dM Mds T 0 ! !

1

A.C. II - TRIÈDRE DE FRÉNET

1. Description vectorielle

• La trajectoire dʼun point est lʼensemble de ses positions successives, indé- pendamment de lʼordre dans lequel ces positions sont atteintes.

Une façon dʼétudier le mouvement dʼun point peut être de décrire les équa- tions de sa trajectoire (deux équations dans l'espace à trois dimensions), puis de décrire le mouvement sur cette trajectoire.

• On peut ainsi définir une abscisse curviligne s, longueur algébrique parcou- rue par M le long de sa trajectoire à partir dʼun point fixe M₀ de celle ci, choisi comme origine.

On définit alors la tangente (T) en M comme la limite de la droite de direction MMʼ quand Mʼ → M, et le vecteur unitaire de la tangente est :

!

T =

!

dM₀M ds (orienté dans le sens “positif” de s).

• On considère ensuite lʼangle dα entre les tangentes respectives (T) et (Tʼ) en M et Mʼ, puis la limite quand Mʼ → M : 1

R ⁼ d!

ds ; R est alors appelé

“rayon de courbure” de la trajectoire au point M considéré.

2

◊ remarque : si M est un point dʼinflexion de la courbe, le “rayon de courbure”

est infini (courbure nulle).

• On définit le vecteur unitaire normal en M par la limite :

!

N =

!

dT d" ^{= R}

!

dT ds ^.

◊ remarque : le point C situé à la distance R sur la normale en M est appelé

“centre instantané de rotation”.

• On définit enfin un vecteur unitaire “binormal”

!

B tel que le trièdre de Frénet (

!

T,

!

N,

!

B) soit orthonormé et direct.

• Avec ces notations, la vitesse de M sʼécrit :

!

v =

!

OM^•=

!

dM₀M ds

ds dt ^{= s}

•

!

T.

◊ remarque : cette vitesse de M nʼest pas calculée par rapport à un référentiel dont (M ;

!

T,

!

N,

!

B) est un repère (une telle vitesse serait nulle !) ; cʼest la vitesse calculée par rapport à (O;

!

u_x,

!

u_y ,

!

u_z ), réexprimée dans la base de Frénet.

• On obtient de même pour lʼaccélération :

!

a =

!

OM^•• =

!

v^• = s^••

!

T + s^•2 R

!

N.

◊ remarque : compte tenu de

!

v = s^• on peut écrire :

!

a =

!

a_T +

!

a_N avec :

!

a_T = s^•• =

!

v^• et a_N = v² R ^.

2. Description géométrique

• La méthode précédente peut aussi être exprimée de façon géométrique.

Dans un premier temps, on détermine la tangente à la courbe ; c'est la droite la plus proche possible de la courbe au voisinage du point M considéré.

3

Pour décrire la courbure, on peut ensuite chercher le cercle le plus proche de la courbe au voisinage de M : si la courbure n'est pas nulle, la tangente en M et un point Mʼ définissent un cercle, la limite pour Mʼ → M est le “cercle osculateur” de la courbe en M.

Le rayon du cercle osculateur est le rayon de courbure (pour le point M consi- déré) et son centre est le centre instantané de rotation.

3. Exemple du mouvement hélicoïdal

• On considère un mouvement hélicoïdal sur un cylindre de rayon r :

!

OM = r

!

u_r + z

!

u_z

avec : θ = θ(t) et z = h θ(t) (où h est une constante).

• La vitesse et l'accélération sont :

!

v = rθ^•

!

u_" + z^•

!

u_z = rθ^•

!

u_" + hθ^•

!

u_z ;

!

a =

!

v^• = rθ^••

!

u_" - rθ^•2

!

u_r + hθ^••

!

u_z .

• Avec les notations de Frénet : R = r² +h²

r > r ;

!

T =

!

ru_" +hu_z

r² +h²

(selon θ croissant) ;

!

N = -

!

u_r (vers lʼaxe).

• On obtient ainsi (où Ω = α^• est la vitesse angulaire autour du centre instan- tané de rotation) :

!

v = rθ^•

!

u_" + hθ^•

!

u_z = RΩ

!

T ;

!

a =

!

v^• = θ^••.(r

!

u_" + h

!

u_z ) - rθ^•2

!

u_r = RΩ^•

!

T + v² R

!

N.

◊ remarque : la courbure dʼune courbe plane nʼest pas égale à la courbure (nulle) du plan, de même ici R est différent du rayon (r) du cylindre.