A20118. Question de transcendance
Avec les nombres π et e, “princes de l’analyse math´ematique”, je forme la sommeπ+eet le produitπe. Que pensez-vous des affirmations suivantes ? a) somme et produit sont transcendants,
b) l’un d’eux est transcendant, l’autre non, c) aucun d’eux n’est transcendant.
Solution
Dans l’´etat actuel de nos connaissances,
– l’affirmation a) est plausible, mais non d´emontr´ee ;
– l’affirmation b), sans ˆetre vraisemblable, n’est pas exclue ;
– l’affirmation c) est certainement fausse : si s=π+e´etait solution d’une
´equation alg´ebrique f(s) = 0, etp =πesolution d’une ´equation alg´ebrique g(p) = 0, l’´elimination de s entre les ´equations f(s) = 0 et g(sx−x2) = 0 fournirait une ´equation alg´ebrique h(x) = 0 (`a coefficients entiers comme f et g) admettant x = π et x = e pour solutions, contredisant les r´esultats classiques de Charles Hermite et Ferdinand von Lindemann sur la transcen- dance deeet de π.
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