

Nous imposons une condition de non-glissement des particules fluides sur les parois de l’enceinte rigides et imperméables, de sorte que :

0 = ψ = = ∗ ∗ ∗ v

u sur ces frontières. (1.11)

Concernant la condition de stationnarité (condition de Dirichlet) des deux températures chaude et froide sur les parois verticales, on pose :

               = = = = + =     < ≤ = ≤ < = =     ≤ < = < ≤ = = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 2 / 2 / 0 pour 2 2 / 0 et 2 / et 0 pour 2 / et 2 / 0 et 0 pour L y L x L y x T T T L y L x l y L x T T L y L L x L y x T T c h c h (1.12) et partout ailleurs : 2 c h T T T∗ = + à l’instant initial. (1.13) Pour les parois adiabatiques horizontales on pose :

0 , 0 = ∂ ∂ = ∗ ∗ ∗ _L y y T (1.14)

alors que pour l’évaluation de la vorticité sur les frontières, on pose : sur les deux parois verticales

2 2 , 0 _∗ ∗ ∗ ∂ ψ ∂ − = ω x j , 2 2 , _∗ ∗ ∗ ∂ ψ ∂ − = ω x j L (1.15)

(18)

et sur les deux parois adiabatiques horizontales 2 2 0 , _∗ ∗ ∗ ∂ ψ ∂ − = ω y i , 2 2 , _∗ ∗ ∗ ∂ ψ ∂ − = ω y L i (1.16)

I.6. Adimensionnalisation des équations

En prenant respectivement L, a/L et (Th – Tc) comme longueur, vitesse et température de références, on déduit les quantités sans dimensions suivantes :

      − − = ω = ω ψ = ψ = = = = = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ c h c T T T T T a L a a L v v a L u u L a t t L y y L x x 2 2 (1.17)

En injectant ces quantités dans les équations de transfert de quantité de mouvement et de la chaleur, ainsi que dans les équations reflétant les conditions initiales et aux limites, on déduit le système d’équations sans dimensions suivant :

I.6.1. Equations de transfert

Equation de la chaleur       ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 y T x T y T v x T u t T (1.18) ou sa forme conservative [1, 11] 0 =       ∂ ∂ − ∂ ∂ +       ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ y T vT y x T uT x t T (1.19) Equation de la vorticité       ∂ ω ∂ + ∂ ω ∂ + ∂ ∂ ⋅ = ∂ ω ∂ + ∂ ω ∂ + ∂ ω ∂ 2 2 2 2 Pr Pr y x x T Ra y v x u t (1.20) ou sa forme conservative [1, 11] x T Ra y v y x u x t ∂ ∂ ⋅ =       ∂ ω ∂ − ω ∂ ∂ +       ∂ ω ∂ − ω ∂ ∂ + ∂ ω ∂ Pr Pr Pr (1.21)

Deux groupements sans dimensions apparaissent : le nombre de Prandtl Pr et le nombre de Rayleigh Ra. Nous verrons plus loin, que le nombre de Rayleigh en tant

(19)

que paramètre de contrôle de notre système permet la classification des différents états d’écoulement, générés par les mouvements convectifs : état stationnaire, état oscillatoire à une seule fréquence, état quasi-périodique et état chaotique.

Equation des courants

ω − =       ∂ ψ ∂ + ∂ ψ ∂ 2 2 2 2 y x (1.22)

Equations des composantes de la vitesse

y u ∂ ψ ∂ = et x v ∂ ψ ∂ − = (1.23)

I.6.2. Conditions initiales et aux limites

Pour la température sur les frontières du domaine physique

             = = = = =    < ≤ = ≤ < = =    ≤ < = < ≤ = = 2 / 1 1 2 / 1 0 pour 2 / 1 2 / 1 0 et 1 1 2 / 1 et 0 pour 0 1 2 / 1 et 1 2 / 1 0 et 0 pour 1 y x y x T y x y x T y x y x T (1.24) et partout ailleurs : 2 / 1 = T à l’instant initial (1.25)

Concernant cette dernière équation et dans le but d’étudier la sensibilité des solutions de notre système aux conditions initiales, nous procédons à un changement relativement infinitésimale de cette valeur en lui rajoutant ou en lui retranchant une quantité égale à 10-8.

Alors que pour les parois adiabatiques :

0 1 , 0 = ∂ ∂ = y y T (1.26)

Pour la vorticité sur ces même frontières nous avons : sur les deux parois verticales

(20)

2 2 , 1 x j ∂ ψ ∂ − = ω , ₂ 2 , x j n ∂ ψ ∂ − = ω (1.27) et sur les deux parois horizontales

2 2 1 , y i ∂ ψ ∂ − = ω , ₂ 2 , y m i ∂ ψ ∂ − = ω (1.28)

I.7. Transfert de chaleur

Les transferts de chaleur par convection, sont caractérisés par le paramètre sans dimensions : le nombre de Nusselt. Ce nombre compare un flux de chaleur convectif à un flux de chaleur conductif de référence :

conduction convection

Q Q

Nu = (1.29) comme dans [01], les flux de chaleur conducto-convectif à travers les parois adiabatiques sont nuls, donc :

0 ) ( 0 = ∂ ∂ λ − ρ =

∫

l p convection dx y T vT c Q (1.30)

reste uniquement les flux de chaleur horizontaux, dont l’expression générale est :

∫

ρ −λ∂_∂ = l p convection dy x T uT c Q 0 ) ( (1.31)

et l’expression sans dimensions du nombre de Nusselt est alors [18]:

dy x T uT Nu x y y

∫

      ∂ ∂ − = 2 1 (1.32) où x x T uT       ∂ ∂

− est un terme sans dimension, représentant le flux de chaleur net

qui passe par un plan vertical d’abscisse x. Pour notre cas on prend : Sur la paroi chaude à la station x = 0, on prend y1 = 0 et y2 = 1/2. Sur la paroi froide à la station x = 0, on prend y1 = 1/2 et y2 = 1. Sur la paroi froide à la station x = 1, on prend y1 = 0 et y2 = 1/2. Sur la paroi chaude à la station x = 1, on prend y1 = 1/2 et y2 = 1.

(21)

Chapitre II

ANALYSE NUMERIQUE

II.1. Choix du maillage

Nous avons choisi un maillage rectangulaire uniforme de nxm nœuds dans tout l’espace physique. Le nœud (1,1) se trouve à l’origine des coordonnées, alors que le nœud (n,m) est de coordonnées (1,1).

Figure 2.1

Maillage du domaine physique

Nous avons choisi la hauteur de l’enceinte comme grandeur de référence, pour l’adimensionnalisation des équations de transfert. L’enceinte est donc un carré de coté unité. Les pas d’espaces suivant les axes x et y sont donnés par :

1 1 − = ∆ n x et 1 1 − = ∆ m y (2.1) la position x est repérée par l’équation :

1 2 3 4 m m-1 m-2 n-2 n-1 n (n,m) 3 2 1 i-1 i i+1 j+1 j j-1 0 1/2 1 x 0 1/2 1 y g u v

(22)

( )

i x

x= −1∆ (2.2) et la position y par l’équation :

(

j

)

y

y= −1∆ (2.3) le pas de temps est choisi de façon uniforme, de sorte que l’instant t est repéré par l’équation :

t k

t = ∆ k entier ou demi entier (2.4)

II.2. Formulation algébrique

II.2.1. Discrétisation de l’équation de la chaleur (ADI-Method)

Premier demi pas de temps

k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i T y y v T y t T y y v T x x u T x t T x x u 1 , 2 1 , , 2 1 , 2 1 , 2 / 1 , 1 2 , 1 2 / 1 , 2 2 / 1 , 1 2 , 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 + + − − + + + + + − −         ∆ − ∆ +       ∆ + ∆ − +         ∆ + ∆ − =         ∆ + ∆ − +     ∆ + ∆ −         ∆ + ∆ (2.5)

Second demi pas de temps

2 / 1 , 1 2 , 1 2 / 1 , 2 2 / 1 , 1 2 , 1 1 1 , 2 1 , 1 , 2 1 1 , 2 1 , 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 + + + + + − − + + + + + − −         ∆ − ∆ +     ∆ + ∆ − +         ∆ + ∆ − =         ∆ + ∆ − +       ∆ + ∆ −         ∆ + ∆ k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i T x x u T x t T x x u T y y v T y t T y y v (2.6)

II.2.2. Discrétisation de l’équation de la vorticité (ADI-Method)

Premier demi pas de temps

        ∆ − ⋅ − ω         ∆ − ∆ + ω       ∆ + ∆ − + ω         ∆ + ∆ − = ω         ∆ + ∆ − + ω     ∆ + ∆ − ω         ∆ + ∆ + − + + + + − − + + + + + − − x T T Ra y y v y t y y v x x u x t x x u k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i 2 Pr Pr 2 Pr 2 2 Pr 2 Pr 2 Pr 2 2 Pr 2 2 / 1 , 1 2 / 1 , 1 1 , 2 1 , , 2 1 , 2 1 , 2 / 1 , 1 2 , 1 2 / 1 , 2 2 / 1 , 1 2 , 1 (2.7)

(23)

Second demi pas de temps         ∆ − ⋅ − ω         ∆ − ∆ + ω     ∆ + ∆ − + ω         ∆ + ∆ − = ω         ∆ + ∆ − + ω       ∆ + ∆ − ω         ∆ + ∆ + − + + + + + + + − − + + + + + − − x T T Ra x x u x t x x u y y v y t y y v k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i 2 Pr Pr 2 Pr 2 2 Pr 2 Pr 2 Pr 2 2 Pr 2 2 / 1 , 1 2 / 1 , 1 2 / 1 , 1 2 , 1 2 / 1 , 2 2 / 1 , 1 2 , 1 1 1 , 2 1 , 1 , 2 1 1 , 2 1 , (2.8)

II.2.3. Discrétisation de l’équation de la fonction de courant (SOR-Method)

    ω ∆ + ψ               ∆ ∆ + − ψ       ∆ ∆     + ψ       ∆ ∆ + ψ + ψ               ∆ ∆ + γ + ψ = ψ + − + + − + + j i P j i P j i P j i P j i P j i P j i P j i x y x y x y x y x , 2 , 2 1 1 , 2 1 , 2 1 , 1 , 1 2 , 1 , 1 2 1 2 (2.9)

II.2.4. Discrétisation des composantes de la vitesse

y u k j i k j i k j i ∆ ψ − ψ = + − 2 1 , 1 , , (2.10) x v k j i k j i k j i _∆ ψ − ψ − = + − 2 , 1 , 1 , (2.11)

II.2.5. Discrétisation des conditions initiales et aux limites

Concernant le champ des vitesses :

        ∀ = ∀ = ∀ = = = = ∀ = = = = j i v j i u k j i v v v v k j i u u u u j i j i k m i k i k j n k j k m i k i k j n k j , 0 , 0 , , 0 , , 0 0 , 0 , , 1 , , , 1 , 1 , , , 1 (2.12)

(24)

(

) (

)

                = − = =       ₌ + ₊ =       ₌ + ₋ =       ₌ + ₊ =       + ₋ = = m j n i pour T quelconque k m m j T quelconque k m j T quelconque k m m j T quelconque k m j T j i k j n k j n k j k j , 1 , 1 , 2 2 1 , , 1 2 1 1 , 1 2 1 , 1 0 , , 1 2 1 0 , 1 2 1 , 1 1 0 , , , , 1 , 1 (2.13)

Concernant la température sur les parois adiabatiques :

      − = − = − − 3 4 3 4 2 , 1 , , 3 , 2 , 1 , k m i k m i k m i k i k i k i T T T T T T (2.14)

Concernant la fonction de courant :

    ∀ = ψ ∀ = ψ = ψ = ψ = ψ j i k j i j i k m i k i k j n k j , 0 , , 0 0 , , 1 , , , 1 (2.15)

II.2.6. La vorticité sur les frontières

L’approximation de la vorticité sur les frontières du domaine, est obtenue par un développement de la fonction de courant en série de Taylor près des parois et à partir des équations (1.26) et (1.27).

Kuskova [13] a proposé la formule à trois points suivante :

[

]

( )

2 2 1 2 7 8 2 1 n O n w w w w ψ − ψ +ψ + ∆ ∆ = ω ₊ ₊ (2.16)

Indépendamment de l’orientation de la paroi. n

∆ ⊥ à la paroi, l’indice w désigne la paroi.

(25)

[

]

[

]

[

]

[

]

            ψ + ψ − ψ ∆ = ω ψ + ψ − ψ ∆ = ω ψ + ψ − ψ ∆ = ω ψ + ψ − ψ ∆ = ω − − − − 2 , 1 , , 2 , 3 , 2 , 1 , 2 1 , , 2 , 1 , 2 , , 3 , 2 , 1 2 , 1 8 7 2 1 8 7 2 1 8 7 2 1 8 7 2 1 m i m i m i m i i i i i j n j n j n j n j j j j y y x x (2.17)

Une autre formule plus stable, a été proposée par Woods [12]:

(

)

_{( )}

2 1 2 1 2 1 3 n O n w w w w + ω + ∆ ∆ ψ − ψ − = ω + ₊ _(2.18)

II.2.7. Le nombre de Nusselt

La conservation de l’énergie impose une égalité à tout instant des nombres de Nusselt moyens calculés sur les parois chaudes et froides :

(

Nu_h

)

_x₌₀ +

(

Nu_h

)

_x₌₁ =

(

Nu_c

)

_x₌₀ +

(

Nu_c

)

_x₌₁ (2.19) L’intégrale (1.32) est évaluée suivant la méthode d’intégration de Simpson ou celle des trapèzes. Notons que les vitesses sur ces parois sont nulles.

Sur la partie chaude de la paroi en x = 0 ; dy x T Nu_h 0 2 / 1 0

∫

      ∂ ∂ − = (2.20)

Sur la partie chaude de la paroi en x = 1 ; dy x T Nu_h 1 1 2 / 1

∫

      ∂ ∂ − = (2.21)

Sur la partie froide de la paroi en x = 0 ; dy x T Nu_c 0 1 2 / 1

∫

      ∂ ∂ − = (2.22)

Sur la partie froide de la paroi en x = 1 ; dy x T Nu_c 1 2 / 1 0

∫

      ∂ ∂ − = (2.23) Le terme x T ∂ ∂

est évalué en utilisant une formule de Taylor à trois points, avec une précision d’ordre 2, donnée par :

(26)

x T T T x T j j j x ∆ + − − =       ∂ ∂ = 2 4 3 ₁_, ₂_, ₃_, 0 (2.24)

ou une formule de Taylor à deux points, précise à l’ordre un, dans le cas d’un gradient de température relativement important :

x T T x T j j x ∆ − =       ∂ ∂ = , 1 , 2 0 (2.25)

II.3. Procédure numérique

II.3.1. Organigramme des calculs

Les solutions numériques recherchées ont été obtenues à l’aide d’un schéma aux différences finies : différences finies centrées pour l’approximation des dérivées spatiales et des différences finies progressives (en avant) pour les dérivées temporelles. La procédure générale de résolution est la suivante :

1. Première itération :

9 nous supposons connus à l’instant initial le champ de température, de vorticité et de vitesse ainsi que les conditions sur les frontières. 9 Nous résolvons l’équation de la chaleur, en supposant le champ des

vitesses constant durant le pas de temps considéré. Ce qui donne une première estimation du champ de température.

9 Nous résolvons l’équation de la vorticité, en supposant le gradient de température et le champ des vitesses constants. Nous avons donc une première estimation de la vorticité à l’intérieur du domaine.

9 La résolution de l’équation de continuité donne la fonction de courant en chaque nœud du domaine. Nous pouvons estimer alors les valeurs de la vorticité sur les frontières ainsi que le champ des vitesses.

9 A ce niveau, nous remplaçons les valeurs numériques des vitesses par leurs moyennes arithmétiques calculées à cet instant ∆t et données au début de l’itération.

2. Seconde itération :

9 Nous répétons les cinq étapes précédentes en injectant les nouvelles valeurs estimées des vitesses. A la fin de la cinquième étape, nous avons une nouvelle approximation des champs de température et de vorticité.

9 Nous appliquons le test de convergence :

5 , 1 , , , 1 , 10− + + ≤ Φ Φ − Φ

∑

j i p j i j i p j i p j i Max

(27)

où Max définit la valeur maximale dans cette expression quand on remplaceΦ par T ou ω successivement et p l’incrément.

9 Si le test de convergence est satisfaisant, on arrête le processus itératif et on commence un nouveau pas de temps avec les nouvelles conditions sur les champs de température et de vorticité calculés au pas de temps antérieur.

II.3.2. Validation du code de calcul

Dans une première étape nous allons exposer les solutions du problème de Davis [19], où il considère la même enceinte parallélépipédique allongée suivant un axe donné et de coupe carrée. Les deux parois verticales sont différentiellement chauffées alors que les parois horizontales sont isolées. Nous avons appliqué notre code de calcul à ce système avec les mêmes conditions de Davis. La concordance de nos calculs avec ceux de Davis est jugée satisfaisante et l’écart relatif maximal (la différence entre nos résultats et ceux de Davis relativement à ceux de Davis) dans tous les cas n’atteint pas 1%. Les tableaux 2.1-2.4, résument toutes les données des solutions stationnaires. Noter, que l’amélioration des résultats numériques, quand on raffine le maillage n’est pas sans effets sur les temps de calcul jugés exorbitants. Dans tous les cas l’amélioration ne dépasse pas 0.9%.

Dans ces tableaux ψmid est la valeur de la fonction de courant au milieu de l’enceinte, ψmin est la valeur minimale de la fonction de courant avec sa localisation

(x,y) dans le plan de coupe. umax et vmax : les valeurs maximales des vitesses

horizontale et verticale sur les deux plans de coupe en x = 1/2 et en y = 1/2 et leur localisation y et x respective. Numoy: la valeur moyenne du nombre de Nusselt à travers la cavité, Nu1/2 : le nombre de Nusselt moyen au milieu de l’enceinte en

x = 1/2 et NuAB : le nombre de Nusselt moyen à travers la paroi chaude. Sur les

figures 3.3-3.7 nous avons tracé les lignes équipotentielles des différentes grandeurs physiques. La concordance topologique est jugée très satisfaisante et les écarts sont inférieurs à 1%.

(28)

Tableau 2.1

Solutions pour le problème de Davis [19] relatives à un nombre de Rayleigh égale à 103, par l’utilisation de notre code de calcul

Notre code Davis [19] 51x51 et 10-4 Ecart relatif 61x71 et 9.10 -5 Ecart relatif Ψmid -1.174 -1.174 0% -1.174 0% umax y 3.649 0.813 3.634 0.818 -0.8% 3.644 0.814 -0.14% vmax x 3.697 0.178 3.685 0.180 -0.6% 3.688 0.183 -0.2% Numoy 1.118 1.118 0% 1.117 -0.09% Nu1/2 1.118 1.117 -0.09% 1.118 0% Ra = 103 NuAB 1.117 1.118 +0.09% 1.118 +0.09% Tableau 2.2

Notre code Davis [19] 51x51 et 3 10-5 Ecart relatif 71x81 et 9.10 -5 Ecart relatif Ψmid -5.071 -5.071 -5.071 0% umax y 16.178 0.823 16.119 -0.8% 16.154 0.825 -0.15% vmax x 19.617 0.119 19.503 -0.6% 19.540 0.114 -0.4% Numoy 2.243 2.241 -0.09% 2.243 0% Nu1/2 2.243 2.237 -0.3% 2.241 -0.09% Ra = 104 NuAB 2.238 2.254 +0.7% 2.246 +0.4%

(29)

La seconde étape est aussi une validation numérique avec les travaux de Samuels et Churchill [30] et qui concerne la stabilité des fluides dans un domaine rectangulaire chauffé par le bas. L’enceinte considérée, figure 2.2, est un parallélépipède allongé de coupe rectangulaire, de largeur L et de hauteur H (le facteur de forme L/H prend les valeurs 1, 2 et 3). Le fluide considéré possède un nombre de Prandtl Pr = 1, et un nombre de Grashof basé sur la hauteur de la cavité Gr = 1400, 3000 et 10000.

Les deux parois verticales sont adiabatiques, alors que la paroi inférieure est maintenue chaude et la paroi supérieure froide. Les conditions initiales et aux limites sont de telles sorte que :

Sur la paroi chaude en y = 0, T(x,0,t) = Th Sur la paroi froide en y = H, T(x,H,t) = Tc

Et partout ailleurs à l’instant initial,

T(x,y,0) = Th + y/H ( Tc – Th ).

Afin d’avoir la même configuration géométrique que celle de Samuels et Churchill, une rotation de 90° par rapport à l’origine de la figure 1, avec dans notre cas L = 1 et H = 1 ou 3 est nécessaire. Les conditions initiales et aux limites adoptées sur les températures sont :

T(0,y,t) = 1, T(L,y,t) = -1 et T(x,y,0) = 1 – 2 x

Nous avons considéré un maillage de 31 nœuds suivant l’axe x et 71 nœuds suivant l’axe y et un pas de temps de 10-4. Pour le démarrage des calculs, une perturbation numérique est nécessaire (rotation de 90°±0.01°). L’examen des figures 2.8-2.9 montre qu’il existe un bon accord entre les résultats du point de vue topologique. Notons qu’il est possible d’inverser le sens de rotation des courants de convection sans rien changer aux propriétés géométriques et dynamiques du fluide en mouvement.

Dans le cas d’une solution transitoire, notre code de calcul a été testé avec les travaux de Skouta, Randriazanamparany et Daguenet [56-57] ; il s’agit d’une enceinte parallélépipèdique de grand axe horizontal et de coupe carrée, inclinée eu égard au plan horizontal, chauffée par deux cotés opposés et refroidie par les deux autres. Les solutions en termes de fréquences, voir tableau 2.5, pour les différents régimes observés s’écartent peu des solutions données par [56-57], sauf dans le cas du paramètre Ra = 6 105, où nous avons enregistré un écart de 6%.

(30)

Tableau 2.3

Notre code Davis [19] 61x61 et 4 10-5 Ecart relatif 91x101 et 5.10 -5 Ecart relatif Ψmid -9.111 -9.134 +0.3% -9.120 +0.2% Ψmin x y -9.612 0.285 0.601 -9.620 0.400 0.711 +0.08% umax y 34.73 0.855 34.61 -0.8% 34.66 0.850 -0.2% vmax x 68.59 0.066 67.76 -0.6% 68.23 0.067 -0.5% Numoy 4.519 4.515 -0.09% 4.518 -0.02% Nu1/2 4.519 4.517 -0.09% 4.519 0% Ra = 105 NuAB 4.509 4.568 +0.09% 4.523 +0.3% Tableau 2.4

Notre code Davis [19] 71x71 et 3 10-5 Ecart relatif 101x101 et 10 -5 Ecart relatif Ψmid -16.32 -16.52 +1.2% -16.457 +0.8% Ψmin x y -16.750 0.547 0.151 -16.869 0.850 0.450 +0.7% umax y 64.63 0.850 64.57 -0.8% 64.75 0.850 +0.19% vmax x 219.36 0.0379 213.53 -0.6% 217.38 0.040 -0.9% Numoy 8.800 8.826 +0.3% 8.825 +0.3% Nu1/2 8.799 8.846 -0.09% 8.841 +0.5% Ra = 106 NuAB 8.817 9.088 +0.09% 8.814 -0.03%

(31)

Tableau 2.5

Solutions transitoires comparées en terme de fréquence fondamentale issues des références [56-57] et de l’utilisation de notre code de calcul,

pour différents nombres de Rayleigh

Rax10-6 0,2 0,3 0,6 1,0

nxm 71x71 81x81 81x81 81x81

∆t 2 10-5 2 10-5 2 10-5 2 10-5

NP* 8192 8192 8192 8192

Présent code

(Méthode des differences finies)

f0 17,1 19,5 31,7 46,4 nxm 60x60 60x60 60x60 ∆t 10-5 10-5 10-5 M. A. Randriazanamparany [57] Schéma QUICK f0 19,2 33,8 46,0 nxm 91x91 91x91 91x91 91x91 ∆t 2 10-5 2 10-5 2 10-5 2 10-5 A. Skouta [56] (Méthode des differences finies)

f0 17,2 19,5 33,0 45,8

Ecart relatif maximal

(présent code – Ref)/Ref - 6 ‰ + 1,5 % -6,2 % +1,3 %

*

NP : nombre de points du signal considéré dans l’analyse spectrale

Figure 2.2

(32)

Début Initialisation de v u T ω ψ Calcul de la distribution de T Calcul de la distribution de ω 1 = p Calcul de la distribution de ψ

Evaluation du nouveau Champs des vitesses

1 = p Oui 1 + = p p 5 , 1 , , , 1 , 10− + + ≤ Φ Φ − Φ

∑

j i p j i j i p j i p j i Max Non 0 = k 1 + = k k 1 + = p p 6 , 1 , , , , , 1 , , 2 1 10 − + + = Φ ≤ Φ − Φ

∑

j i k s j i j i k s j i k s j i s Max Calcul du nombre de Nusselt

Calcul de la distribution de ωsur les frontières

Oui

Oui Non

Non

Fin

(33)

Ra = 103 Ra = 104

Ra = 105 Ra = 106

Figure 2.3a

Lignes isothermes issues de notre code de calcul

Nota : Les valeurs des contours commence de 0 sur la paroi de droite à 1 sur la paroi de gauche avec un incrément de 0,1 dans chaque cas. Ce qui est repéré par ( 0 : 1 : 0,1 ).

(34)

Figure 2.3b Référence [19]

Lignes isothermes Ra = 103, 104, 105, 106

(35)

Ra = 103 Ra = 104

Contours à ( -1,174 : 0 : 0,1174 ) Contours à ( -5,071 : 0 : 0,5071 )

Ra = 105 Ra = 106

Contours à ( -9,507 ; -8,646 : 0 : 0,9607 ) Contours à ( -16,27 ; -15,07 : 0 : 1,675 )

Figure 2.4a

Lignes iso-courants issues de notre code de calcul

(36)

Lignes de courant Ra = 103, 104, 105, 106

(37)

Ra = 103 Ra = 104

Contours à ( -32,01 : 51,27 : 8,328 ) Contours à ( -124,8 : 426,9 : 55,17 )

Ra = 105 Ra = 106

Contours à ( -600,0 : 2626 : 322,6 ) Contours à ( -3178,39 : 15293 : 1847,1 )

Figure 2.5a

(38)

Lignes d’égale vorticité Ra = 103, 104, 105, 106

(39)

Ra = 103 Ra = 104

Ra = 105 Ra = 106

Figure 2.6a

(40)

Lignes d’égale vitesse u suivant l’axe x Ra = 103, 104, 105, 106 Les valeurs des contours correspondants sont ceux de la figure 2.6a

(41)

Ra = 103 Ra = 104

Ra = 105 Ra = 106

Figure 2.7a

(42)

Lignes d’égale vitesse v suivant l’axe y Ra = 103, 104, 105, 106 Les valeurs des contours correspondants sont ceux de la figure 2.7a

(43)

Gr = 1400, Pr = 1, L/H = 1 Gr = 10000, Pr = 1, L/H = 1 Isothermes à (-1 : 1 : 0,2) Isothermes à (-1 : 1 : 0,2)

Gr = 1400, Pr = 1, L/H = 1 Gr = 10000, Pr = 1, L/H = 1 Contours voir tableau suivant Isocourants à (-10,8 : 0 : 1,8)

Figure 2.8a

Résultats issus de notre code de calcul

(44)

Les valeurs indiquées correspondent à ceux de la figure 2.8a

colonne de gauche Isothermes et isocourants

L/H = 1, Pr = 1 et Gr =1400

colonne de droite Isothermes et isocourants

(45)

Erreur !

Isothermes à (-1 : 1 : 0,2)

Isocourants à (-5,9 : 6,0 : 1,2)

Figure 2.9a

Résultats issus de notre code de calcul L/H = 3, Pr = 1 et Gr = 3000

(46)

Les valeurs indiquées correspondent à ceux de la figure 2.9a Isothermes et isocourants, pour L/H = 3, Pr = 1 et Gr = 3000

(47)

Chapitre III

TRANSITION VERS LE CHAOS

III.1. Exploration de la route vers le chaos

Il est bien connu, que pour un nombre de Rayleigh relativement faible, la convection naturelle est laminaire aussi bien pour les écoulements internes qu’externes. Pour les ordres de grandeur, la nature du fluide et la géométrie des obstacles rencontrés sont determinants. Alors que pour des valeurs relativement grandes, l’écoulement devient turbulent. La transition du régime laminaire au régime turbulent se fait selon différents scénarios.

L’un des scénarios que nous avons observé, est la quasi-périodicité. Rappelons qu’un régime quasi-périodique possède plusieurs féquences de base. A partir d’un nombre de Rayleigh critique (ici en tant que paramètre de contrôle), l’écoulement devient instable du fait de la présence de termes non linéaires dans les équations du modèle mathématique.

Une bifurcation de Hopf [4] sous critique a été observée, la solution cycle limite stable est alors à une distance finie de la solution instable. Il s’agit d’une trajectoire fermée dans un plan de phase, appelée attracteur. En continuant d’augmenter progressivement le paramètre de contrôle, une deuxième bifurcation de Hopf, cette fois ci super critique fait passer le système d’une solution cycle limite stable vers la solution quasi-périodique à deux fréquences incommensurables (le rapport des deux fréquences est un irrationnel). L’attracteur dans ce cas est un tore T2 (voir annexe A2.2.3, pour plus de détails), que l’on peut observer dans un espace de phase à trois dimensions.

En continuant d’augmenter le paramètre de contrôle et à cause du phénomène d’accrochage des fréquences, dont le rapport devient rationnel, on observe une succession de régimes périodiques et quasi-périodiques.

Avant l’achèvement du scénario vers le chaos, le système peut acquérir une troisième fréquence, c’est l’attracteur tore T3, que l’on peut tracer dans un espace à quatre dimensions.

Toutes les étapes observées sont mentionnées dans le tableau 3.1.

III. 1. 1. Paramètres de calculs et paramètre de contrôle

Des tests sur la stabilité des solutions numériques ont été effectués en procédant : 9 soit à un bilan d’énergie, s’il s’agit d’une solution stationnaire.

9 soit à un calcul des fréquences présentes dans le signal de l’une des grandeurs physiques au moyen de la FFT, s’il s’agit d’une solution transitoire établie.

(48)

Quand on raffine le maillage au-delà d'une valeur limite, nous avons constaté une faible amélioration des résultats numériques (de l’ordre de 2%), par conséquent, dans les deux cas, il était plus que nécessaire d’adopter des temps de calcul raisonnables.

Le tableau 3.2, met en évidence l’influence du maillage pour un pas de temps ∆t = 3 10-5

sur les signaux temporels de NuAB+EF et NuBC+DE. La figure 3.1 illustre le même phénomène.

Le tableau 3.3, met en évidence l’influence du pas de temps pour un maillage de 91x91 sur ces mêmes signaux. La figure 3.2 illustre le même phénomène.

Nous avons adopté comme paramètres de calculs, pour les solutions stationnaires un maillage de 91x91 et un pas de temps de 4 10-5.

Le paramètre de contrôle étant fixé à 5 106, le tableau 3.4, met en évidence l’influence du maillage pour un pas de temps ∆t = 2 10-5

sur le signal temporel de la fonction de courant au milieu de l’enceinte ψmid. La représentation fréquentielle de ce signal, montre un pic fondamental suivi de ces harmoniques. La solution est périodique (attracteur cycle limite).

Le tableau 3.5, met en évidence l’influence du pas de temps pour un maillage de 111x111 sur ce même signal. Nous en concluons, qu’un maillage de 111x111 et un pas de temps de 10-5 est un choix optimal, pour les solutions instationnaires, dans le cas d’un nombre de Rayleigh aux alentours de 5 106.

Le cas d’une solution quasi-périodique à deux fréquences incommensurables est illustré sur les tableaux 3.6 et 3.7, où le paramètre de contrôle est fixé à 107. Un maillage de 141x141 et un pas de temps adimensionnel de 2 10-6 s’est avéré un bon choix optimal même pour les valeurs voisines et supérieures à 107. Cependant, la nature des solutions observées est globalement indépendante du choix des paramètres de calculs. Et ceci, pour chaque valeur du paramètre de contrôle. Ainsi opter pour des paramètres fixes sur un domaine d’investigation du paramètre de contrôle est sans effets sur la nature des solutions.

(49)

TABLEAU 3.1

Résultats de l’analyse spectrale des signaux Tmid – 0,5 et ψmid

et séquences de bifurcations pour Ra compris entre 2,20.106 et 30,00.106

Nombre adimensionnel

de Rayleigh : Ra x 10-6

Fréquences : (f1 est la plus énergétique)

Observations Nature du régime : S : stationnaire P : périodique QP : quasi périodique A : attracteur étrange 2,20 Stationnaire

_S

2,27-2,28 f1 = 117,8 + harmoniques de rangs impaires 2,29 Idem avec f1 = 118,1 2,30-2,31 Idem avec f1 = 118,4 2,32-2,33 Idem avec f1 = 119,0 2,34-2,35 Idem avec f1 = 119,6 2,37 Idem avec f1 = 120,2 3,00 Idem avec f1 = 134,3 4,00 Idem avec f1 = 156,3 4,10 Idem avec f1 = 158,1 4,20 Idem avec f1 = 159,9 Cycle limite

_P

4,26 Nombre de Rayleigh critique, correspondant à une bifurcation de Hopf sous critique 4,40 f1 = 161,1 + harmoniques de rangs impaires 4,50 Idem avec f1 = 163,0 5,00 Idem avec f1 = 170,9 6,00 Idem avec f1 = 186,2 7,00 Idem avec f1 = 201,4 8,00 Idem avec f1 = 213,6 9,00 Idem avec f1 = 227,4 9,20 Idem avec f1 = 228,9 9,40 Idem avec f1 = 231,9 9,60 – 9,81 Idem avec f1 = 235,0 Cycle limite

_P

(50)

Zone de transition cycle limite stable-tore T2 (Stabilité marginale) 9,82 f1 = 236,5 ; f2 = 87,0 + les harmoniques : 2f1 – f2 , 2f1 + f2 , 3f1 , 4f1 – f2 , 4f1 + f2 , 5f1 ,… 9,83 Idem 9,84 Idem 9,87 Idem Bifurcation de Hopf super critique

QP

(f1/f2 invariable) 9,90 Idem avec f1 = 238,0 ; f2 = 87,0 f1 / f2 ~ 2,7367…

QP

(f1/f2 irrationnel) 9,91 – 9,94 Idem avec f1 = 238,0 ; f2 = 85,5 f1 / f2 ~ 25/9 9,98 Idem avec f1 = 238,0 ; f2 = 88,5 f1 / f2 ~ 8/3 Accrochage 10,00 Idem avec f1 = 238,0 ; f2 = 87,0 f1 / f2 ~ 2,7367…

QP

(f1/f2 irrationnel)

10,20 Idem avec f1 = 241,1 ; f2 = 87,0 f1 / f2 ~ 11/4 Accrochage

10,30 Idem avec f1 = 242,6 ; f2 = 87,0 f1 / f2 ~ 2,789…

10,40 Idem avec f1 = 242,6 ; f2 = 87,0 f1 / f2 ~ 2,789…

QP

(f1/f2 irrationnel)

11,00 Idem avec f1 = 250,2 ; f2 = 88,5 f1 / f2 ~ 17/6 Accrochage

11,10 Idem avec f1 = 250,2 ; f2 = 90,0 f1 / f2 ~ 2,7795…

QP

(f1/f2 irrationnel) 11,20 Idem avec f1 = 251,8 ; f2 = 91,6 f1 / f2 ~ 11/4 11,30 Idem avec f1 = 253,3 ; f2 = 91,6 f1 / f2 ~ 11/4 11,50 Idem avec f1 = 254,8 ; f2 = 91,6 f1 / f2 ~ 25/9 12,20 Idem avec f1 = 262,5 ; f2 = 97,7 f1 / f2 ~ 8/3 Accrochage 12,50 Idem avec f1 = 265,5 ; f2 = 97,7

+ bruit f1 / f2 ~ 19/7 Début du chaos

(51)

TABLEAU 3.2

Influence du maillage sur les signaux temporels NuAB+EF et NuBC+DE

et évolution de l’écart à la valeur précédente donné par :

[Nu(présent maillage) – Nu(précédent mailllage)]/ Nu(précédent mailllage)

Solution stationnaire

Paramètre de contrôle Ra = 106, Pas de temps ∆t = 3 10-5

Maillage 51x51 61x61 71x71 81x81 91x91 101x101 111x111 121x121 NuAB+EF Ecart relatif 17,59 17,96 2,1% 18,24 1,6% 18,46 1,2% 18,64 1% 18,79 0,8% 18,93 0,7% 19,05 0,6% NuBC+DE Ecart relatif 17,59 17,96 2,1% 18,24 1,6% 18,46 1,2% 18,64 1% 18,79 0,8% 18,93 0,7% 19,05 0,6% TABLEAU 3.3

Influence du pas de temps sur les signaux temporels NuAB+EF et NuBC+DE

et évolution de l’écart à la valeur précédente donné par :

[Nu(présent maillage) – Nu(précédent mailllage)]/ Nu(précédent mailllage)

Solution stationnaire

Paramètre de contrôle Ra = 106, maillage nxm = 91x91

Pas de temps ∆t 10-4 6 10-5 5 10-5 4 10-5 3 10-5 2 10-5 10-5 9 10-6 NuAB+EF Ecart relatif 18,64 18,64 0% 18,64 0% 18,64 0% 18,64 0% 18,64 0% 18,63 -0,05% 18,63 0% NuBC+DE Ecart relatif 18,64 18,64 0% 18,64 0% 18,64 0% 18,64 0% 18,64 0% 18,63 -0,05% 18,63 0%

(52)

0,00 0,04 0 ,08 0,12 0 ,16 12 18 24 30 36 121x121 51x51(10) Nu AB + EF temps Figure 3.1

Variations de NuAB+EF en fonction du temps pour Ra = 106

Influence du maillage pour un pas de temps ∆t = 3 10-5

Maillage de 51x51 à 121x121 avec un pas de 10

0,00 0,04 0,08 0,12 0,16 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 Nu AB+ E F Temps Figure 3.2

Variations de NuAB+EF en fonction du maillage pour Ra = 10

6

(53)

TABLEAU 3.4

Influence du maillage sur le signal temporel de la fonction de courant au milieu de l’enceinte

Solution instationnaire (signal temporelle de ψmid)

Paramètre de contrôle Ra = 5 106, Pas de temps ∆t = 2 10-5

Maillage 51x51 61x61 71x71 81x81 91x91 101x101 111x111 121x121 131x131

Fréquence de base f1

168,5 169,7 169,7 170,9 170,9 170,9 170,9 170,9 170,9

TABLEAU 3.5

Influence du pas de temps sur le signal temporel de la fonction de courant au milieu de l’enceinte

Paramètre de contrôle Ra = 5 106, maillage nxm = 111x111

Pas de temps ∆t 4 10-4 3 10-5 2 10-5 10-5 9 10-6 8 10-6 7 10-6 6 10-6 Fréquence de base f1 172,7 172,9 170,9 170,9 170,9 170,9 170,9 170,9

(54)

TABLEAU 3.6

Influence du maillage sur le signal temporel de la fonction de courant au milieu de l’enceinte

Paramètre de contrôle Ra = 107, Pas de temps ∆t = 8 10-6

Maillage 81x81 91x91 101x101 111x111 121x121 Fréquence de base f1 236,51 237,27 238,04 238,04 238,04 TABLEAU 3.6 suite Maillage 131x131 141x141 151x151 161x161 Fréquence de base f1 238,04 238,04 238,04 238,04 TABLEAU 3.7

Influence du pas de temps sur le signal temporel de la fonction de courant au milieu de l’enceinte

Paramètre de contrôle Ra = 107, maillage nxm = 141x141

Pas de temps ∆t 2 10-5 10-5 9 10-6 8 10-6 7 10-6 6 10-6 5 10-6 4 10-6 Fréquence de base f1 237,42 238,04 238,71 238,04 238,91 238,04 239,25 238,04 TABLEAU 3.7 suite Pas de temps ∆t 3 10-6 2 10-6 10-6 Fréquence de base f1 238,04 238,04 238,04