© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville
Inégalités
Inégalité triangulaire Pour𝕂 = ℝou𝕂 = ℂ,
∀(𝑥1, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝕂𝑛, |
||
𝑛
∑
𝑘=1
𝑥𝑘|
||≤
𝑛
∑
𝑘=1
|𝑥𝑘|
Trigonométrie
∀𝑥 ∈ ℝ, |sin𝑥| ≤ |𝑥| ∀𝑥 ∈ ℝ+, sin𝑥 ≤ 𝑥
∀𝑥 ∈ ]−π 2,π
2[ , |tan𝑥| ≥ |𝑥| ∀𝑥 ∈ [0,π
2[ , tan𝑥 ≤ 𝑥 Logarithme et exponentielle
∀𝑥 ∈] − 1, +∞[, ln(1 + 𝑥) ≤ 𝑥
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑒𝑥≥ 1 + 𝑥
Moyennes arithmétique, géométrique, harmonique,quadratique
∀(𝑥1, … , 𝑥𝑛) ∈ (ℝ∗+)𝑛, 1 1 𝑛
𝑛
∑
𝑘=1
1 𝑥𝑘
≤𝑛
√√
√
𝑛
∏
𝑘=1
𝑥𝑘 ≤ 1 𝑛
𝑛
∑
𝑘=1
𝑥𝑘≤
√√
√ 1 𝑛
𝑛
∑
𝑘=1
𝑥2𝑘
Inégalité de Minkowski
Pour𝕂 = ℝou𝕂 = ℂet𝑝 ∈ [1, +∞[,
∀(𝑥1, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝕂𝑛, (
𝑛
∑
𝑘=1
|𝑥𝑘+ 𝑦𝑘|𝑝)
1 𝑝
≤ (
𝑛
∑
𝑘=1
|𝑥𝑘|𝑝)
1 𝑝
+ (
𝑛
∑
𝑘=1
|𝑦𝑘|𝑝)
1 𝑝
Inégalité de Hölder
Pour𝕂 = ℝou𝕂 = ℂet(𝑝, 𝑞) ∈ [1, +∞[2tel que 1 𝑝+ 1
𝑞 = 1,
∀(𝑥1, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝕂𝑛,
𝑛
∑
𝑘=1
|𝑥𝑘𝑦𝑘| ≤ (
𝑛
∑
𝑘=1
|𝑥𝑘|𝑝)
1 𝑝
(
𝑛
∑
𝑘=1
|𝑦𝑘|𝑞)
1 𝑞
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