1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 1
Leçon 8 Inégalités 1. Propriété
b
a, et c sont trois réels
1) a c
c b
b
a
2)
−
−
+
+
a c b c c b c b a
a
3)
c b c a
bc ac c
b a
0
4)
c b c a
bc ac c
b a
0
5) . aba−b0
. aba−b0
6) a2 0
7) a2+b20
8) . a b
b a b a
2 2
0 0
. a b
b a b a
2 2
0 0
2. Application
Exemple 1 : Montrer que :
Pour tout réel a,b,c et d, a c b d d
c b
a + +
Solution
d b c d a
b b c
c b c a d c
b
a + +
+
+
+
+
(propriété 1)
Exemple 2 : Étant donné 3 x 5 1, y 2. Déterminer l’ensemble de définition de x+y et x−y.
Solution
. 3 1 5 2
2 1
5
3 + + +
x y
y
x donc 4x+ y7.
. 3 1 5 2
2 1
5
3 − − −
x y
y
x donc 1 − x y 4.
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 2
Exemple 3 : Montrer que : 0 .
1 1
a b
a b
a b
+ +
Solution
On a : (1 ) (1 )
1 1 (1 )(1 ) (1 )(1 )
a b a b b a a b
a b= a b a b
+ − + −
− =
+ + + + + +
Or a b 0 a - b0, 1+ a 0, 1+ b 0
Donc 0
1 1 (1 )(1 ) 1 1
a b a b a b
- =
a b a b a b
−
+ + + + + +
Exemple 4 : Montrer que : x, y, x + y2 22xy.
Solution
On a : (x + y2 2) 2- xy = x( −y)2 0 x + y2 22xy.
Exeple 5 : Montrer que a,b,x, y,
(
a2+b2)(
x2+y2)
(ax+by)2. SolutionOn a :
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( )( ) ( )
( ) ( 2 )
a b x y ax by
a x a y b x b y a x abxy b y
+ + − + =
= + + + − + +
2 2 2 2
2
2
( ) 0
a y abxy b x ay bx
= − +
= −
2 2 2 2
2
2
( ) 0
a y abxy b x ay bx
= − +
= −
2 2 2 2 2
(a b )(x + y ) (ax by .)
+ +
Exemple 6 : Montrer que x, y, x2+y2+2x−4y+50
Solution On a :
2 2 2 2
2 2
2 4 5 ( 1) ( 2) 1 4 5
( 1) ( 2) 0
x + y x y x y
x y
+ − + = + + − − − +
= + + −
2 2
2 4 5 0
x + y x y .
+ − +
Exemple 7 : Montrer que xy+ +1 x y, pour x1 et y1.
Solution
On a : (xy+ − +1) (x y)=xy− − + =x y 1 x y( − − − = −1) (y 1) (x 1)(y−1).
Or x1 et y1, donc x− 1 0 et y− 1 0. On obtient donc (x−1)(y− 1) 0 xy+ +1 x y.
Exemple 8 : Montrer que 2(a+b) a+ b pour a0 et b0.
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 3
Solution
On a :
(
2(a b+ )) (
2− a+ b)
2 =(2a+2 ) (b − +a 2 a b+b)( )
22
0
a a b b
a b
= − +
= −
(
2(a b)) (
2 a b)
2 + +
Puisque 2(a+b)0 et a+ b0, donc 2(a b+ ) a+ b . Exemple 9 : Montrer que a + b a + b .
Solution
On a :
(
a + b)
2- a +b = a2(
2+2a b +b2)
− +(a b)2=(a2+2ab +b2) (− a2+2ab b+ 2
( )
2 ab ab 0
= − ຍ້ອນ ab ab
( )
.
2 2
a + b a +b a + b a +b
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 4
Exercices 1. Montrer les inégalités suivantes.
1) a b 0,c d 0 acbd.
2) ab c, d ac bd+ ad+bc.
3) a b c d ab cd+ ac bd+ .
4) a2+b2ab.
5) x2− + x 1 0.
6) x2+4xy+5y20.
7) ab x, + +y 0 (a b x)( −y)2(ax by− ).
8) a2+ + b2 c2 ab bc ca+ + .
9) a2+ +b2 4c2ab−2bc−2 .ca
10) a b 0 a b− a− b.
11) a − −b a b.
12) a b− a + b.
13) a− − + −c a b b c.
14) a+ + b c a + +b c.
2. Déterminer l’ensemble de définition de l’expression x+y et 2x−3y tel que 0 x 3, − 2 y 1.
