Solution analytique de la question 344 (Mannheim)

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

C ^REMONA

Solution analytique de la question 344 (Mannheim)

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 16

(1857), p. 79-82

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SOLUTION AMLYTIQUE DE LA QUESTION 344 (MANNIIEIM)

(voir t XV, p 383 \

PAR M. CREMONA, Professeur a l'unhersite do Padoue.

Soient cTj, Yi, Zi et x<>, ƒ 2, z2 les coordonnées des points A, O, relies des points B, C seront de la forme *

.r³ = x^x -f- A // , Y^ö = ƒ 1 -f- ). / , a:4 ~ x{ -f j / /w 5 ƒ» = ƒ , + p « ,

A, À, /, //i sont des quantités données , 1, y. deux indéter- minées^ donc

zzzz À

x{ — xx j , — y, m n i i x, f,

1 ^3 Xi

et analogiquement :>.AOC~

(3)

( 8G

11 s'ensuit

1 / ' , * 2 \ABO A OC

\

f V

f*

x2 —

\h —

— Xx 72 //

p m A

— 7i

rj — 7i / — p/2

* i — .r2

m

Xk— 72

mais les points R, C, O étant en ligne droite, on a

c'est-à-dire

,2-j .£,

A // — p. ni )

par conséquent,

i x2 72

I *3 73 I ^i J ,

= o ,

r2 — 7i

1

/ //

n rn — o,

m n

J?2 ' -^1 72 7»

/

X-2 X\ y> i (

m n

quantité indépendante de A, ƒ/. Donc, etc.

Théorème analogue dans l'espace.

Par un point O situé dans l'intérieur d'un triangle trièdre de sommet A, on mène un plan qui coupe les arêtes du trièdredans les points 13, C , D. Soient y, ^2, vz

les valeurs des trois pyramides AOCD, AODP>, AOBC;

je dis que la somme

y77, '-

est constante, de quelque manière qu'on mène le plan sécant.

Soient .7*1, y\ , z^x, r², y². r². . . ,r.^N, > s ? ^.s les coor-

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données des cinq points À, O, B, C , D; xx,y\ , zx, xt

y2, z% sont des quantités données ainsi que les a, /3, y on aura

P. 7.

4—Jt Z4—

*~~ n. ,

donc

1 .r, j , z,

h 7*

P» 7*

et par analogie

— ^1 ^ 2 — J . Zt —

«3 p3 73

«i p! 7«

«2 Pi 72

A , B, C sont des quantités connues ; d'où 1 o, -h ^ 4- p3 _ fxvA+ vXB-4-^C

Mais les points O, A, B, C étant dans un même plan , on a

1 x-, y* z2

= O,

MaMnat., t. XVI. ^IVlars 1857^

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( «2 )

remplaçant x3 par A#, -f- xx , y3 par Ay, -H ^ j , etc., on obtient

«« pi 7»

«2 f i 72

«. PJ 7S p-v A 4~ vA B -h )fx B = "Xav

donc

D

ité indépendante de / , p., v.

('/est ce qu'il fallait prouver.

par

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C REMONA