N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
S. R ÉALIS
Identités arithmétiques
Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 9 (1870), p. 546-547
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IDENTITÉS ARITHMETIQUES;
PAR M. S. RÉALIS.
I. Ayant écrit suivant Tordre descendant la suite des puissances À* des n 4- i premiers nombres impairs, ainsi qu'il suit,
( 2 B + !)*, (2/1 — I)*, ( 2 7 7 - 3 ) * , . . . , 3*, I*,
on multiplie chaque terme par le terme correspondant de la suite
dans laquelle T,- est le coefficient de xl dans le dévelop- pement de (i — x)2 n + 1, et Ton désigne par f(k) l'ex- pression
Cela posé, si & est un impair positif qui ne dépasse pas
m — i , on a
ƒ ( * ) = < > ; pour hr = i n - j - i , on a
j f ( 2 « - f - l ) __ „„
1 . 2 . 3 . 4 - . . (2/ï 4- I)
II. On désigne par f (k) l'expression
dans laquelle « est un nombre entier plus grand que l'unité, et Tc est le coefficient de xl dans le développe-
ment de (i — xYn.
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Cela posé, si k est un nombre pair compris entre o et an, on a
ƒ(*)=«>;
si k = 2«, on a
/(an) = ^
i . 2 . 3 . 4 . • • (2n—1)2/2 2
