G10149. A la fˆ ete foraine
Dans une fˆete foraine, vous mettez une pi`ece dans une glissi`ere situ´ee au dessus d’un plateau. La pi`ece tombe alors sur un plateau carr´e divis´e en carreaux tous identiques. Lorsqu’elle tombe `a l’int´erieur d’un carreau, vous r´ecup´erez votre mise et une autre pi`ece de mˆeme valeur. Lorsqu’elle tombe sur deux carreaux ou plus, vous perdez votre mise. Enfin, lorsqu’elle sort, mˆeme partiellement, des limites du plateau, on vous rend votre mise pour recommencer. Sachant qu’on joue exclusivement avec des pi`eces de 50 cen- times d’euro de diam`etre d = 24 mm, de quelle taille doit ˆetre le cˆot´e des carreaux pour que le forain prenne en moyenne la moiti´e de sa mise au joueur ?
On supposera que la distance entre la glissi`ere et le plateau est suffisam- ment importante pour pouvoir consid´erer que la pi`ece a une probabilit´e
´equir´epartie de tomber sur l’un quelconque des points du plateau.
Solution
Soitale cˆot´e d’un carreau,na le cˆot´e du plateau.
Les lancers “utiles” (ne sortant pas des limites du plateau) sont ceux o`u le centre de la pi`ece est contenu dans un carr´e de cˆot´e na−d. Les lancers gagnants sont ceux o`u le centre de la pi`ece est contenu dans un desn2 carr´es de cˆot´e a−dcentr´es sur chacun des carreaux du plateau.
La probabilit´e d’un coup gagnant est ainsi p= n2(a−d)2
(na−d)2 .
Si le forain gagne en moyenne la moiti´e de la mise, c’est que rembourser deux mises `a chaque coup gagnant lui fait rembourser en moyenne une demi-mise par coup jou´e. Il doit y avoir en moyenne un coup gagnant pour 4 coups jou´es, et 4p= 1.
On en tirena−d= 2n(a−d), a=d(2−1/n). La taille des carreaux n’est pas ind´ependante de la taille du plateau.
Si la condition d’annulation des lancers ´etait “lorsque la pi`ece sort plus qu’`a moiti´e du plateau”, on trouveraita= 2d= 48 mm.
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