D1899. Comment compliquer un cas simple
On donne le cercleΓ et un diam`etreDD0. Aest un point deΓ.
Le cercleΓ1 est tangent int´erieurement `aΓ enD.
E est la 2`eme intersection deAD et deΓ1.
Γ2est l’homoth´etique de Γ1 de centreD et de rapport DE EA.
N est la 2`eme intersection de∆et deΓ2, etM est l’inverse deN par rapport
` a Γ1.
La perpendiculaire `a∆enM coupeΓenB etC.
F est l’intersection deM Eet de Γdu cˆot´e oppos´e `aE.
G=N E∩F D.
/Q1 Montrer queH= AG∩M E est l’orthocentre deABC.
/Q2 Lieu deGquand Ad´ecritΓ.
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Γ2ne sert qu’`a d´efinir le pointN. En posantr= DE
DA, il vient : DN = DD0 r
1−r
N P =N D−DP =DD0 r2
1−r (P : 2`eme intersection deDD0et Γ1) N P
N D =r= M P
M D puisque (D, P, M, N) =−1
1
Le cercleΓS homoth´etique deΓ1de centreM et de rapport 1
r a le mˆeme rayon que Γet il est ´egalement centr´e sur la m´ediatrice deBC. Soient Qet Q0 ses intersections avec cette m´ediatrice :
M Q=M P1
r =M D
ΓS est sym´etrique de Γpar rapport `a BC. On sait qu’il contientH.
Par construction le faisceau(ED, EP, EG, EF)est harmonique.
Comme AD0 est parall`ele `a EP, le faisceau (AD, AD0, AG, AF)est aussi harmonique, doncAGet AF sont isogonales dansABC.
GED\ =DEF\ et GAD\ =DAF\ ⇒ GF ⊥AD
Aet F sont diam´etralement oppos´es surΓ: AF contient le centre OdeΓet H est bien l’orthocentre deABC.
AG = AF = DD0 : le lieu deG est le cercle image de Γ par la translation
−−→D0D.
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