FAISCEAUX ET ESPACES ANNELÉS

CHAPITRE 2

FAISCEAUX ET ESPACES ANNELÉS

2.1. Topologie de Grothendieck

Topologie de Grothendieck est une notion qui généralise la notion de topologie dans le cadre de la théorie des catégories, qui est particulièrement adaptée à l’étude de la théorie des faisceaux et des applications à la géométrie algébrique. On fixe dans ce paragraphe une catégorie petiteC.

2.1.1. SoitX un objet deC. On appellecrible deX toute famille S de morphismes dansC dont le but estX, qui vérifie la condition suivante :

(2.1) siY →^u X etZ→^v Y sont des morphismes dansC,u∈S, alors uv∈S.

Si(Si)i∈I est une famille de cribles deX, alorsS =T

i∈ISiest aussi un crible deX. En particulier, siRest une famille de morphismes dans C dont le but (cf. §1.2.2) est X, alors l’intersection des cribles deX contenantRest un crible contenantR, appelé crible engendré parRet notéS(R). Le cribleS(R)est la famille des morphismes dont le but estX qui factorisent par au moins un morphisme dansR.

2.1.2. SoitX un objet deC. On désigne parHX l’ensemble de tous les morphismes dansCdont le but estX. C’est un crible deX. En outre, tout crible deX est contenu dansHX. Un cribleS deX est égal àHX si et seulement si1X ∈S.

2.1.3. Soit X un objet de C. Soient R et R⁰ deux familles de morphismes dans C dont le but estX. On dit queR⁰ est plus fine queR ouR est moins fine que R⁰ si tout morphisme dansR⁰se factorise par au moins un morphisme dansR. Cela revient à dire queS(R⁰)⊂S(R). Attention, la condition “R⁰ est plus fine queR” ne signifie pas que R⁰ est contenu dansR.

2.1.4. Soit f : Y → X un morphisme de la catégorie C. Si S est un crible de X, on désigne parf^∗S l’ensemble des morphismesg dont le but estY tels quef g ∈S.

C’est un crible de Y, appelé latirée en arrière deS par le morphisme f. SiY →^f X appartient àS, alors on a1_Y ∈f^∗(S)et doncf^∗(S) =H_Y (cf. §2.1.2).

2.1.5. On appelle topologie de Grothendieck sur C tout foncteur J de C^o dans la catégorie des ensembles qui satisfait aux conditions suivantes :

(a) pour toutX ∈ C,J(X)est un ensemble de cribles deX telle queH_X appartienne àJ(X);

(b) pour tout morphisme f : Y → X dans C, l’application J(f) : J(X) → J(Y) envoieS∈J(X)surf^∗S (on a donc nécessairementf^∗S∈J(Y)) ;

(c) pour tout cribleS deX, s’il existe un cribleS⁰ ∈J(X)tel que, pour n’importe quel morphisme(f :Y →X)∈S⁰, on ait toujours f^∗S∈J(Y), alors le cribleS appartient àJ(X).

Soient f :Y →X un morphisme dans C et S un crible deX, sif^∗S ∈J(Y), on dit que le cribleS recouvref sous la topologie J.

On appellesite toute catégorie petite munie d’une topologie de Grothendieck.

2.1.6. Soit (C, J) un site. Si X est un objet de C et si S est un crible deX, alors pour tout(Y →^f X)∈ S on a f^∗S =HY ∈J(Y). On obtient ainsi de la condition (c) du §2.1.5 que, siS est un crible contenant un cribleS⁰ ∈J(X), alors le cribleS appartient aussi àJ(X).

2.1.7. SoitCune catégorie petite. On appellebase de topologie de Grothendiecktoute application K de C dans l’ensemble des familles de morphismes deC, qui vérifie les conditions suivantes :

(a’) pour toutX ∈ C, tout élément deK(X)est une famille de morphismes dont le but estX;

(b’) pour tous X ∈ C, R ∈K(X)et tout morphisme f : Y → X dans C, il existe R⁰ ∈K(Y)tel que, pour touth∈R⁰, le morphisme composéf hse factorise (cf.

§1.2.8) par au moins un morphisme dansR(autrement dit, il existeu∈Ret un morphismev dansCtel que le morphisme composéuv est bien défini et est égal àf h) ;

(c’) pour tout X ∈ C et tout R ∈ K(X), si on désigne, pour tout morphisme f : Y →X dans R, un élémentRf ∈K(Y), alors la famille {f g|f ∈R, g ∈Rf} appartient àK(X).

2.1.8. SoientCune catégorie petite etJ une topologie de Grothendieck surC. Alors J est aussi une base de topologie de Grothendieck surC. En effet, pour toutX ∈ C, tout crible deX est une famille de morphismes dont le but estX. La condition (a’) du §2.1.7 est donc satisfaite. En outre, pour tout morphisme f : Y → X dans C et tout cribleS∈J(X), f^∗S est un crible dansJ(Y)tel que, pour touth∈f^∗S on ait

2.1. TOPOLOGIE DE GROTHENDIECK 29

f h∈S. Enfin, pour tout objet X ∈ C et tout crible S ∈J(X), si on désigne, pour tout(f :Y →X)∈S, un cribleT_f ∈J(Y), alors l’ensemble

T ={f g|f ∈S, g∈T_f}

est un crible de X tel que f^∗T ⊃ Tf (et donc f^∗T ∈ J(Y), cf. §2.1.6) pour tout f ∈S. Par la condition (c) du 2.1.5 on obtient queT est un crible dansJ(X), d’où la condition (c’) du §2.1.7 est satisfaite.

2.1.9. Exemple. — SoientM un espace topologique etBune base de topologie de M. On désigne parTM la catégorie associée à l’ensemble ordonné des parties ouvertes deM (cf. §1.3.7). Pour toutU ∈ T_M, soit K_B(U)l’ensemble des recouvrements deU par des parties ouvertes deU appartenant à la base de topologieB. AlorsK_B est une base de topologie de Grothendieck surTM, appelébase de topologie de Grothendieck déterminée par la base de topologieB.

2.1.10. Proposition. — SoientC une catégorie petite et K une base de topologie de Grothendieck surC. Pour toutX ∈ C, soitJ(X)l’ensemble des criblesScontenant au moins une famille R ∈K(X). Alors J est une topologie de Grothendieck sur C, appelé topologie de Grothendieck engendréepar la base de topologie de Grothendieck K.

Démonstration. — (a) Soit X un objet deC. Comme HX est le plus grande famille de morphismes dont le but estX, il contient tout élément deK(X). On obtient donc H_X∈J(X).

(b) Soient f : Y → X un morphisme dans C et R un élément de K(X). Par la condition (b’) du §2.1.7, il existe un élémentR⁰ deK(Y)tel que, pour tout h∈R⁰, le morphisme f hse factorise par un morphisme dans R. En particulier, si S est un crible contenant R, alors pour tout h ∈ R⁰ on a f h ∈ S. D’où f^∗S ⊃ R⁰ et donc f^∗S∈J(Y).

(c) Soient X un objet deC, S et S⁰ deux cribles, oùS⁰ ∈J(X). On suppose que f^∗S ∈J(Y) pour toutf : Y → X dans S⁰. Soient R un élément de K(X)tel que R⊂S⁰. Pour toutf :Y →XdansR, soitRf un élément deK(Y)tel queRf ⊂f^∗S.

On a alors

R:= [

f∈R

{f g|g∈Rf} ∈K(X)

et R⊂S, d’oùS∈J(X).

2.1.11. Exemple. — Soient M un espace topologique etTM la catégorie associée à l’ensemble des ouverts deM. SoientB etB⁰ deux bases de topologie deM. Soient K_B et K_B⁰ les bases de topologie de Grothendieck surTM déterminées par les bases de topologieBet B⁰ respectivement (cf. §2.1.9). Alors ces bases de topologie de Gro- thendieck engendrent la même topologie de Grothendieck surTM. En effet, pour tout ouvertU deM et tout recouvrementRdeU par des ouverts deU qui appartiennent

à B, il existe un raffinementR⁰ du recouvrementR par des ouverts deU qui appar- tiennent àB⁰, et vice versa. D’après §2.1.3, on obtient qu’un cribleS deU contient un élément deK_B(U)si et seulement s’il contient un élément deK_B⁰(U).

2.2. Faisceaux sur un site

Dans ce paragraphe, on fixe un site(C, J)et une catégorie complèteA(cf. §1.6.2).

2.2.1. On appelle préfaisceau surC à valeurs dansA tout foncteur de C^o dans A.

Étant donné un préfaisceauF :C^o→ A, pour tout morphismef :X →Y dansC, on note aussi|f :F(Y)→F(X)le morphismeF(f).

2.2.2. SoientAune catégorie complète etF un préfaisceau sur Cà valeurs dansA.

Pour tout objetX ∈ C et tout cribleS deX, on désigne parF(S)l’objet

(2.2) Ker





 Y

(Wf

→X)∈S

F(W)

p1 //

p2 // Y

(Y→X)∈Su

Y

Z→Yv

F(Z)





 dansA, oùp1 est induit par les morphismes

pr_uv : Y

(Wf

→X)∈S

F(W)−→F(Z), avec(Y →^u X)∈S, Z→^v Y, p2est induit par les morphismes

F(v) pr_u: Y

(Wf

→X)∈S

F(W)−→F(Z), avec(Y →^u X)∈S, Z →^v Y.

On désigne parΦS le morphisme universel deF(S)dans Y

(Wf

→X)∈S

F(W),

qui s’écrit sous la forme ΦS = (ΦS,f)f∈S, où pour tout(W →^f X)∈S, ΦS,f est un morphisme deF(S)dansF(W). On ap₁Φ_S =p₂Φ_S. Autrement dit, pour toutu∈S et tout morphisme v tel queuv soit bien défini (i.e., la source de uest égale au but dev), on a

(2.3) Φ_S,uv=F(v)Φ_S,u.

2.2.3. Soit A un objet de A. Soient X un objet de C et S un crible de X. Tout morphismeϕdeAdans

Y

(Wf

→X)∈S

F(W)

s’écrit sous la formeϕ= (ϕf)_f∈S, où pour tout(W →^f X)∈S,ϕf est un morphisme deA dansF(W). L’égalité p1ϕ=p2ϕest satisfaite si et seulement si ϕuv =F(v)ϕu

2.2. FAISCEAUX SUR UN SITE 31

pour tout u∈ S et tout morphisme v tel que uv soit bien défini ; et si cette égalité est satisfaite, il existe un unique morphisme (par la propriété universel du noyau) ϕe:A→F(S)tel queΦSϕe=ϕ(i.e.ΦS,fϕe=ϕf pour toutf ∈S). En particulier, le morphisme

(F(f))_f∈S :F(X)−→ Y

(Wf

→X)∈S

F(W)

satisfaitF(uv) =F(v)F(u)pour toutu∈S et tout morphismevtel queuvsoit bien défini et donc induit (via la propriété universelle du noyau) un unique morphisme ΦX,S:F(X)→F(S)tel que

(2.4) ΦS,fΦX,S=F(f) :F(X)−→F(W)pour tout(W →^f X)∈S, appelémorphisme canonique deF(X)dansF(S).

SoientS etS⁰ deux cribles deX tels queS ⊃S⁰. Les relations (2.3), pouru∈S⁰ et v tel que uv soit bien défini, montent qu’il existe un unique morphisme Φ_S,S⁰ : F(S)→F(S⁰)tel que

(2.5) Φ_S⁰_,fΦ_S,S⁰ = Φ_S,f pour toutf ∈S⁰.

2.2.4. Soient (C, J)un site et F : C^o → A est un préfaisceau sur C à valeurs dans une catégorie complèteA. Si, pour tout objetX deC et tout cribleS dansJ(X), le morphisme canonique ΦX,S : F(X) → F(S) est un monomorphisme (resp. isomor- phisme), on dit que le préfaisceauF est séparé (resp. unfaisceau) par rapport à la topologie de GrothendieckJ.

2.2.5. On suppose que tout produit fibré dans C existe. Si X est un objet deC et si R est une famille de morphismes dans C dont le but est X, on désigne par F(R) l’objet

(2.6) Ker





 Y

(Wf

→X)∈R

F(W)

q₁ //

q2 // Y

(U→X)∈Ra

Y

(Vb

→X)∈R

F(U×_XV)





 dansA, oùq1est défini par les morphismes

F(pr₁) pr_a: Y

(W→X)∈Rf

F(W)−→F(U×XV), avec(U →^a X)∈R, (V →^b X)∈R, q₂est défini par les morphismes

F(pr₂) pr_b: Y

(Wf

→X)∈R

F(W)−→F(U×_XV), avec(U →^a X)∈R, (V →^b X)∈R, pr₁:U×XV →U etpr₂:U ×XV →V étant les deux projections. On désigne par ΦR le morphisme universel deF(R)dans

Y

(Wf

→X)∈R

F(W),

qui peut s’écrire sous la forme (Φ_R,f)_f∈R, où pour tout (W →^f X), Φ_R,f est un morphisme deF(R)dansF(W). La propriétéq₁Φ_R=q₂Φ_Rpeut s’écrire comme

F(pr₁)Φ_R,a=F(pr₂)Φ_R,bpour toutU →^a X et toutV →^b X dansR, pr₁:U ×XV →U etpr₂:U×XV →V étant les deux projections.

2.2.6. On suppose que tout produit fibré existe dansC. Similairement au §2.2.3, si Aest un objet deAet si(ϕf)_f∈Rest une famille de morphismes dansAoù pour tout (W →^f X)∈R, ϕf est un morphisme deA dansF(W), tel que

F(pr₁)ϕa=F(pr₂)ϕb pour toutU →^a X et toutV →^b X dansR,

pr₁ : U ×_X V →U et pr₂ : U ×_XV → V étant les deux projections, alors, par la propriété universelle du noyau, il existe un unique morphismeϕe:A→F(R)tel que ΦR,fϕe=ϕf pour toutf ∈R. En particulier, le morphisme

(F(f))f∈S :F(X)−→ Y

(Wf

→X)∈S

F(W)

induit par la propriété universelle du noyau un unique morphisme Φ_X,R : F(X) → F(R)tel que

(2.7) Φ_R,fΦ_X,R=F(f)pour toutf ∈R.

Ce morphisme est appelémorphisme canonique deF(X)dansF(R).

SoientSun crible dansJ(X)qui contientR. Pour tous les morphismesa:U →X et b:V →X dansR, on a (d’après (2.3))

F(pr₁)Φ_S,a= Φ_S,apr1 = Φ_S,bpr2 =F(pr₂)Φ_S,b

carapr₁=bpr₂. On obtient alors l’existence d’un unique morphismeΦ_S,R:F(S)→ F(R)tel que

(2.8) Φ_R,fΦ_S,R= Φ_S,f pour toutf ∈R.

Comme (voir (2.4) pour la dernière égalité)

ΦR,f(ΦS,RΦX,S) = ΦS,fΦX,S=F(f)

pour toutf ∈R, on obtient que

(2.9) Φ_S,RΦ_X,S = Φ_X,R

par l’unicité deΦX,R.

2.2. FAISCEAUX SUR UN SITE 33

2.2.7. On suppose que tout produit fibré existe dans C. Soit F : C^o → Aun pré- faisceau sur C à valeurs dans une catégorie complète A. Si X est un objet de C et si S est un crible deX, dans les sous-paragraphes précédents, on a utilisé la même notationF(S)pour désigner deux noyaux définis dans (2.2) et (2.6) respectivement, où dans (2.6) on considère S comme une famille de morphismes dont le but est X. Cette notation confondue ne portera cependant pas d’ambiguïté, comme justifié par la proposition suivante.

2.2.8. Proposition. — On suppose que tout produit fibré existe dans C. Soit F : C^o→ Aun préfaisceau surCà valeurs dansA. SoientX un objet deC,Rune famille de morphismes dans C dont le but est X, et S le crible engendré parR (cf. §2.1.1).

Alors le morphisme Φ_S,R:F(S)→F(R)défini dans §2.2.6 est un isomorphisme.

Démonstration. — Montrons queF(S)vérifie la propriété universelle du noyau (2.6) définissantF(R). Soient Aun objet deAet

ψ= (ψ_f)_f∈R:A−→ Y

(W→X)∈Rf

F(W)

un morphisme tel que q1ψ = q2ψ. Si f : Z → X est un morphisme dans S qui se factorise comme Z →^u U →^a X, où a ∈ R, on note ψ_f := F(u)ψ_a. Cette définition ne dépend pas du choix de la factorisation. En effet, si Z →^v V →^b X est une autre factorisation def, il existe un unique morphismew:Z→U×XV tel que pr₁w=a et pr₂w=b

Z

v

u

&&

∃!w ##

U ×_XV _pr

1

//

pr₂

U

a

V

b //X On en déduit

F(u)ψa=F(pr₁w)ψa=F(w)F(pr₁)ψa

=F(w)F(pr₂)ψ_b =F(pr₂w)ψ_b=F(v)ψ_b. En outre, pour tout morphismeg:W →Z on a

ψf g=F(ug)ψa =F(g)F(u)ψa=F(g)ψf,

où la première égalité provient du fait que W →^ug U →^a X est une factorisation de f g avec a∈R. On obtient donc (d’après §2.2.3) l’existence d’un unique morphisme ψe:A→F(S)tel queΦ_S,fψe=ψ_f pour toutf ∈S. En particulier, pour toutf ∈R on aΦS,RΦR,fψe= ΦS,fψe=ψf.

2.2.9. Théorème. — Soient C une catégorie petite où tout produit fibré existe, A une catégorie complète, et F : C^o → A un préfaisceau C à valeurs dans A. Soient K une un base de topologie de Grothendieck sur C et J la topologie de Grothendieck engendrée parK. AlorsF est un faisceau par rapport à la topologie de Grothendieck J si et seulement si, pour tout X ∈ C et tout R ∈ K(X), le morphisme canonique ΦX,R:F(X)→F(R)(cf. §2.2.6) est un isomorphisme.

Démonstration. — “=⇒” : SoientX un objet deCet Run élément deK(X). SoitS le crible engendré parR(cf. §2.1.1). D’après la proposition 2.2.8, le morphismeΦ_S,R: F(S)→F(R)est un isomorphisme. Si le morphisme canoniqueΦX,S:F(X)→F(S) est un isomorphisme, alors le morphisme canoniqueΦX,R:F(X)→F(R)l’est aussi car on aΦ_X,R= Φ_S,RΦ_X,S (voir (2.9)).

“⇐=” : Réciproquement, supposons que, pour tout X ∈ C et tout R ∈K(X), le morphisme canoniqueF(X)→F(R)est un isomorphisme. On montre queF est un faisceau pour la topologieJ. SoitXun objet deCetSun crible deX qui contient un élément R∈K(X). Par l’hypothèse, le morphisme canoniqueΦ_X,R:F(X)→F(R) est un isomorphisme. Dans la suite, on montre que Φ⁻¹_X,RΦS,R : F(S) → F(X) est l’inverse du morphisme canoniqueΦX,S:F(X)→F(S)(cf. §2.2.3 et §2.2.6 pour les définitions deΦ_X,S et Φ_S,R respectivement). D’après (2.9), on a

(Φ⁻¹_X,RΦS,R)ΦX,S= Φ⁻¹_X,RΦX,R= 1_F(X).

Pour montrer queΦX,S(Φ⁻¹_X,RΦS,R) = 1_F(S), il suffit de vérifier que (cf. §2.2.3) ΦS,f = ΦS,fΦX,S(Φ⁻¹_X,RΦS,R)

pour tout(f :Y →X)∈S. D’après (2.4), on aΦS,fΦX,S=F(f)et donc ΦS,fΦX,S(Φ⁻¹_X,RΦS,R) =F(f)(Φ⁻¹_X,RΦS,R).

En outre, commeK est une base de topologie de Grothendieck, il existe R⁰ ∈K(Y) tel que, pour tout h ∈ R⁰, le morphisme composé f h se factorise par au moins un morphisme dans R (cf. §2.1.7). En d’autres termes, il existe u:W →X dans R et v:Z →W tels quef h=uv. On a alors

F(h)F(f)(Φ⁻¹_X,RΦS,R) =F(f h)(Φ⁻¹_X,RΦS,R) =F(v)F(u)(Φ⁻¹_X,RΦS,R).

Commeu∈R, d’après (2.7) on aF(u)Φ⁻¹_X,R= Φ_R,u et donc

F(v)F(u)(Φ⁻¹_X,RΦ_S,R) =F(v)Φ_R,uΦ_S,R=F(v)Φ_S,u= Φ_S,uv=F(h)Φ_S,f, où la deuxième égalité provient de (2.8), et les troisième et dernière égalités pro- viennent de (2.3). CommeF(h) = Φ_R0,hΦ_Y,R0 (cf. (2.7)), on obtient

ΦR⁰,hΦY,R⁰F(f)(Φ⁻¹_X,RΦS,R) = ΦR⁰,hΦY,R⁰ΦS,f pour touth∈R⁰,

qui montre queΦY,R⁰F(f)(Φ⁻¹_X,RΦS,R) = ΦY,R⁰ΦS,f. Comme le morphisme canonique ΦY,R⁰ :F(Y)→F(R⁰)est un isomorphisme, on en déduitF(f)(Φ⁻¹_X,RΦS,R) = ΦS,f. Le théorème est donc démontré.

2.3. CATÉGORIE ADMISSIBLE 35

2.3. Catégorie admissible

2.3.1. On dit qu’une catégorieA estadmissible si les conditions suivantes sont vé- rifiées :

(a) toute limite projective existe dansA,

(b) tout limite inductive filtrante existe dans A et préserve les limites projectives finies,

(c) Pour tout ensemble non-vide Θ, toute famille (Iα)_α∈Θ de catégories petites fil- trantes, et toute famille (Fα : Iα → A)α∈Θ de foncteurs, si on désigne par I := Q

α∈ΘI_α la catégorie produit (cf. §1.3.3)⁽¹⁾ et définit F : I → A comme le foncteur qui envoie (iα)_α∈Θ sur Q

α∈ΘFα(iα), alors le morphisme lim

−→F → Q

α∈Θlim

−→Fα induit par la propriété universelle de la limite inductive est un iso- morphisme.

2.3.2. Proposition. — La catégorieEnsest admissible.

Démonstration. — Dans §1.6.19 on a déjà vérifié que la catégorie Enssatisfait aux conditions (a) et (b) de la définition 2.3.1 (voir la proposition 1.7.4 pour la démonstra- tion de la condition (b)). Il reste à vérifier la condition (c). Soient(I_α)_α∈Θune famille non-vide de catégories petites filtrantes,(F_α:I_α→Ens)_α∈Θune famille de foncteur, I:=Q

α∈ΘIαetF :I→Ensle foncteur qui envoie(iα)_α∈Θ∈IenQ

α∈ΘFα(iα). On désigne parϕ: lim

−→F →Q

α∈Θlim

−→Fαl’application induite par la propriété universelle de la limite inductive.

Montrons queϕest une application injective. Soientxetx⁰ deux éléments delim

−→F tels que ϕ(x) =ϕ(x⁰). Comme Iest une catégorie filtrante, il existe i= (iα)_α∈Θ ∈I et deux éléments y= (yα)α∈Θ et y⁰ = (y_α⁰)α∈Θ dansF(i) =Q

α∈ΘFα(iα)tels quex etx⁰ soient respectivement les images deyety⁰danslim

−→F. Commeϕ(x) =ϕ(x⁰), on obtient que, pour toutα∈Θ,yαety⁰_αont la même image danslim

−→Fα. Il existe donc un morphismefα:iα→jα dansIαtel quefα(yα) =fα(y⁰_α). On obtient donc quey ety⁰ ont la même image danslim

−→F (puisqu’ils ont la même image dansF((j_α)_α∈Θ)) et doncx=x⁰.

Montrons que ϕ est une application surjective. Soit ξ = (ξα)_α∈Θ un élément de Q

α∈Θlim

−→Fα. Pour toutα∈Θ, soientiα∈Iαetyα∈Fα(iα)tels queξαsoit l’image dey_αdanslim

−→F_α. Soitxl’image canonique de(y_α)_α∈Θ∈F((i_α)_α∈Θ)danslim

−→F. On a alorsϕ(x) =ξ. L’applicationϕest donc surjective.

2.3.3. La condition (c) dans la définition 2.3.1 a été introduite dans l’ouvrage de Kashiwara et Schapira [?] comme propriété (IPC). On renvoie les lecteurs dans §3.1 du loc. cit. pour les détails. Il faut distinguer cette propriété de la commutativité de la limite inductive filtrante avec un produit. En effet, même si les catégories I_α

1. On peut vérifier que la catégorieIest aussi filtrante.

s’identifient à la même catégorie J, en général la limite inductive lim−→F n’est pas la même chose que la limite inductive des produits (Q

α∈AF_α(j))_j∈J.

Similairement à §1.7.5, on peut montrer que la catégorie des modèles d’une struc- ture algébrique admissible est une catégorie admissible.

2.3.4. Proposition. — Soit A une catégorie admissible. Soient I une catégorie filtrante, F et G deux foncteur de I dans A et ϕ : F → G un monomorphisme de foncteurs. Alors le morphisme de lim

−→F dans lim

−→Ginduit par ϕ(via la fonctorialité delim

−→) est un monomorphisme dansA.

Démonstration. — Commeϕest un monomorphisme de foncteurs, le carré F ^1F //

1_F

F

ϕ

F _ϕ //G

est cartésien (cf. la proposition 1.6.10). Comme le produit fibré est une limite projec- tive finie, la condition (b) de §2.3.1 montre que le diagramme

lim−→F lim

−→F

lim−→^ϕ

lim

−→F

lim−→^ϕ

//lim

−→G

est cartésien, où les flèche “ ” désigne des morphismes d’identités. Par consé- quent,lim

−→ϕest un monomorphisme (d’après la proposition 1.6.10).

2.4. Faisceau associé à un préfaisceau

2.4.1. Soient C une catégorie petite etF :C^◦ → A un préfaisceau sur C à valeurs dans une catégorie complète. Soientf :Y →X un morphisme dansC,Sun crible de X etS⁰ un crible deY contenu dansf^∗S. Les morphismes

Φ_{S,f g}=F(g)Φ_S,f :F(S)−→F(Z), où(Z →^g Y)∈S⁰

induit par la propriété universelle du noyau (cf. §2.2.3) un morphisme deF(S)dans F(S⁰)que l’on noteΦ^f_S,S0. Par définition c’est l’unique morphisme deF(S)dansF(S⁰) tel que

(2.10) ΦS⁰,gΦ^f_S,S0 = ΦS,f gpour toutg∈S⁰.

Dans le cas particulier oùf = 1_X est le morphisme d’identité,S⁰ est un crible contenu dansS, etΦ¹_S,S^X0 s’identifie au morphismeΦS,S⁰ défini dans §2.2.3.

2.4. FAISCEAU ASSOCIÉ À UN PRÉFAISCEAU 37

2.4.2. Lemme. — Soient C une catégorie, F : C^◦ → A un préfaisceau sur C à valeurs dans une catégorie complète A,X un objet deC et S un crible deX. (1) Si f :Y → X est un morphisme dans S etS⁰ est un crible de Y contenu dans

f^∗S, alors on a

(2.11) Φ^f_S,S0 = ΦY,S⁰ΦS,f.

(2) Soient f :Y →X un morphisme dans S,S⁰ un crible de Y contenu dansf^∗S, g:Z→Y un morphisme dansS⁰ etS⁰⁰ un crible deZ contenu dans g^∗S⁰. Alors on a

(2.12) Φ^g_S0,S⁰⁰Φ^f_S,S0 = Φ^{f g}_S,S00

Démonstration. — (1) Pour toutg∈T on a

ΦS⁰,gΦY,S⁰ΦS,f=F(g)ΦS,f = ΦS,f g,

où la première égalité provient de (2.4) et la deuxième provient de (2.3). L’égalité (2.11) résulte donc de l’unicité du morphismeΦ^f_S,S0 qui vérifie (2.10).

(2) D’après (1) on a

Φ^g_S0,S⁰⁰Φ^f_S,S0 = ΦZ,S⁰⁰ΦS⁰,gΦY,S⁰ΦS,f = ΦZ,S⁰⁰F(g)ΦS,f= ΦZ,S⁰⁰ΦS,f g= Φ^{f g}_S,S00

où les première et dernière égalités proviennent de l’énoncé (1) du lemme, la deuxième égalité résulte de (2.4) et la troisième égalité provient de (2.3).

2.4.3. Soient (C, J) un site et A une catégorie admissible. Soit F : C^o → A un foncteur. Pour tout objetX ∈ C, l’ensembleJ(X)est ordonné par la relation d’inclu- sion. CommeJ(X)est stable par intersection (cf. §2.1.6), on obtient que la catégorie associée àJ(X)est filtrante. On désigne parF⁺(X)la limite inductive

lim−→

S∈J(X)

F(S),

où, pour tous cribles S⊃S⁰, on considère le morphismeΦ_S,S⁰ :F(S)→F(S⁰)défini dans §2.2.3. Le composé du morphisme canonique F(X)→F(S)(cf. §2.2.2) avec le morphisme universel F(S) → F⁺(X) donne un morphisme de F(X) dans F⁺(X), qui ne dépend pas du crible S ∈J(X), appelémorphisme canonique deF(X)dans F⁺(X).

Le morphisme Φ^f_S,f∗(S) (cf. §2.4.1) composé avec le morphisme universel F(f^∗(S)) → F⁺(Y) donne un morphisme de F(S) dans F⁺(Y). Par pas- sage à la limite inductive par rapport à S ∈ J(X) on obtient un morphisme F⁺(f) : F⁺(X) → F⁺(Y). On peut vérifier que F⁺ définit en fait un foncteur de C^◦ dans A. En outre, les morphismes canonique F(X) → F⁺(X) définissent un morphisme de foncteurs deF dansF⁺, appelémorphisme canonique deF dansF⁺. Ce morphisme de foncteur est un isomorphisme lorsque F est un faisceau puisque

F(X) → F(S) est un isomorphisme pour tout X ∈ C et tout S ∈ J(X). Par la propriété universelle de la limite inductive, on obtient une bijection naturelle

(2.13) Nat(F⁺, G)∼= Nat(F, G)

qui est fonctorielle enF ∈Fon(C^o,A)^◦et G∈Fai(C, J,A).

2.4.4. Proposition. — Soient(C, J)un site etAune catégorie admissible. SoitF un préfaisceau surCà valeurs dansA. Alors le préfaisceauF est séparé si et seulement si le morphisme canonique F → F⁺ est un monomorphisme dans la catégorie de foncteursFon(C^o,A).

Démonstration. — SiFest un préfaisceau séparé, pour toutX∈ Cet toutS ∈J(X), le morphisme canonique F(X) → F(S) est un monomorphisme. Par passage à la limite inductive (filtrante), on obtient (d’après la proposition 2.3.4) que le morphisme canoniqueF(X)→F⁺(X)est un monomorphisme. On en déduit que le morphisme canonique F → F⁺ est un monomorphisme dans la catégorie de foncteurs (cf. la proposition 1.6.21.(1)).

Réciproquement, si le morphisme canonique ϕ:F →F⁺ est un monomorphisme dans la catégorieFon(C^o,A), d’après la proposition 1.6.21.(2),ϕ_X :F(X)→F⁺(X) est un monomorphisme pour tout X ∈ C puisque A est une catégorie complète (la condition (a) du §2.3.1). Cela montre que, pour tout X ∈ C et tout S ∈ J(X), le morphisme canonique F(X) → F(S) est un monomorphisme (cf. la proposition 1.2.10). DoncF est un préfaisceau séparé.

2.4.5. Théorème. — Soient(C, J)un site etAune catégorie admissible. Le fonc- teur d’oubli, de la catégorieFai(C, J,A)des faisceaux sur le site (C, J)à valeurs dans la catégorieA, dans la catégorieFon(C^o,A)des préfaisceaux surCà valeurs dansA, admet un adjoint à gauche a:F 7→F^a. En d’autres termes, on a une bijection

Nat(F, G)∼= Nat(F^a, G)

qui est fonctorielle enF ∈Fon(C^o,A)^◦ etG∈Fai(C, J,A).

Démonstration. — SoitF un préfaisceau dansFon(C^o,A). On montrera que le pré- faisceauF⁺ construit dans §2.4.3 est séparé et queF⁺ est un faisceau lorsqueF est lui-même séparé. Cela implique queF^a:=F⁺⁺est un faisceau, et le résultat provient donc des bijections fonctorielles

Nat(F^a, G)∼= Nat(F⁺, G)∼= (F, G),

qui sont des conséquences de (2.13).

2.4. FAISCEAU ASSOCIÉ À UN PRÉFAISCEAU 39

Étape 1 :Montrons queF⁺ est un préfaisceau séparé. SoientX un objet deCet S un crible dansJ(X). Il suffit de montrer que le morphisme

ψ= (F⁺(f))_f∈S: F⁺(X) // Y

(Y→X)∈S^f

F⁺(Y)

est un monomorphisme dansA(cf. la proposition 1.2.10.(1)). Si, pour tout morphisme f : Y → X dans S, on se dispose d’un crible Tf ∈ J(Y), alors le crible T des morphismes de la forme f g avec f ∈S et g ∈Tf appartient àJ(X)(cf. §2.1.8). Le cribleT est contenu dansS. Réciproquement, tout cribleT contenu dansS peut être construit de cette façon, en prenantT_f =f^∗(T)pour toutf ∈S.

Soient

(Tf)f∈S ∈ Y

(f:Y→X)∈S

J(Y)

et T ={f g|f ∈S, g∈T_f} ∈J(X). Les morphismesΦ^f_S,T

f (cf. §2.4.1) induisent un morphisme dans la catégorieA:

β :F(T)−→ Y

(Y→X)∈S^f

F(T_f),

qui est un monomorphisme. En effet, siA est un objet de Aet si ϕet ψ sont deux morphismes deA dansF(T)tel queβϕ=βψ, alors on a (d’après (2.10))

Φ_{T ,f g}ϕ= Φ_Tf,gΦ^f_S,T

fϕ= Φ_Tf,gΦ^f_S,T

fψ= Φ_{T ,f g}ψpour toutf ∈S et toutg∈T_f. Cela montre queΦT ,hϕ= ΦT ,hψpour touth∈T et doncϕ=ψ (cf. §2.2.3).

En prenant la limite inductive filtrante par rapport à (Tf)_f∈S ∈ Y

(Y→X)∈S^f

J(Y),

on obtient de la condition (c) de la définition 2.3.1 que le morphisme canonique F⁺(X)−→ Y

(Y→X)∈S^f

F⁺(Y)

est un monomorphisme.

Étape 2 : Il reste à vérifier que, si F est un préfaisceau séparé, alorsF⁺ est un faisceau. Montrons que, siX est un objet deC et si S est un crible dansJ(X), alors le morphisme canonique F⁺(X) → F⁺(S) est un isomorphisme, autrement dit, le diagramme

(2.14) F⁺(X) ^ϕ // Y

(Wf

→X)∈S

F⁺(W)

p1 //

p2 // Y

(Y→X)∈Su

Y

Z→Yv

F⁺(Z)

identifieF⁺(X) au noyau de p1 etp2, où ϕ= (F⁺(f))_f∈S, et les morphismes p1 et p2sont définis dans §2.2.2.

Soient

(T_f)_f∈S ∈ Y

(f:Y→X)∈S

J(Y)

et T={f g|f ∈S, g∈Tf} ∈J(X). Pour(u:Y →X)∈S etv:Z→Y, soit Tu,v:=Tuv∩v^∗Tu∈J(Z).

Montrons que le diagramme

(2.15) F(T) ^ψ // Y

(Wf

→X)∈S

F(Tf)

r₁ //

r2 // Y

(Y→X)∈Su

Y

Z→Yv

F(Tu,v)

identifieF(T)au noyau der₁ etr₂, oùψ= (ψ_f)_f∈S avec (cf. §2.4.1) ψf= Φ^f_{T ,T}

f :F(T)−→F(Tf), r1 est induit par

Φ_Tuv,Tu,vpr_uv: Y

(W→X)∈Sf

F(T_f)−→F(T_uv)−→F(T_u,v),

et r2 est induit par

Φ^v_Tu,Tu,vpr_u: Y

(Wf

→X)∈S

F(Tf)−→F(Tu)−→F(Tu,v).

Montrons d’abord que r₁ψ=r₂ψ. Pour tout u:Y →X dans S et tout morphisme v:Z →Y dansC, on a (d’après (2.12))

Φ_Tuv,Tu,vψ_uv= Φ_Tuv,Tu,vΦ^uv_{T ,T}

uv = Φ^uv_{T ,T}

u,v

et

Φ^v_T

u,T_u,vψ_u= Φ^v_T

u,T_u,vΦ^u_{T ,T}

u = Φ^uv_{T ,T}

u,v. SoientA∈ Aetη= (η_f) :A→Q

f∈SF(T_f)un morphisme dansAtel quer₁η =r₂η, c’est-à-dire que

(2.16) ΦT_uv,T_u,vηuv= Φ^v_Tu,Tuvηupour u∈S etv composable avecu.

Pour tout(h:Z →X)∈T qui se décompose comme h=uv avec(u:U →X)∈S et (v :Z →U)∈Tu, on définit un morphismeeηh:= ΦT_u,vηu deAdansF(Z). Cette définition ne dépend pas du choix de la décomposition deh. En effet, si h=f g est une autre décomposition avec(f :Y →X)∈S et(g:Z→U⁰)∈T_f, on a

ΦZ,T_u,v∩Tf,gΦT_u,vηu= Φ^v_Tu,Tu,v∩T

f,gηu= ΦT_u,v,T_u,v∩Tf,gΦ^v_Tu,Tu,vηu

= Φ_{Tu,v,Tu,v∩Tf,g}Φ_Tuv,Tu,vη_uv= Φ_{Tuv,Tu,v∩Tf,g}η_uv= Φ_{Th,Tu,v∩Tf,g}η_h

= ΦZ,T_u,v∩T_f,gΦT_f,gηf,

où la première égalité provient de (2.11), les deuxième et quatrième proviennent de (2.12), la troisième provient de (2.16), la cinquième provient du fait que uv = h et la dernière repose sur la symétrie de la formule par rapport aux décompositions uv=h=f g. Comme le préfaisceauF est supposé être séparé et commeTu,v∩Tf,g

2.4. FAISCEAU ASSOCIÉ À UN PRÉFAISCEAU 41

est un crible dans J(Z), on obtient queΦZ,Tu,v∩T_f,g est un monomorphisme et donc Φ_Tu,vη_u= Φ_Tf,gη_f.

Sih⁰:Z⁰→Z est un morphisme dansC, alors on a

F(h⁰)ηeh=F(h⁰)ΦT_u,vηu= ΦT_u,vh⁰ηu=ηehh⁰,

où la deuxième égalité provient de (2.3). On obtient donc l’existence d’un unique morphisme ηe : A → F(T) tel que Φ_{T ,h}ηe= eη_h pour tout h ∈ T. C’est donc aussi l’unique morphisme tel que Φ^f_{T ,T}

fηe=ηf pour tout f ∈S. On a donc montré que le diagramme (2.15) identifieψ au noyau de(r1, r2).

En prenant la limite inductive par rapport à (Tf)f∈S dans le diagramme (2.15), on obtient le diagramme suivant (où on utilise la condition (c) de l’admissibilité de la catégorieA)

F⁺(X) ^ψ

+ // Y

(W→X)∈Sf

F⁺(W)

r₁⁺

//

r₂⁺

// lim

(T−→_f)f∈S

Y

(Y→X)∈Su

Y

Z→Yv

F(T_v,u),

qui identifie ψ⁺ au noyau de (r₁⁺, r⁺₂). Le morphisme ψ⁺ est en outre égal au mor- phismeϕdans le diagramme (2.14). CommeFest un préfaisceau séparé, le morphisme canonique de foncteursF 7→F⁺ est un monomorphisme. DoncF(T_u,v)→F⁺(T_u,v) est aussi un monomorphisme. On en déduit, par la proposition 1.2.10, que le mor- phisme canonique F(Tu,v) → F⁺(Z) est un monomorphisme pour tout (u : Y → X)∈S et tout morphismev:Z →Y. Cela montre que le morphisme canonique

λ: lim

(T−→_f)_f∈S

Y

(Y→X)∈Su

Y

Z→Yv

F(Tu,v)−→ Y

(Y→X)∈Su

Y

Z→Yv

F⁺(Z)

est un monomorphisme car toute limite inductive filtrante préserve les monomor- phismes. On a en outre λr⁺_i =p_i (i ∈ {1,2}), où p₁ et p₂ sont comme dans le dia- gramme (2.14). On en déduit queϕ est le noyau de(p1, p2) = (λr₁⁺, λr⁺₂)puisque λ est un monomorphisme (cf. la proposition 3.1.3). Le théorème est donc démontré.

2.4.6. Soient (C, J) un site et A une catégorie admissible. Soit w: Fai(C, J,A) → Fon(C^o,A) le foncteur d’oubli. Si I est une catégorie petite et (F_i)_i∈I est un fonc- teur de I dans la catégorie des faisceaux Fai(C, J,A), alors la limite projective de (w(Fi))_i∈I dans la catégorie de foncteursFon(C^o,A)est un faisceau sur(C, J)à va- leurs dans A. Cela provient du fait que les limites projectives préservent les noyaux (cf. §1.8.4). On en déduit que la limite projective de (w(F_i))_i∈I dans la catégorie de foncteurs Fon(C^o,A) s’identifie à la limite projective de (Fi)_i∈I dans la catégo- rie de faisceauxFai(C, J,A). En particulier, la catégorie de faisceauxFai(C, J,A)est complète.

2.4.7. SoientIune catégorie petite filtrante et(Fi)i∈I un foncteur deIdans la caté- gorie de faisceauxFai(C, J,A). CommeAest une catégorie admissible, tout foncteur deI dansAadmet une limite inductive, et le foncteurlim

−→:Fon(I,A)→ Apréserve toute limite projective finie. On en déduit que la limite inductive de(w(Fi))i∈Idans la catégorie de foncteursFon(C^o,A)est un faisceau, et donc s’identifie à la limite induc- tive(Fi)_i∈I dans la catégorie de faisceauxFai(C, J,A). En outre, le foncteur de limite inductive lim

−→ : Fon(I,Fai(C, J,A)) → Fai(C, J,A) préserve les limites projectives finie.

2.4.8. Soit I une catégorie petite (non-nécessairement filtrante). On suppose que tout foncteur de I dans A admet une limite inductive. Si (Fi)i∈I est un foncteur de I dans Fai(C, J,A) et si G est un faisceau sur (C, J)à valeurs dans A, on a des isomorphismes fonctoriels

Fon(I,Fai(C, J,A))((Fi)_i∈I,∆G)∼=Fon(I,Fon(C^o,A))((w(Fi))_i∈I,∆_w(G))

∼=Fon(C^o,A)(lim

−→w(F_i), w(G))∼=Fai(C, J,A)(a(lim

−→w(F_i)), G).

Cela montre que le foncteur (F_i)_i∈I admet une limite inductive, qui est le faisceau associé au préfaisceau limite inductivelim

−→w(Fi).

2.5. Espaces annelés

2.5.1. Catégorie associé à un espace topologique. — Si X est un espace to- pologique, on désigne par TX la topologie de X, c’est-à-dire l’ensemble des parties ouvertes dans X. On la considère comme une catégorie telle que, pour tout couple (V, U)de parties ouvertes deX, l’ensemble des morphismes deV versU est un single- ton siV est contenu dansU, et est l’ensemble vide sinon. La composition est définie de façon naturelle. Si U, V et W sont des parties ouvertes telles que W ⊂V ⊂U, alors l’application de composition envoie l’unique élément de TX(W, V)× TX(V, U) en l’unique élément deTX(W, U).

2.5.2. Définition. — Soient X un espace topologique etA une catégorie. On ap- pelle préfaisceau sur X à valeur dans A tout foncteur de la catégorie T_X^o dans A.

Si F est un préfaisceau sur X à valeur dans A, pour tout couple (V, U) de parties ouvertes deXtelles queV ⊂U, on utilise l’expression|V pour désigner le morphisme deF(U)dansF(V) défini par le foncteurF. SiF₁ etF₂ sont deux préfaisceaux sur X, on appellemorphismedeF₁dansF₂tout morphisme de foncteursF₁versF₂. Les préfaisceaux surX à valeurs dansAet les morphismes de préfaisceaux forment ainsi une catégorie, qui s’identifie à la catégorie de foncteursFon(T_X^o,A).

Comme ce que l’on a vu dans le sous-paragraphe précédent, notamment dans l’exemple 2.1.11, si pour tout ouvert U de X on désigne par K(U) l’ensemble des recouvrements ouverts de U, alorsK devient une base de topologie de Grothendieck surTX. Dans le cas oùAest une catégorie complète, on dit qu’un foncteurF :T_X^o → A

2.5. ESPACES ANNELÉS 43

est un faisceau surX à valeur dans As’il est un faisceau par rapport à la topologie de Grothendieck engendrée par cette base de topologie de Grothendieck. On voit aus- sitôt du théorème 2.2.9 qu’un préfaisceauF :T_X^o → Aest un faisceau si et seulement si, pour toute partie ouvert U de X et tout recouvrement ouvert (Ui)i∈I de U, le diagramme suivant identifieϕau noyau de (q₁, q₂):

F(U) ^ϕ //Y

i∈I

F(U_i)

q₁ //

q₂ // Y

(j,k)∈I²

F(U_j∩U_k),

oùϕ= (|Ui)_i∈I etq₁etq₂sont induits par(|Uj∩Uk) pr_jet(|Uj∩Uk) pr_krespectivement, et

pr_`:Y

i∈I

F(Ui)→F(U`), `∈I

sont des morphismes universels. On désigne parFai(X,A)la sous-catégorie pleine de Fon(T_X^o,A)des faisceaux surX à valeurs dansA.

2.5.3. Proposition. — On suppose que la catégorieAest admissible (cf. la défini- tion 2.3.1). Alors le foncteur d’oubliew:Fai(X,A)→Fon(T_X^◦,A)admet un adjoint à gauchea:F 7→F^a.

Démonstration. — Ce résultat est un cas particulier du théorème 2.2.9.

2.5.4. Image directe. — SoientX etY deux espaces topologiques et f :X →Y une application continue. SiFest un préfaisceau surX à valeur dans une catégorieA, on construit un préfaisceauf∗(F)surY telle quef∗(F)(U) =F(f⁻¹(U))pour toute partie ouverteU deY. Le préfaisceauf_∗(F)est appelé l’image directe du préfaisceau F par l’application continue f. Cette construction est fonctorielle : f_∗ définit un foncteur de Fon(T_X^o,A)dansFon(T_Y^o,A).

2.5.5. Proposition. — Soient X et Y deux espace topologique et f : X → Y une application continue. Soit A une catégorie admissible. Alors le foncteur f_∗ : Fai(X,A)→Fon(T_Y^o,A)admet un adjoint à gauche f⁻¹.

Démonstration. — SoitGun préfaisceau surY. On définit un préfaisceauf^†(G)tel que, pour tout ouvertU deX,

f^†(G)(U) = lim

W⊃ϕ(U)−→

G(W),

oùW parcourt l’ensemble des ouverts deY contenantf(U). On désigne parf⁻¹(G)le faisceau associé à ce préfaisceau. Ainsi on définit un foncteurf⁻¹deFon(T_Y^o,A)dans Fai(X,A)tel quef⁻¹=af^†. On a des isomorphismes fonctoriels enF ∈Fai(X,A) enG∈Fon(T_Y^◦,A)^◦:

Nat(f⁻¹(G), F)∼= Nat(f^†(G), F)∼= Nat(G, f∗(F)),

où le premier isomorphisme provient de l’adjonction entre le foncteuraet le foncteur d’oubli de Fai(X,A) dans Fon(T_X^o,A), et le deuxième isomorphisme résulte de la propriété universelle de la limite inductive. L’énoncé est donc démontré.

2.5.6. Définition. — Soitf : X →Y une application continue d’espaces topolo- giques. Pour tout préfaisceau GsurY à valeurs dans une catégorie admissible A, le faisceauf⁻¹(G)est appeléimage inverse deGparf. SiX est un sous-ensemble de Y et si f est l’application d’inclusion, le faisceauf⁻¹(G)est aussi notéG|_X, appelé la restriction du faisceauGàX.

On suppose que l’espace X se réduit à un point y de Y et f : {y} → Y est l’application d’inclusion. SiF est un préfaisceau surX à valeurs dans une catégorie admissible A, on désigne parFy le faisceau f⁻¹(F), considéré comme un objet dans A. Par définition, on a

Fy∼= lim−→

U3y

F(U),

oùU parcourt l’ensemble des ouverts deY contenanty.

2.5.7. Remarque. — Soient f :X →Y etg:Y →Z deux applications continues d’espaces topologiques. Si F est un préfaisceau sur X à valeurs dans une catégorie admissibleA, alors on a(gf)_∗(F) =g_∗(f_∗(F)). Par l’adjonction entre l’image directe et l’image inverse, on obtient que, pour tout préfaisceau Gsur Z à valeurs dans A, (gf)⁻¹(G)est canoniquement isomorphe à f⁻¹(g⁻¹(G)). En particulier, si X est un espace topologique et siF est un préfaisceau surX à valeurs dansA, alors pour tout x∈X on aF_x^a ∼=Fx. En effet, si on note j l’application d’inclusion de{x} dansX, alors

Fx=j⁻¹(F) = (1Xj)⁻¹(F)∼=j⁻¹(1⁻¹_X (F))∼=j⁻¹(F^a) =F_x^a.

2.6. Espaces annelés et localement annelés

2.6.1. Définition. — On appelle espace annelé tout espace topologique X muni d’un faisceau d’anneauxOX(c’est-à-dire faisceau surXà valeurs dans la catégorie des anneaux). S’il n’y a pas d’ambiguïté sur le faisceau d’anneaux, on utilise l’expression désignant l’espace topologique sous-jacent à l’espace annelé pour représenter toute la donnée de l’espace annelé. Par exemple, l’espace annelé(X,OX)est simplement noté commeX s’il n’y a pas d’ambiguïté sur le faisceau d’anneauxOX.

2.6.2. Morphisme d’espaces annelés. — Soient X et Y deux espaces annelés.

On appelle morphisme de X dans Y toute application continue f : X →Y munie d’un morphisme de faisceaux

f^#:OY −→f∗OX.

2.6. ESPACES ANNELÉS ET LOCALEMENT ANNELÉS 45

SiX,Y etZsont trois espaces annelés, et si(f, f^#) :X→Y et(g, g^#) :Y →Z sont des morphismes, on définit le composé de(g, g^#)et (f, f^#)comme(gf, g^#g_∗(f^#)).

Ainsi les espaces annelés et les morphismes d’espaces annelés forment une catégorie que l’on noteEa.

2.6.3. Soient f : X → Y un morphisme d’espace annelé, x∈ X et y = f(x). On désigne parjx:{x} →Xetjy:{y} →Y les applications d’inclusion. Par l’adjonction entre les foncteurs f∗ et f⁻¹, le morphisme f^# : OY → f∗OX de faisceaux sur Y correspond à un morphismef_#:f⁻¹OY → OX de faisceaux surX. On obtient alors un homomorphisme d’anneaux

j_x⁻¹(f#) :j_x⁻¹(f⁻¹(OY))∼=j_y⁻¹OY =OY,y −→j_x⁻¹(OX) =OX,x.

2.6.4. On rappelle qu’un idéalmd’un anneauAest ditmaximalsi l’anneau quotient A/m est un corps (i.e. 0 6= 1 et tout élément non-nul est inversible). On dit qu’un anneau Aest local s’il admet un et un seul idéal maximal. SiA est un anneau local et si mest son idéal maximal, le corpsA/m est appelé lecorps résiduel deA.

2.6.5. Proposition. — Soient A un anneau local et m son idéal maximal. Tout élément deA\mest inversible.

Démonstration. — Montrons la contraposition de l’énoncé de la proposition. Soit a un élément non-inversible de A. L’idéal (a) engendré par aest strictement contenu dans A, donc est contenu dans l’unique idéal maximal de A. En particulier, on a a∈m.

2.6.6. Si Aet B sont deux anneaux locaux, on appelle homomorphisme local de A versB tout homomorphisme d’anneaux deAdansBqui envoie l’idéal maximal deA dans celui deB. Ainsi un homomorphisme local deAdansB induit par passage aux quotients un homomorphisme du corps résiduel deAdans celui deB.

2.6.7. SoitX un espace annelé. Si, pour toutx∈X, l’anneauOX,xest local, on dit que(X,O_X)est unespace localement annelé.

Soient X et Y deux espaces localement annelés. On appelle morphisme d’espace localement annelés tout morphisme d’espaces annelés f deX dansY qui induit (cf.

§2.6.3), pour chaque x ∈ X, un homomorphisme local de OY,f(x) dans OX,x. Les espaces localement annelés et les morphismes d’espaces localement annelés forment une catégorie que l’on note comme Ela. C’est une sous-catégorie (non pleine) de la catégorieEades espaces annelés.

SoitX un espace localement annelé. Pour tout pointx∈X, on désigne parκ(x) le corps résiduel de l’anneau local OX,x. Si U un ouvert de X et s est un élément de OX(U), pour tout point x ∈ U, on désigne par sx l’image canonique de s dans l’anneau localOX,x, et pars(x)l’image canonique desdans le corps résiduelκ(x).

2.6.8. Proposition. — SoientX un espace localement annelé,U un ouvert deX ets∈ O_X(U). Alors l’ensemble

D(s) :={x∈U|s(x)6= 0}

est un sous-ensemble ouvert de X. En outre, s|_D(s) est un élément inversible de OX(D(s)).

Démonstration. — Soitxun élément deD(s). Comme OX,x est un anneau local, la condition s(x) 6= 0 montre que sx est inversible (cf. la proposition 2.6.5). Comme OX,x = lim

−→V3xOX(V), il existe un voisinage ouvertV dex, contenu dansU, et un élément t ∈ OX(V) tel que s⁻¹_x = tx. Comme sxtx = 1, il existe un un voisinage ouvertW dex, contenu dansV, tel que s|Wt|W = 1. Cela implique queW ⊂D(s) car on a s_yt_y = 1 pour tout y ∈ W. En outre, en variant le point x ∈ D(s), par ce procédé on obtient un recouvrement ouvert(Wx)_x∈D(s) deD(s) tel ques|W_x soit inversible dansOX(Wx). Sixety sont deux points deD(s), on a

(s|_Wx)⁻¹|_Wx∩Wy = (s|_Wy)⁻¹|_Wx∩Wy

car ils sont tous l’inverse de s|W_x∩W_y. CommeOX est un faisceau, on obtient donc un unique élémentt∈ OX(D(s))tel quet|Wx =s|⁻¹_W

x pour toutx∈D(s). L’élément test donc l’inverse desdans l’anneauO_X(D(s)).

2.7. Spectre premier d’un anneau

Dans ce paragraphe, tout anneau est supposé être commutatif et unifère.

2.7.1. Spectre premier. — SoitA un anneau. On dit que d’un idéalp de Aest premier si l’ anneau quotient A/p est intègre (i.e. les élément d’unité et nul sont différents, et le produit de deux éléments non-nuls reste encore non-nul). On désigne parSpec(A)l’ensemble des idéaux premiers deA, appelé lespectre premier deA.

On convient que, dans un anneau intègre, l’élément nul et l’élément unité ne sont pas égaux. Par conséquent, quand on parle d’un idéal premier, on exclut l’idéal qui s’identifie à l’anneau lui-même. En particulier, siAest l’anneau nul (i.e. les éléments unité et neutre deAsont identiques), alors le spectre de Aest l’ensemble vide.

Par définition, un idéal p deA est premier si et seulement si l’ensembleA\pest une famille multiplicative de A, autrement dit,A\p contient l’élément unité et est stable par multiplication.

2.7.2. Fonctorialité du spectre premier. — Soit f : A → B un morphisme d’anneaux. Si q est un idéal de B, alors f⁻¹(q) est le noyau de l’homomorphisme d’anneaux composé

A ^f //B ^π //B/q.