Note sur la question 350 (Wronski)

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

A NGE L E T AUNÉAC

Note sur la question 350 (Wronski)

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 16 (1857), p. 416-417

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(2)

BiOTE SUR LA QUESTION 3 5 0 (WRONSKI)

( voir p. 248 ) ;

PAR M. ANGE LE TAUNÉAC.

L'énoncé de cette question, tel qu'on le lit à la page 248, n'est peut-être ni très-clair ni très-exact. On pourrait, je pense, le modifier ainsi :

Étant donnée une équation

a7 x1l~2-\- . . -h «„_, x -f- an = o

dont les racines sont xx, x?, x3 , xn, calculer la Jonc- lion homogène de degré p :

Cela posé, la solution de M. Rriosclii peut être sim- plifiée et abrégée de la manière suivante :

La fonction homogène Bp est évidemment le coefficient de zv dans le produit des // séries

t -i- x> z -{- JC\ z7 + x] z* -+-. . , I •+- - r , Z - h x]z7 -\- x \ Z' - + - . . . ,

1 4- -rH z -f- .rjt z1 + xl z' -+-. . . .

D'ailleurs, pourvu que le module de la variable z soit suf- fisamment petit, ces séries ont pour sommes respective- ment

1 1 1 l — XXZ I X2Z I — XnZ ^

(*) Cette fonction B est colle que Wronski a désignée par la lettre hé- braïque ah'ph.

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donc

( i ) , n — r -. • =

Mais évidemment

*

(2) (1 — xt *) (1 — xiz). . . (1 — xnz

donc

z=z 1 -+-a{z •+- . . .-t- anzn\

Cette dernière relation donne d'abord

(4)

o — B, -+- rt,, o = B2+ B.âr, + f l j , o = B3 H- B2 a, -f- B, a2 -4- a,,

o = Bn 4 - Bn_, <7, -f- Bn_2 a2 - h . . . -f- B, «„_, 4 - ^n )

et, pour toutes les valeurs de p qui surpassent w, (5) 0 = 6^ + Bp., «, H- B^_2 a2 H- . . . -h B ^ . ^ , â!n_i -f- B^n #„.

Ces dernières formules ont été données par Wronski.