Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques L2
UE 2M216 – Fonctions de plusieurs variables Année 2018–19
TD5. Intégrales multiples
version du 19/11/2018
Exercice 1. Soienta < betc < d dansRet Rle rectangle[a, b]×[c, d]deR2. 1) Calculerm=
Z Z
R
dx dy (c.-à-d. l’intégrale surRde la fonction constante de valeur1).
2) CalculerJ1= Z Z
R
x dx dyet J2= Z Z
R
y dx dy.
3) CalculerxR =J1/metyR=J2/m. Si l’on considèreRcomme une plaque homogène de densité constante égale à1, alorsmest la masse de la plaque etxR etyR sont les coordonnées de son centre d’inertie (ou centre de gravité)IR.
4) Pour toutp, q∈N, calculerI(p, q) = Z Z
R
xpyqdx dy.
Exercice 2. SoitRle rectangle[1, a]×[1, b]deR2, oùa, b >1.
1) CalculerJa,b= Z Z
R
log(x) log(y)dx dy, oùlogdésigne le logarithme népérien.
2) On prenda= 2 =b. Calculer Z Z
R
log(x+y)dx dy. (On doit trouver9 log(4/3)−3/2.)
Exercice 3. Soient a, b∈R∗+et soit∆ le triangle de sommetsO= (0,0),A= (a,0) etB= (0, b).
1) Calculerm= Z Z
∆
dx dy.
2) Calculer les coordonnéesx∆et y∆ du centre d’inertieI∆ de∆.
3) Est-ce queI∆coïncide avec le centre de gravité (isobarycentre)Gdes pointsO, A, B?
4) On prend maintenant juste les côtés du triangle (penser à un triangle en fil de fer). Déterminer le centre de gravité (c’est le barycentre des milieux des côtés, chacun affecté du poids égal à la longueur du côté).
Exercice 4. Soient a, b, c ∈ R∗+ et soit T le tétraèdre de sommets O = (0,0), A = (a,0), B = (0, b) et C= (0,0, c).
1) Calculerm= Z Z Z
T
dx dy dz.
2) Calculer les coordonnéesxT,yT et zT du centre d’inertieIT deT.
3) Est-ce queIT coïncide avec le centre de gravité (isobarycentre)Gdes pointsO, A, B, C? On admet le :
Théorème (Formule de changement de variables). Soient U un ouvert de Rn, φ : U → Rn une application de classe C1,P un pavé fermé contenu dans U, et P˚ l’intérieur deP (i.e. le pavé ouvert correspondant). On suppose que la restriction de φàP˚est un difféomorphisme de P˚sur son image. Alors, pour toute application continue f :φ(P)→Ron a
Z Z
φ(P)
f(y)dy= Z Z
P
f(φ(x))
detDφ(x)|dx où| · | désigne la valeur absolue.
Exercice 5. SoientR∈R∗+ et D(R)le disque fermé deR2 de centre0 et de rayonR.
1) En utilisant les coordonnées polaires, calculer Z Z
D(R)
dx dy.
2) Soienta, b∈R∗+et E={(x, y)∈R2| x2 a2 +y2
b2 ≤1} (i.e.E est l’intérieur d’une ellipse, bord inclus). En utilisant des « coordonnées elliptiques » appropriées, calculer
Z Z
E
dx dy.
1
On rappelle le résultat suivant :
Théorème. Soienta < b dansR,U un ouvert deRn,g: [a, b]×U →R,(s, x1, . . . , xn)7→g(s, x1, . . . , xn)une application continue. On suppose que, pour i= 1, . . . , n, la dérivée partielle ∂g/∂xi existe et est continue sur [a, b]×U. Alors l’application
G: [a, b]×U →R, (t, x1, . . . , xn)7→
Z t
a
g(s, x1, . . . , xn)ds
est continue et est de classe C1 sur l’ouvert ]a, b[×U : on a ∂G
∂t(t, x1, . . . , xn) = g(t, x1, . . . , xn) et, pour i= 1, . . . , n :
∂G
∂xi
(t, x1, . . . , xn) = Z t
a
∂g
∂xi
(s, x1, . . . , xn)ds.
Exercice 6. Soienta < b et c < ddansR, U un ouvert deRn,f : [a, b]×[c, d]×U →R,(s, t, x1, . . . , xn)7→
f(s, t, x1, . . . , xn)une application continue. Pour toutx∈U on pose : φ(x) =
Z d
c
Z b
a
f(s, t, x)ds
! dt.
On fixex∈U; pour toutr∈[a, b]ett∈[c, d]on pose g(r, t) =f(r, t, x), puis pours∈[a, b]on pose : G(s) =
Z d
c
Z s
a
g(r, t)dr
dt= Z d
c
Z s
a
f(r, t, x)dr
dt.
1) En utilisant le théorème rappelé plus haut, déterminerG0(s)pour touts∈[a, b].
2) En utilisant le « théorème fondamental du calcul intégral » (vu en Terminale), montrer que :
φ(x) =G(b)−G(a) = Z b
a
Z d
c
f(s, t, x)dt
! ds.
Exercice 7. Soient a, bdans Rtels que1≤a < bet soientp, q∈Ntels que p≤q. Soit D la région du plan définie par :
D={(x, y)∈R2|a≤x≤b, xp≤y≤xq}.
1) Faire un schéma représentantD.
2) Calculer Z Z
D
dx dy, puis Z Z
D
x dx dypuis Z Z
D
y dx dy.
2
