A437- Excursion à la japonaise [** à la main]
Solution de Vincent Vermaut
Dans un premier temps, nous considérons les longueurs possibles de colliers. Nous obtenons les longueurs 3 (055), 4 (2684), 12 (134...), 20 (022...) et 60 (011...).
La somme de ces longueurs étant égale à 99 (seul la paire 00 n'apparaissant trivialement pas), chaque couleur sera reprise 20 ou 21 fois. Nous obtenons alors la solution
20*60+21*20+20*12+21*4+21*3 et un ensemble de 103 personnes Solution de Michel Boulant
Il y a 5 colliers différents:
011235831459437077415617853819099875279651673033695493257291 à 60 perles 02246066280886404482 à 20 perles
055 à 3 perles
134718976392 à 12 perles 2684 à 4 perles
Or 2007=20*99+27. En choisissant (20)*60+(21)*20+(21)*3+(20)*12+(21)*4, on retrouve bien 2007, pour un effectif total du groupe de 103 personnes.
Autre solution
Quand on analyse les sommes a + b modulo avec a et b compris entre 0 et 9 ( a = b =0 exclu), on constate que les 10*10 – 1 = 99 couples possibles se répartissent en 5 sous-ensembles selon la longueur du cycle :
- longueur 60 : c’est le cycle le plus long avec le couple (0,1) au départ. On retrouve la séquence des derniers chiffres de la suite de Fibonacci dont la fréquence bien connue est de 60 : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, 1, 7, 8, 5, 3, 8, 1, 9, 0, 9, 9, 8, 7, 5, 2, 7, 9, 6, 5, 1, 6, 7, 3, 0, 3, 3, 6, 9, 5, 4, 9, 3, 2, 5, 7, 2, 9, 1
- longueur 20 : le couple (0,2) donne la séquence suivante : 0, 2, 2, 4, 6, 0, 6, 6, 2, 8, 0, 8, 8, 6, 4, 0, 4, 4, 8, 2
- longueur 12 : en partant de (1,3) on obtient la séquence : 1, 3, 4, 7, 1, 8, 9, 7, 6, 3, 9, 2 - longueur 4 : ce cycle est défini par la séquence : 2, 6, 8, 4, 2, 6
- longueur 3 : c’est le cycle le plus court avec 0, 5, 5
On vérifie que le nombre total de couples 99 est bien la somme 60 + 20 + 12 + 4 +3.
Il s’agit donc de trouver les entiers p, q, r, s et t tels que 60p + 20q + 12r + 4s + 3 t = 2007 avec max(p,q,r,s,t) – min(p,q,r,s,t) = 1.
Si tous les termes p,q,r,s,t étaient identiques à une même valeur x, on aurait 99x = 2007. D’où x proche de 20. Il est donc naturel de poser p’ = p -20, q’ = q – 20, r’ = r -20, s’ = s-0, et t’ = t -20.
D’où l’équation 60p’ +20 q’ + 12r’ + 4s’ + 3t’ = 2007 -20*99 = 27 avec 0p’,q’,r’,s,’,t’1.
Il apparaît que la seule solution possible est donnée par p’ = 0, q’=1, r’ = 0, s’=1 et t’=1.
L’effectif global du groupe de mathématiciens-touristes est alors de 20 + 21 + 20 + 21 + 21 = 103 personnes avec la répartition (20,21,20,21,21) selon la longueur des colliers
(60,20,12,4,3).
