A20273. O` u est Max ?
On sait qu’une certaine fonction f(x) est croissante de x = 0 `a x = m, puis d´ecroissante de x = m `a x = 1, mais le param`etre m est inconnu.
On veut le d´eterminer `a 0,001 pr`es, mais on ne peut le faire qu’en ´evaluant num´eriquement f(x) pour diverses valeurs de x.
Combien de valeurs def(x) faut-il calculer, au moins ? Solution
Quatorze calculs def(x) suffisent.
La d´emarche optimale fait appel au nombre d’or ϕ. Si Max (la valeur m) est localis´e dans un intervalle (a, d), le calcul en deux valeurs interm´ediaires (a < b < c < d) localise Max dans (a, c) si f(b) > f(c), dans (b, d) si f(b) < f(c). La position optimale de b et c dans (a, d) est telle que, pour l’´etape suivante,b soit en position optimale dans (a, c) etc soit en position optimale dans (b, d), avec seulement un calcul suppl´ementaire de f(x).
Cette condition s’´ecrit
(b−a)/c−a) = (d−c)/(d−b) = (c−a)/(d−a) = (d−b)/(d−a) et conduit `a
(b−a)ϕ2= (c−b)ϕ3 = (d−c)ϕ2 = (d−a).
Alors, apr`es le premier calcul de f(x), chaque calcul r´eduit du facteur ϕ l’intervalle o`u est localis´e Max.
Comme ϕ13 > 521, cet intervalle est inf´erieur `a 1/521 apr`es 14 calculs, et son milieu donnem `a la pr´ecision d´esir´ee.
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