A369 ‒ Des nombres "miroirs" [*** à la main]
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Le carré parfait 36 = 62 peut s'écrire de cinq façons comme la différence de deux nombres de deux chiffres qui sont miroirs l'un de l'autre : 36 = 51 − 15 = 62 − 26 = 73 − 37 = 84 − 48 = 95 − 59
Démontrer qu'il existe en base 10 une infinité de carrés parfaits N² qui peuvent s'écrire de cinq façons comme la différence de deux nombres miroirs ayant le même nombre de chiffres que N².
Solution proposée par Daniel Collignon
Généralisons avec les N = 2*(10^n-1)/3 = 6...6 formés de n fois le chiffre 6.
Pour i dans {5,6,7,8,9}, nous avons (i...i) (i-4)...(i-4) - (i-4)...(i-4) (i...i) = 6...6^2 où ... représente n copies d'un chiffre
(i...i) (i-4)...(i-4) - (i-4)...(i-4) (i...i)
= 4*[(10^n+...+10^(2n-1))-(10^0+...+10^(n-1))] (*)
= 4*(10^0+...+10^(n-1))*(10^n-1)
= 36*(10^0+...+10^(n-1))*(10^n-1)/(10-1)
= [6*(10^0+...+10^(n-1))]^2
(*) cette forme indique clairement que le nombre de droite s'écrit avec 2n chiffres Ainsi cela donne
5511 - 1155 = 4356 = 66^2 6622 - 2266 = 4356
7733 - 3377 = 4356 8844 - 4488 = 4356 9955 - 5599 = 4356
555111 - 111555 = 443556 = 666^3 666222 - 222666 = 443556
777333 - 333777 = 443556 888444 - 444888 = 443556 999555 - 555999 = 443556
