1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 1
Leçon 9 Inégalités (suite)
1. Inégalité remarquables 1) Inégalité de Cauchy
b ab b a
a +
+
, 2 ,
Démonstration
0
2 , 2
, + + −
+ a b ab
b ab b a
a
On a :
( ) ( ) ( )
02 2
2
2 2
2
−
=
−
= +
+ − a b a b a b
b ab a
Donc a b ab
b
a +
+
, 2 ,
Si a=b , on obtient une équation.
Généralement
n n
n
n aa a
n a a
a a a
a
1 2 1 2
2
1, , , , + + +
+
Exemple :
Démontrer que : 1 2
, +
+ a a a
On a : a b ab a b a b ab
b
a , , 2
, 2
, + +
+ +
Donc 1 2
1 2
, + =
a a
a a a
On a bien donc 1 2
, +
+ a a a
si a=1, cette inéquation devient une équation.
2) Inégalité de Bunakopsky
( )
2(
2 2)(
2 2)
, , ,
,b x y ax by a b x y
a + + +
Démonstration
a,b,x,y,
(
ax+by)
2 (
a2+b2)(
x2+y2)
(
ax+by)
2 (
a2+b2)(
x2+y2)
(
ax+by)
2−(
a2 +b2)(
x2 +y2)
0On a :
(
ax+by)
2 −(
a2+b2)(
x2+y2)
=( ) ( )
ax 2+ by 2+2abxy−( ) ( ) ( ) ( )
ax 2− ay 2− bx2 − by 2 =2abxy−( ) ( )
ay 2 − bx 2=−
( ) ( )ay 2 + bx 2 +2( )( )
ay bx
(
+)
2 0−
= ay bx
1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 2
On a bien donc a,b,x,y,
(
ax+by)
2 (
a2 +b2)(
x2 +y2)
Si a=b=0, on obtient une équation.
Généralement
a1,a2,,an,b1,b2,,bn
( ) ( )(
22 2)
2 1 2 2
2 2 1 2 2
2 1
1b a b anbn a a an b b bn
a + ++ + ++ + ++
Exemple :
Démontrer que : x,y, 2x+3y 26 tel que x2+y2 =2
On a :
(
2x+3y)
2 (
22+32)(
x2+y2)
(
2x+3y)
2 1322x+3y 26
Exercices
Démontrer les inégalités suivantes.1. 4
, 4 ,
,
, a b c d abcd
d c b
a + + +
+
2. 3
, 3 ,
, a b c abc
c b
a + +
+
3. 1 4 9
,
+
+
+
x x x x
x
4. 3
1
, 4
+ +
+ a a a
5. , , , , 4
+
+
+
d c b a c d a d b
c b a
