Leçon 2 Egalités remarquables

(1)

Leçon 2 Egalités remarquables

Activités Activité I

a b

a+b

€<-+ ab

H

a*b

Activité

2

a+b

a. Calculer

I'aire

de chaque partie du rectangle

ABCD

en

fonction

de a,

b etk.

b. Calculer

I'aire

du rectangle

ABCD

par deux manières différentes.

c. Compléter des

pointilles.

k(

a

+

_{b )}

:...+...

d. Calculer

l'aire

de chaque partie du rectangle EFGH en

fonction

dea,b,cetd.

e. Calculer

I'aire

du rectangle EFGH pàr deux manières differentes.

f.

D'après le calcul dans e.

quelle

égalité obtient-on?

-a. Calculer

I'aire

de chaque partie du carre

ABCD

en

fonction

de

aetb

b. Calculer

l'aire

du carre

ABCD

par deux manières différentes.

c. D'après le calcul dans b.

Quelle

égalité obtient-on?

d. Vérifie

r

I' égalité suivante ^: pour

tout

a _{et b , on}^a:

(a+b)' ₌

a2

+2ab+b'-

B

E

c+d

F

2. Égalités remarquablet | 6

(2)

Activité

3

a. Calculer

I'aire

de chaque partie _{du carre}

ABCD

en fonction de a et b

b.

Calculer

l'aire

du carre

ABCD

par deux manières difËrentes.

c.

D'après le calcul dans b.

quelle égalité obtient-on?

d.

Vérifier l'égalité

suivante:

pour

tout

a et b , on ^a:

(o-b)'

₌a2

-2ab+b2

a. Que remaique-t-on pour les aires de ABCDE.F et de

HIJK?

b. Montrer que

l'aire

de

ABCDEF

est égale à

a' -b'

^.

c. Montrer que

I'aire

de

HIJK

est égaIe à (a + b)(a

-

^b)^.

d. Montrer que

quel oue soit a et, on a:

. ^e, _-b, =(a+b)(a_b)

C

Activité

4 a

EG _€

b

LI

a- 1

Activité

5

1.

Puissance trois d'une somme

a.

Écrire

(a +

b)t

sous forme d'un produit puis développer et réduire.

b. En déduire

(a+ b)'

₌a3

+3a'b +3ab' +b'

^.

2. É,galités remarquables _|7

(3)

2. Puissance

trois

d'une difference

a.

Ecrire (o -b)'

^sousforme d'un produit, puis développer et réduire.

b. En déduire (o

- ^b)'

=

q' -3a'b ^+3ab' -

^b'^.

Activité

6

a. Développer et réduire

(a-b)(a'z+ab+b') (a+b)(a'z-ab+b2)

b. En déduire

(a

- ^b)(a'

^{+ ab}

^{+ b')} -

^a3

- ^b'

(a +

b)(a' -

^ab

^{+ b')} -

^a3^{+ b'}^.

Activité

7

1.

On sait que :

4xo=o ; ^oxe-o , '\2 ^(+-+)xo=o ₂₎ ; ^ox(x+2)-s

Compléter des

pointillés

a. (-I2)x

0

=... ^c. ^axÙ =... ^e.

^{...x (x}⁺

^l0)

⁼⁰

t't r \

b. l+-ilro=... ^d. b'x0=... f.(a+6)x...-0

\5 ^s)

2.

Exemple sur la résolution de

l'équation (x

+ ¹⁾(x

-

³⁾

-

^g

(x+1)("-3) - ⁰

^sigRifie

xtl ^: 0 ou .r-3

₌0

x*1=0 ou x-3.=0

x=-l

^x

_-3

Vérification:

-Pour x--I

(-1

₊

1)(-l -3)

^{= 0x}

^(-4)

⁼^Q

-

Pour x:3

(3+1)(3-3) =4x0=0

Donc les solutions de

l'équation

sont -1 et 3.

Selon

l'exemple

ci-dessus, résoudre les équations suivantes ^:

a. (x+1)(x-5)=0 c.(2x+1)(x-3)=0

/ r\

b. (x+3)(2x-4)=0 d. l'-)lQ*+3)-e \ ^2)'

2. Égalités remarquabler _{| 8}

(4)

2 Le

cours

1.

Egalités

remarquables

Quelques soient ^aet b, on a ^:

(a+b)z =a2 +2ab+b2

; ^q, -b, -(o-b)(a+b)

(o-b)'=o2 -2ab+b2 ; a'+b' -(a+t)(", -ab+br) a'-b' -(o-b)("'+ab+b'); ^(a+bl

--a3

+3arb+3ab, +b'

(o

- ^b)'

⁼

^e' -3a'b +3ab' ^b'

2. Application

Exemples : Développer et réduire :

a.

^(zx

+3)'

₌

Q*)'

⁺

^2x2x ^x3

⁺³²

Q**3)'=4x'+I2x+9

b. (sr- Z)' =(s")' -2x5xx2

⁺²²

(s"- 2)' =25x'-2ox+4

c. ^(OO+5)'

_{= 100'}

+ 2xI00x5+5'

105' _{= 10000}+ 1000 + 25 1052 = ¹¹⁰²⁵

d.

⁹⁵²

_=(too-5)'

_{= 100'}

- ^2xl00x5+52

=10000-1000+25

952

=

⁹⁰²⁵

3.

Règle du

produit nul

Un produit de facteurs est nul lorsque

I'un

ou

I'autre

est

nul

:

AxB:0signifie A:0ouB:0

Exemple 1 : On résout

l'équation (" -

^g)^{(x +}

Z):

^g

Solution:

On applique la règle du produit nul:

Ona: x-3=0ou x+2=0 x=3 ou x=-2

Donc les solutions de

l'équation

sont -2 et 3.

2. É,galitésremarquablet | 9

(5)

Exemple

2

^-.Onrésour

l'équation

3x(2,x+ _S)(x _

7)=

O

Solution:

On applique la règle du produit

nul:

Ona: 3x=0ou2x+5=0 _ou x-7=0 x=0ou _2x=-5 ou x=7

x=_i

5

Donc _lessolutions de l,équation sont

- ] ^, ^O ^et

⁷^.

Exemple

3

:

on

^résout

l,équation

⁽

(: : -!\( 5,/[3 ^Z* ' ¹⁾⁼ _s)

^o

Solution:

On applique la règle du produit

nul:

x4x4 ,-r-, ^ou i*r=o

!4 x

⁴

3=5 ^ou t=-5

=2 ₅₅ ou __g

Donc

l'équation

a pour solutions

- ? "t 55 ^P.

2. Ê,galitésremarquables | ¹⁰

(6)

Exercices

1.

Calculer les expressions suivantes.

A

- ^a(b-

^s)

^* ^t(s ^-

^{a) + s(a}

-

^b)

B

- ^(x-

¹⁾

^(" -

^{2) +}

^(x - ^2)(x -3)

C

- ^(x-

^sXx^{+ 3)}

- ^(x ^+I)(x

^{+ 2)}

2.

Développer puis réduire.

a.

(4m+I)' b. (3x+5)' c.(x+7)' d. (2x-7)' e. (5x-2)'z f. (" _-3)'

e.

^(2x⁺^1)'

-

(5x + 3)(5x

-

³⁾

h. 2(x- 3)'

+ s@

-

^a)

i.

2(x +

3)' -3(*

⁺

^2)'

⁺

^7(6x -t)

3.

Développer puis réduire.

a. (x

+

3)' ^d. ^(4x -r)' ^s _[r'- _+)'

b. (2x + 3y)' ^e,

^(2m

_- 5r)' ^n.

⁽

\. E** 1)' ³⁾

c. (x - 5)' t. (zr* l)' ^'

⁽

x ⁵⁾ (x 5\

\ 6) '[;-;)l;.à)

4.

Calculer.

I03';94';1062;85'

5.

Résoudre les équations suivantes.

a. (2x+1)(x -2)=0 e.(x-7)(x+7)=0

b.("+3)(x-l)=0 f.(z-l)f t*1)=o

\2 6)\2 ⁶⁾

c.(x-\@x-8)=0 g.x' _-36=0

d. (2x -

⁵⁾^{(3x +}¹⁾

- I h. 4x' -L2I=

⁰

6. Montrer

que :

a.

Quelque soit

a, ona : (a+l)t -2a=a' +l

b.

Quelque

soit a,

on a

: (a+l)2 -Za=(a-I)' ^+2a

7. a et b lesnombresnonnulstelsque (a+b)*0 _; (b-o)+0 et?:2

AD Montrerque: ?- _{ct a+b} ⁷ , ^et '=.t _a _b-a

2. Égalités remarquables _{I I}¹

(7)

8. Montrer

que: quelque

soit r _,3x,

+ 5x

-

⁴

=rl( .*:)' _-?1

L\ 6) ³⁶¹

g.

_On

_considèr 3 |

";=- ^atrec ^(a*0;b+0 ^et ^(a-b)+0)

Montrerque:si1=1 _onaalors 2= ^2.

a b a a-b

10. Montrer l'égalité:

(o' +b')(*'

+

y,)=(asc+by), +(bx-ay),

11. Montrer

que :

Si

b =

a*1,

on a

alors bt

₌ar' +

(a+b)

12.

_Quelque_soient

x et y,

montrer que ^:

a.4xy =(x* y)'-(*-y)?

b. ("

+

y)'+(x- y)' _{=2(x' +} yr)

2. É,galrtésremarquables I ¹²

Leçon 2 Egalités remarquables