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106 Polynésie septembre 2003

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106 Polynésie septembre 2003

On désigne parpun nombre entier premier supérieur ou égal à 7.

Le but de l’exercice est de démontrer que l’entier natureln=p4−1 est divisible par 240, puis d’appliquer ce résultat.

1.

Montrer quepest congru à−1 ou à 1 modulo 3. En déduire quenest divisible par 3.

2.

En remarquant quepest impair, prouver qu’il existe un entier naturelktel quep2−1=4k(k+1), puis quenest divisible par 16.

3.

En considérant tous les restes possibles de la division euclidienne dep par 5, démontrer que 5 divisen.

4.

1. Soienta, betctrois entiers naturels.

Démontrer que siadivisecetbdivisec, avecaetbpremiers entre eux, alorsabdivisec. 2. Déduire de ce qui précède que 240 divisen.

5.

Existe-t-il quinze nombres premiersp1, p2,..., p15 supérieurs ou égaux à 7 tels que l’entier A= p41+p42+...+p415soit un nombre premier ?

TS ARITHMETIQUE feuille 36

christophe navarri www.maths-paris.com

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