UNIVERSIT´E JOSEPH FOURIER 2016-2017 Unit´e d’Enseignement MAT 301
Examen du jeudi 5 janvier 2017
Dur´ee : 2h. Documents, calculatrices, t´el´ephones portables interdits.
Toute r´eponse doit ˆetre justifi´ee.
Dans ce sujet,K d´esigne un corps.
Questions de cours
1. Qu’appelle-t-on p.g.c.d. de deux polynˆomesP etQdeK[X]\{0}? (une d´efinition compl`ete est demand´ee.)
2. Comment cette notion se caract´erise-t-elle en terme d’id´eal deK[X] ? (la preuve n’est pas demand´ee.) En d´eduire que si D est un p.g.c.d. de deux polynˆomes P etQ deK[X], alors il existe deux polynˆomes A et B deK[X] tels queD =A.P +B.Q.
Exercice 1
Soient a, bdes r´eels. D´eterminer le rang de la matrice
1 0 1 0 a 1 0 1 1 b 1 0
.
Exercice 2
Soit P ∈C[X] le polynˆome :
P(X) = X8+ 2X6+ 3X4+ 2X2+ 1.
On note j =e2iπ/3. On rappelle quej3 = 1 et queX3−1 = (X−1)(X2+X+ 1).
1. Montrer que j2+j+ 1 = 0 et que j est racine au moins double de P.
2. En utilisant d’une part la parit´e de la fonction polynomiale associ´ee `a P, d’autre part le fait queP est `a coefficients r´eels, d´eterminer trois autres racines complexes de P.
3. Factoriser P en produit de facteurs irr´eductibles dans C[X] puis dans R[X].
Exercice 3
Dans la seconde partie de cet exercice, plusieurs questions peuvent ˆetre trait´ees en admettant les r´esultats des questions pr´ec´edentes.
Trigonalisation d’un endomorphisme - Dans cette partie, on consid`ere l’endomorphisme f deR3 dont la matrice dans la base canonique (e1, e2, e3) est :
mat(e1,e2,e3)f =
−3 2 1
−6 4 1
−2 1 2
.
1. Montrer que le polynˆome caract´eristique de f estχf(X) = (X−1)3.
2. Montrer que l’espace propre E1 de f est la droite vectorielle engendr´ee par le vecteur v1 = (1,2,0). L’endomorphisme f est-il diagonalisable ?
3. Montrer que (v1, e2, e3) forme une base deR3.
On note p la projection sur F = vect(e2, e3) parall`element `a E1 = vect(v1). On consid`ere l’endomorphisme g : F → F d´efini par g =p◦f|F, c’est-`a-dire g(x) = p(f(x)) pour tout x∈F.
4. a. D´eterminer g(e2),g(e3), puis la matrice de g dans la base (e2, e3).
b. D´eterminer un vecteur proprev2 deg.
c. Montrer que (v1, v2) est une famille libre et la compl´eter en une base (v1, v2, v3) de R3. d. D´eterminer la matrice de f dans la base (v1, v2, v3). Que constate-t-on ?
Cas g´en´eral - Soit E un espace vectoriel de dimension n sur un corps K. On dit qu’un endomorphisme f de E est trigonalisable s’il existe une base B de E telle que matBf est triangulaire sup´erieure.
5. On consid`ere un endomorphisme trigonalisablef deEet une baseBdeE telle que matBf est triangulaire. On note λ1, ..., λn les termes diagonaux de cette matrice. D´eterminer le polynˆome caract´eristique de f et montrer qu’il est scind´e.
Dans la suitef d´esigne un endomorphisme deE dont le polynˆome caract´eristique est scind´e, de la forme χf(X) = (X−λ1)...(X−λn).
6. Montrer qu’il existe une base (v1, ..., vn) de E telle que :
mat(v1,...,vn)f =
λ1 b2 . . . bn 0
... A
0
avecb2, . . . , bn ∈Ket A∈Mn−1(K).
On note F = vect(v2, ..., vn) et G= vect(v1).
7. Montrer que (v2, ..., vn) est une base deF et que E =F ⊕G.
On notepla projection surF parall`element `aGdansE. On noteg =p◦f|F l’endomorphisme deF d´efini par g(x) =p(f(x)) pour tout x∈F.
8. Montrer que mat(v2,...,vn)g =A.
9. a. Montrer que χf(X) = (X−λ1)χA(X).
b. En d´eduire que χg(X) = (X−λ2)...(X−λn).
On suppose que g est trigonalisable et on consid`ere une base (v20, ..., vn0) de F telle que la matriceT deg dans cette base soit triangulaire sup´erieure.
10. Montrer que (v1, v02, ..., v0n) est une base de E et que la matrice def dans cette base est triangulaire sup´erieure.
11. Montrer par r´ecurrence qu’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie est trigonalisable si et seulement si son polynˆome caract´eristique est scind´e.
