Cours du mercredi 9 avril 2003 Rangs et dimensions
Le projet de ce cours est de définir et relier les notions de rang (d’un système, d’une application linéaire, d’un système de vecteurs) et de dimension (d’un espace vectoriel)
1. Rappels.
Sif est une application linéaire de E dans F, alors Kerf est un sous-espace vectoriel de E et Imf est un sous-espace vectoriel de F.
2. Parties libres et parties génératrices.
Il y a équivalence entre Partie libre maximale Partie génératrice minimale Partie libre et génératrice.
Une partie d’un espace vectoriel possédant ces propriétés est dite « base » de E.
3. Espaces de dimension finie
Un espace est dit de dimension finie s’il contient une partie génératrice finie. Notons que cela ne définit pas encore la dimension de E.
Théorème 1 : Si e e1, , ,2 en est un système générateur de E, on peut en extraire une base.
Remarque : Si e e1, , ,2 en est une base de E, tout vecteur de E s’écrit de façon unique comme combinaison linéaire des ei. Cela définit n applications linéaires e e1*, , ,2* e*nde E dans , les fonctions coordonnées relatives à la base e e1, , ,2 en , par la relation, pour tout vecteur x,
* *
1 1 n n
x e x e e x e . Cas particulier de la base canonique de n et des fonctions coordonnées associées.
Théorème 2 : Si E est un espace vectoriel de dimension finie non réduit à 0, alors deux bases de E ont le même nombre d’éléments. Ce nombre ainsi défini s’appelle la dimension de E.
Lemme 1 (opélèm) :a) Si e e1, , ,2 en est une base de E, si est un scalaire non nul, alors e e1, , ,2 en , e1, e2, , en , e e1, , ,2 en sont des bases de E.
b) Quels que soient les scalaires 2, , n , 1 2
2
, , ,
n
i i n
i
e e e e
est une
nouvelle base, et l’on peut aussi modifier un quelconque des vecteurs e2, , en par une combinaison linéaires des autres.
Lemme 2 (lemme du coucou) : Si e e1, , ,2 en est libre et si f f1, , ,2 fm est une base de E et si on peut écrire e1 1 1f mfm avec 1 0, alors e f1, , ,2 fm est encore une base deE.
Cours du mercredi 16 avril 2003 Rangs et dimensions, suite.
1. Espaces de dimension finie (suite)
Théorème 3 (théorème de la base incomplète) : Si E est un espace vectoriel de dimension finie n et si a a1, , ,2 ap est un système libre de E, alors p n, et si a a1, , ,2 ap n’est pas une base,
p n et on peut compléter a a1, , ,2 ap en base : a a1, , , ,2 a ap p1, , an .
Soit f f1, , ,2 fn une base de E, en appliquant le lemme du coucou, on peut supposer, quitte à renuméroter la base f f1, , ,2 fn , que a f1, , ,2 fn est encore une base de E. Écrivons a2 dans cette base : a2 1 1a 2 2f mfm, et l’on est sûr que l’un au moins des coefficients 2, , m est différent de 0, car a a1, , ,2 ap est libre, on peut supposer, quitte à renuméroter f2, , fn que 2 0, d’où l’on déduit par le lemme 1 que a a1, , , ,2 f3 fn est encore une base. On continue ce processus, remplaçant un après l’autre les vecteurs de f f1, , ,2 fn par ceux de a a1, , ,2 ap . Alors, si p n, le théorème est démontré. Si p n, on voit que a a1, , ,2 ap est une base. Si p n, cela signifie que a a1, , ,2 an est une base, et que a a1, , ,2 ap est libre et la contient, ce qui contredit le caractère libre maximal, donc on a bien p n.
2. Égalités et inégalités
Théorème 1 : Soit E un espace de dimension n. Alors : Toute partie libre a au plus n éléments
Toute partie génératrice a au moins n éléments.
Tout sous-espace vectoriel de E est de dimension finie inférieure ou égale à n.
Si une partie libre a n éléments, c’est une base Si un partie génératrice a n éléments, c’est une base.
Théorème 2 : Soit :f E F une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimensions finies, alors dim Im f dim Ker f dimE. On appelle rang de f le nombre dimImF.
Recherche du rang sur la matrice de :f n m. On remarque qu’après réduction de Gauss, le nombre de lignes linéairement indépendantes est égal à celui des colonnes, on peut donc indifféremment manipuler lignes ou colonnes pour la recherche du rang.
Théorème 3 : Soit un système linéaire homogène de matrice A. On peut considérer l’ensemble des solutions de ce système comme le noyau d’une application f de n dans m . Alors la dimension de cet espace de solutions est égale à n rg f . D’autre part, le rang de f est égal au nombre d’équations linéairement indépendantes du système, on l’appelle le rang de ce système.
P. SILICI
