Leçon 8 Inégalités 1.

1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 1

Leçon 8 Inégalités 1. Propriété

b

a, et c sont trois réels

1) a c

c b

b

a  









2) _





−



−

+



 +

 a c b c c b c b a

a

3) 









 







c b c a

bc ac c

b a

0

4) 









 







c b c a

bc ac c

b a

0

5) . aba−b0

. aba−b0

6) a² 0

7) a²+b²0

8) . a b

b a b a



 













2 2

0 0

. a b

b a b a



 













2 2

0 0

2. Application

Exemple 1 : Montrer que :

Pour tout réel a,b,c et d, a c b d d

c b

a  +  +









Solution

d b c d a

b b c

c b c a d c

b

a  +  +





+

 +

+



 +







 (propriété 1)

Exemple 2 : Étant donné 3 x 5 1,  y 2. Déterminer l’ensemble de définition de x+y et ^x−y.

Solution

. ^{3 1 5 2}

2 1

5

3  +  +  +











 x y

y

x donc 4x+ y7.

. 3 1 5 2

2 1

5

3  −  −  −











 x y

y

x donc 1 − x y 4.

1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 2

Exemple 3 : Montrer que : 0 .

1 1

a b

a b

a b

   

+ +

Solution

On a : ^{(1 ) (1 )}

1 1 (1 )(1 ) (1 )(1 )

a b a b b a a b

a b= a b a b

+ − + −

− =

+ + + + + +

Or a  b 0 a - b0, 1+ a 0, 1+ b 0

Donc 0

1 1 (1 )(1 ) 1 1

a b a b a b

- =

a b a b a b

−   

+ + + + + +

Exemple 4 : Montrer que : x, y, x + y^{2 2}2xy.

Solution

On a : (x + y^{2 2}) 2- xy = x( −y)² 0 x + y^{2 2}2xy.

Exeple 5 : Montrer que a,b,x, y,

(

)(

)

On a :

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( )( ) ( )

( ) ( 2 )

a b x y ax by

a x a y b x b y a x abxy b y

+ + − + =

= + + + − + +

2 2 2 2

2

2

( ) 0

a y abxy b x ay bx

= − +

= − 

2 2 2 2

2

2

( ) 0

a y abxy b x ay bx

= − +

= − 

2 2 2 2 2

(a b )(x + y ) (ax by .)

 +  +

Exemple 6 : Montrer que x, y, x²+y²+2x−4y+50

Solution On a :

2 2 2 2

2 2

2 4 5 ( 1) ( 2) 1 4 5

( 1) ( 2) 0

x + y x y x y

x y

+ − + = + + − − − +

= + + − 

2 2

2 4 5 0

x + y x y .

 + − + 

Exemple 7 : Montrer que xy+  +1 x y, pour x1 et y1.

Solution

On a : (xy+ − +1) (x y)=xy− − + =x y 1 x y( − − − = −1) (y 1) (x 1)(y−1).

Or x1 et y1, donc x− 1 0 et y− 1 0. On obtient donc (x−1)(y−  1) 0 xy+  +1 x y.

Exemple 8 : Montrer que 2(a+b) a+ b pour a0 et b0.

1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 3

Solution

On a :

(

) (

)

( )

2

0

a a b b

a b

= − +

= − 

(

) (

)

 +  +

Puisque 2(a+b)0 et a+ b0, donc 2(a b+ ) a+ b . Exemple 9 : Montrer que a + b  a + b .

Solution

On a :

(

)

(

)

=(a²+2ab +b²) (− a²+2ab b+ ²

( )

2 ab ab 0

= −  ຍ້ອນ ^{ab ab}

( )

.

2 2

a + b a +b a + b a +b

 

 

1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 4

Exercices 1. Montrer les inégalités suivantes.

1) a b 0,c  d 0 acbd.

2) ab c,  d ac bd+ ad+bc.

3) a   b c d ab cd+ ac bd+ .

4) a²+b²ab.

5) x²− + x 1 0.

6) x²+4xy+5y²0.

7) ab x, +   +y 0 (a b x)( −y)2(ax by− ).

8) a²+ + b² c² ab bc ca+ + .

9) a²+ +b² 4c²ab−2bc−2 .ca

10) a  b 0 a b−  a− b.

11) a −  −b a b.

12) a b−  a + b.

13) a−  − + −c a b b c.

14) a+ + b c a + +b c.

2. Déterminer l’ensemble de définition de l’expression x+y et 2x−3y tel que 0 x 3, −  2 y 1.