N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
A. V ACHETTE
Solutions des problèmes 27 (p. 247), 15 et 18 (p. 351), 38 (p. 395), t. Ier
Nouvelles annales de mathématiques 1
resérie, tome 2
(1843), p. 508-510<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1843_1_2__508_0>
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SOLUTIONS DES PROBLÈMES 27 (p. 247), 15 et 18 (p. 351), 38 (p. 395), LleT.
PAR. M. A. V A C H E T T E , Licencie es s>ciences.
Problème 27.
Soit la première équation/\.r) = 0 du degré m , la deuxième <p {y) — 0 du degré n , Véquation cherchée & ('Q = 0 sera du degré mu.
Désignons par S les sommes de /'(x), S'celles de ? (j ), S' celles de -^(Ç).
Cherchons généralemeni S"'2p et S'^-H
^
1 . 2 . />
pair On a zn suivant que/? est ou
impair S"2 p r l = [y —x)<iP^~\~.... = ™>i(
pair OÎI a dz suivant que/? est ou
impair, ou remarquant que ^ (a Ajr/f' +trA'lA>/') on aura
— 509 —
S''2P = mn (Sap + S'2„) — ^ ( S V - i S, - f S', S2p- ,) -j- __ ( S'2p—2S2 4" S'2S2p_2)
2/> + 1
3 ( S*2p S1 —
- j - - - — ( O2p _ i a 2
j 2 { p + i p
Problème 15.
Appliquons a y 3 , , , le degré de ^ (i) sera 6
S", =6(S't— S,)
S". = 6 {(S',+S9)~2SflSll
s"3 = 6 {(sf3 — s,) - sfS'A— S'Â) ;
s'f4 = 6 {(S'4 + S4 ) — ilS'aS.+ S^S,) 4- 6S'2S2}
S"5 = 6 j ( S '5- S , ) — 5(S'4S, — ff^J + 10(S'A — Sr^ ; S"6 = 6 {(S'6+ SJ - 6(S\S, + S'xS5) + 15(S'4S2+ S'2S4) -
Si/(.r) = 0 eio(y) =0 ont K racines communes, l'équa- tion K. = 0 a K racines nulles; on a donc ainsi un moyen de trouver le degré du plus grand commun diviseur entre deux polynômes d'une lettre, à coefficients numériques.
Problème 18.
Proposons-nous de chercher les sommes, deux à deux, des racines de la première avec celles de la donxième ; on aura
* N \ T>F M\TI1» M 11 ' V l
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i
S"2p = nin
Solution du problème 38 (p. 395).
L'équation
*"1 • rr'aax9xn-* • /aïxn~i— e t c revient à
ou
extrayant les racines ?ïeme$ on aura
n
.r y / 2 = r + a x = • 1 / 2 — 1
n n
mais | / s f a ^ valeurs que Ton obtient en multipliant \Z%
prise arithmétiquement par les n racines nièm^ de 1, donc les n valeurs de 2 seront
a
n / UK . . . W7T V
^ / y (^cos-+K _ ! sm - j - 1 ,
u ayant les valeurs 0 , 1 , 2,....(n—i
