Note sur 20 Classe de 4 - DM 12janvier

(1)

Classe de 4

^ème

- DM 12 janvier

1. Calculs avec les relatifs

A = (+ 12 - 5) - [(- 4 + 6 - 9) + (- 4 + 11) - (+ 14 - 18)]

B = 12 - 7,4 + (18 - 35,2) - (24 - 32,6) 2. Calculs avec les fractions

C = 2 3 + 7

5 - 8 3 + 13

5 + 3 D = 32

15×27 56×21

36

3. Priorités dans le calculs E = 3 × 5 + 7 × 8 - (- 9 + 3) × 11 F = 4

15 × 3 - 13

20 × 4 + 2

4. Problème de proportionnalité

Si on parcourt 124 km en 1h 24 min., combien de temps faudra - t - il pour parcourir 217 km dans les mêmes conditions?

5. Calculs de pourcentage

Quel est le pourcentage de réduction si un article initialement au prix de 320 Fr. est soldé à 272 Fr.?

6. Problème à rédiger Exercice n° : 76 page 108

Note sur 20

Barème Note

Calculs avec les relatifs

Calculs exacts; présentation courte et correcte 1 + 1 Calculs avec les fractions

Calculs exacts; présentation courte, simple et correcte 1 + 1 Priorités dans les calculs

Calculs exacts; présentation courte et correcte 1 + 1 Proportionnalité

Problème présenté; solution claire 1 + 1

Pourcentages

Problème à rédiger Présentation du problème :

v Ce que l'on sait v Ce que l'on cherche

1 + 1

Résolution du problème 6

Qualité de la rédaction et des explications 1 + 1

(2)

Classe de 4

^ème

- DM 19 janvier

A = - 35 - [12 - (45 - 85) + (8 - 15)] + 7 B = 27 - [7,8 + (- 0,9 - 4,7)] - (- 6,6 + 0,9) 2. Calculs avec les fractions

C = 55 132 + 35

90 - 66 36 D = 7

32×40 49×42

45

3. Priorités dans le calculs E = 5

3 × 4 9 × 54

70 + 11 14 F = (2 +4

5 × 10

3 ) ÷ ( - 7 3 ) + 5

2 4. Problème de proportionnalité

Calculer la longueur AB sachant que (BD) // (CE), et que BC = 4 , BD = 5 et CE = 12.

On augmente la longueur d'un rectangle de 15%, et l'on diminue sa largeur de 15 %. Que se passe - t - il pour l'aire de ce rectangle ?

Note sur 20

Barème Note

Calculs exacts; présentation courte et correcte 1 + 1 Priorités dans les calculs

Pourcentages

1 + 1

Qualité de la rédaction et des explications 1 + 1 A

B

C

D E

(3)

Classe de 4

^ème

- DM 26 janvier 99

A = 19 - 51 + 17 - [12 - (24,5 +47 - 34,6)]

B = [- 4 - (13 - 17)] × [13 + (- 4 + 7)]

2. Calculs avec les fractions C = 56

48 + 21 28 - 52

117 D = 81

125 × 15 55 × 165

27

3. Priorités dans le calculs E = (2 - 30

18 ) ÷ (2 - 21 18 ) F = 3 ×13

15 - 2 ÷ 8 11

Les droites (BD) et (CE) peuvent elles être parallèles si AB = 62 cm, BC = 83,7 cm, AD = 55 cm et DE = 77 cm.?

On augmente de 12% la longueur des côtés d'un carré.

Quel est le pourcentage d'augmentation de l'aire de ce carré?

Note sur 20

Barème Note

Calculs exacts; présentation courte et correcte 1 + 1 Priorités dans les calculs

Pourcentages

1 + 1

Qualité de la rédaction et des explications 1 + 1 A

B

C

D E

(4)

Classe de 4

^ème

- DM 2 février 99

1. Calculs

A =

15 7 60 48 6 42

3 5 15

4 9 7

− +

× +

B =

2

7 3 7

5 5 7 3

2 



 

−

−

×



 

 −

C = 67,32 × 45,8 - 14,4 × 17,32 - 17,32 × 31,4 (trouver une méthode simplificatrice) 2. Problème de construction

ABI est un triangle tel que AB = 9 cm, AI = 4 cm et BI = 6 cm.

Construire ABI et le point C tel que I soit le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.

Sur un échantillon de 980 personnes, 161 d'entre elles ont déclaré avoir voyagé à l'étranger au cours de l'année écoulée. Si on respecte les résultats de ce sondage, quel est le nombre de personnes d'une petite vile de 29 400 habitants qui ont été à l'étranger?

4. Calcul d'aire

Note sur 20

Barème Note

Calculs

Calculs exacts; présentation courte et correcte 3 ×× 1 Problème de construction

Présentation du problème 1

Programme de construction 2

Construction 1

Problème de proportionnalité

Calculs exacts; présentation courte et correcte 2 Calcul d'aire

Méthode et calcul pour le quadrilatère 2

calculs, unités, pour les triangles 2

1

Résolution du problème (explication et rédaction) 6 1. Calculer l'aire du quadrilatère, en nombre de

carreaux.

2. Calculer l'aire de chacun des deux triangles, en nombre de carreaux.

3. Exprimer ces aires en cm² si le côté d'un carreau du quadrillage est

v 1^er cas : 5 mm v 2^ème cas : 8 mm.

(5)

Classe de 4

^ème

- DM 9 février 99

1. Calculs

Calculer A = 2a + 1 a + a

2a + 1 lorsque a = 2 3 Calculer B = (3a + 2) × (5 - 2a) lorsque a = - 5 Calculer C = 4a - 3 × 3a + 5

2 - a lorsque a = - 2 Calculer D = 3a + 2 × 5 - 2a lorsque a = - 1 4 2. Construction

ABC est un triangle avec AB = 9,4 cm, BC = 5,8 cm, et la médiane issue de C mesure 4,7 cm.

Une entreprise employait 1 365 personnes travaillant 39 h par semaine. Combien de personnes supplémentaires doit - elle engager si elle décide de réduire le temps de travail de 39 h à 35 h hebdomadaires. (on considère que le rythme de travail reste le même, ainsi que la quantité totale de travail à accomplir)

4. Calcul d'aire

Calculer l'aire de la partie grise.

5. Problème à rédiger Exercice n° : 64 page 178

Note sur 20

Barème Note

Calculs

Calculs exacts; présentation courte et correcte 4 ×× 1 Construction

Présentation 0,5

Programme de construction 1,5

Construction 2

proportionnalité

Présentation et solution 2

Calcul d'aire

Problème présenté; solution claire 4

Ce que l'on sait et ce que l'on cherche

1

48 m 27 m

21 m 19 m

25 m

84 m

(6)

Classe de 4

^ème

- DM 23 mars

1. Calculs

A = 3 × 5 – 7² B = 3 × (5 – 7)² C = (3 × 5 – 7)² E = 1,35 . 10⁷ × 2,8 . 10^{– 4} F = 6,3.10³

1,26 . 10⁸ + 4,2 . 10¹³ 3,5 . 10¹⁷ Pour E et F on montrera des calculs qui n'utilisent pas d'écriture décimale.

2. Le triangle rectangle

Dans chaque cas, montrer que l'on peut calculer la longueur AB, puis montrer ce calcul.

Cas n° 1 Cas n° 2 Cas n° 3 Cas n° 4 Cas n° 5

EFGH est un carré de 8 cm de côté

O est le centre du cercle de rayon 5 cm.

B est sur le cercle.

3. Construction

1. Rédiger la construction de la figure ci-contre.

2. Quelle est la nature du quadrilatère BMNP ?

4. Problème

[MP] et [NQ] sont deux diamètres perpendiculaires du cercle de centre O.

x désigne la longueur NI et y la longueur IJ.

Que peut – on dire de QI?

Calculer :

QJ² NQ² NO

puis A (l'aire du disque en fonction de ππ* ) dans chacun des cas suivants :

1. Lorsque x = 5 et y = 2 2. Lorsque x = 7 et y = 3 3. Lorsque x est le triple de y.

* : ne pas remplacer π par une valeur approchée.

E B F 10 10

H G

A

C

10

36°

B A

12 B

5,2

6,5 H

C A A

C

B 9

6

30°

60°

B C A

O

O N

M I

J P

Q

y x

N

A B C

P M

(7)

Classe de 4

^ème

- DM 30 mars

1. Calculs avec les puissances

a) Pour exprimer les distances dans l'Univers, on utilise l'année lumière (al). C'est la distance parcourue par la lumière en une année. Sachant que la lumière se déplace dans l'espace à une vitesse de l'ordre de 300 000 km /s, calculer une année lumière. Le résultat sera donné en écriture scientifique en km.

b) Calculer le temps que met la lumière pour nous parvenir du Soleil qui est situé en moyenne à 150 millions de km de la Terre.

c) L'Étoile polaire est à environ 350 a.l. de la Terre. Exprimer cette distance en km. (en écriture scientifique).

2. Problème de proportionnalité, puissance et volume

Un pétrolier s'échoue sur les côtes et son chargement de 344 000 tonnes de pétrole se répand à la surface de la mer. Sachant qu'un m³ de pétrole a une masse de 860 kg, et que la couche formée à la surface de l'eau a une épaisseur de 10^{– 2} cm, quelle est la surface en km² qui sera couverte par cette nappe?

3. Cubes et pavé

On remplit une boîte (en forme de pavé) de 40 cm de long, de 25 cm de large et de 15 cm de haut avec des cubes. On dispose de deux sortes de cubes : des petits de 5 cm d'arête, et des plus gros de 10 cm d'arête. On veut remplir la boîte sans laisser aucun vide, mais en utilisant le moins possible de cubes. Combien y aura – t – il de cubes dans la boîte?

4. Problème à rédiger

Quatre bocaux sont rangés ainsi que le montre le schéma dans une marmite pour une stérilisation. Les bocaux sont tous de même taille et ont un rayon de 6 cm.

Quel doit être le rayon minimum de la marmite (arrondi en cm) pour que les bocaux puissent tenir à l'intérieur?

(8)

Classe de 4

^ème

- DM 13 avril

1. Calculs avec des formules

1. Calculer le volume d'un cylindre droit de hauteur 12 cm et de rayon de base 5 cm.

2. Un cylindre droit a une aire latérale de 47,1 m² et une hauteur de 2,4 m. Quel est le rayon d'un disque de base?

3. Calculer la hauteur d'un cylindre de volume V et de rayon R dans les cas suivants :

• V = 220 cm³ et R = 2,5 cm

• V = 12 dm³ et R = 15 cm.

4. Calculer la hauteur puis le volume d'un cylindre droit dont l'aire latérale est 101 cm² et le rayon d'un disque de base est 1,6 cm.

2. Masse et volume; proportionnalité

Montrer que les deux pavés ci dessous ne sont pas dans la même matière.

Pavé 1 Pavé 2

Quelle serait la masse de pavés de mêmes dimensions s'ils étaient, chacun, constitué de la matière de l'autre pavé?

3. Plus court chemin sur un solide

Les points F et G sont les milieux des arêtes [BC] et [BE] du cube dessiné. Parmi les cinq "chemins" suivants qui vont de A à D, quel est le plus court?

D→B→A D→C→A D→F→A

D→E→A D→G→B→A

(C'est en utilisant le patron de ce cube que l'on pourra répondre) 4. Problème à rédiger

Exercice n° : 80 page 267

1 638 g 2 211,3 g

6 cm 5 cm

5,2 cm

6,5 cm 6 cm

4,2 cm

A B

G

E

D C F

(9)

Classe de 4^ème

- Corrigé du DM 12/1/99

A = (+ 12 - 5) - [(- 4 + 6 - 9) + (- 4 + 11) - (+ 14 - 18)] = + 7 - (- 7 + 7 + 4) = 7 - 4 = + 3 B = 12 - 7,4 + (18 - 35,2) - (24 - 32,6) = 4,6 - 17,2 + 8,6 = 13,2 - 17,2 = - 4

3 + 7 5 - 8

3 + 13

5 + 3 = 2 3 - 8

3 + 13 5 + 7

5 + 3 = - 6 3 + 20

5 + 3 = - 2 + 4 + 3 = + 5 D = 32

15 × 27 56 × 21

36 = 8 × 4 × 9 × 3 × 7 × 3 5 × 3 × 8 × 7 × 9 × 4 = 3

5 3. Priorités dans le calculs

E = 3 × 5 + 7 × 8 - (- 9 + 3) × 11 = 15 + 56 + 6 × 11 = 71 + 66 = 137 F = 4

15 × 3 - 13

20 × 4 + 2 = 4 5 - 13

5 + 10 5 = 1

Distance 124 km 1h 24

temps 217 km T 1h 24 min. = 84 min. T = 217 × 84

124 = 147 min. = 2h 27 min.

5. Calculs de pourcentage Prix initial 320 100 Prix réduit 272 ?

réduction 48 R

R = 100 × 48

320 = 15. La réduction est de 15%

6. Problème à rédiger Exercice n° : 76 page 108 La piste est constituée de deux longueurs

identiques (70 m) sur chaque ligne de course et de deux arcs de cercle qui forment un cercle entier, de diamètre variable. Le plus grand diamètre est égal à 62 m, et le plus petit est égal à 62 - 2 × 6 = 50 m.

Le périmètre de la forme est donc composé de deux longueurs de la pelouse et de la longueurs du cercle de diamètre D (variable). Donc P = 140 + π × D

Périmètre intérieur de la piste :

Pi = 140 + 50π . En prenant 3,14 pour π , on obtient : Pi = 140 + 157 = 297 m.

En prenant 3,15 pour π , on obtient : Pi = 140 + 157,5 = 297,5 m. Donc 297 < Pi < 297,5.

Périmètre extérieur de la piste :

P_e = 140 + 62π . En prenant 3,14 pour π , on obtient : Pe = 140 + 194,68 = 334,68 m.

En prenant 3,15 pour π , on obtient : Pe = 140 + 195,3 = 335,3 m. Donc 334,68 < Pe < 335,3 Les coureurs n'ont donc pas la même distance à parcourir dans les virages. Le décalage permet de compenser la plus grande distance à parcourir pour les coureurs "extérieurs".

Aire de la pelouse : aire du rectangle + aire du disque de rayon 25 m : A = 70 × 50 + π × 25² En prenant 3,14 pour π , on obtient :.A = 3 500 + 3,14 × 625 = 5 462,5 m²

En prenant 3,15 pour π , on obtient : A = 3 500 + 3,15 × 625 = 5 468,75 m².

Donc 5 462,5 m² < A < 5 468,75 m²

6 m 62 m

70 m

(10)

Classe de 4^ème

- Corrigé du DM 19 janvier

A = - 35 - [12 - (45 - 85) + (8 - 15)] + 7 = - 35 - (12 + 40 - 7) + 7 = - 35 - 45 + 7 = - 73 B = 27 - [7,8 + (- 0,9 - 4,7)] - (- 6,6 + 0,9) = 27 - (7,8 - 5,6) - (- 5,7) = 27 - 2,2 + 5,7 = 30,5 2. Calculs avec les fractions

C = 55 132 + 35

90 - 66 36 = 5

12 + 7 18 - 11

6 = 15 + 14 - 66 36 = - 37

36 D = 7

32 × 40 49 × 42

45 = 7× 8× 5× 2× 3× 7

8× 2× 2× 7× 7× 3× 3× 5 = 1 6 3. Priorités dans le calculs

E = 5 3 × 4

9 × 54 70 + 11

14 = 5× 4× 2× 9× 3 3× 9× 2× 5× 7 + 11

14 = 4 7 + 11

14 = 8 + 11 14 = 19

14 F = (2 +4

5×10

3 ) ÷ ( - 7 3 ) + 5

2 = (2 + 8

3 ) × (- 3 7 ) + 5

2 = - 14 3 ×3

7 + 5

2 = - 2 + 5 2 = 1

(BC) // (CE), donc AC AB = CE

BD . CE

BD = 12

5 = 2,4. Donc AC

AB = 2,4 , d'où AC = 2,4 × AB.

AC = AB + BC = 2,4 × AB , donc BC = 1,4 × AB , d'où AB = BC 1,4 = 4

1,4 = 40 14 = 20

7 ≈≈ 2,9 5. Calculs de pourcentage

On augmente la longueur d'un rectangle de 15%, et l'on diminue sa largeur de 15 %. On compare les aires des deux rectangles

initialement Après transformation

Longueur : L L × 1,15 , car ajouter 15% revient à multiplier par 1,15 Largeur : l l × 0,85 , car retirer 15% revient à multiplier par 0,85

Aire : A = L × l A' = L × 1,15 × l × 0,85 = L × l × 1,15 × 0,85

= A × 0,9775 = A × 97,75 % L'aire de ce rectangle diminue de 2,25 % . (car 100 - 97,75 = 2,25) 6. Problème à rédiger n°84 page 109

Données :

M ∈ (SR) ; RM = RT ; (∆) médiatrice de [MT] ; N ∈ (∆) Comparons les périmètres de RST et NST :

1.Périmètre de RST : (on l'appelle P)

P = ST + TR + RS. Or, RM = RT, donc P = ST + RM + RS M, R et S alignés, donc RM + RS = SM. D'où : P = ST + SM.

2.Inégalité triangulaire dans NSM : SM < SN + NM

3.Périmètre de NST : (on l'appelle P')

P' = ST + SN + NT . N ∈ (∆) , donc NT = NM, d'où : P' = ST + (SN + NM) SN + NM > SM (voir 2) , donc P' > ST + SM. Mais ST + SM = P (voir 1), donc P' >

P

S

N

M

R

T (∆)

(11)

Classe de 4^ème

- Corrigé du DM 29 janvier

A = 19 - 51 + 17 - [12 - (24,5 + 47 - 34,6)] = - 15 - (12 - 36,9) = - 15 + 24,9 = + 9,9 B = [- 4 - (13 - 17)] × [13 + (- 4 + 7)] = (- 4 + 4) × (13 + 3) = 0

48 + 21 28 - 52

117 = 7 6 + 3

4 - 4

9 = 42 + 27 +- 16 36 = 53

36 D = 81

125 × 15 55 × 165

27 = 9 × 9 × 5 × 3 × 5 × 3 × 11 5 × 25 × 5 × 11 × 9 × 3 = 27

25 3. Priorités dans le calculs

E = (2 - 30

18 ) ÷ (2 - 21 18 ) = 6

18 ÷ 15 18 = 6

18 × 18 15 = 6

15 = 2 5 F = 3 × 13

15 - 2 ÷ 8 11 = 13

5 - 2 × 11 8 = 13

5 - 11

4 = 52 - 55 20 = - 3

Si AB = 62 cm, BC = 83,7 cm, AD = 55 cm et DE = 77 cm.

AC

AB = 62 + 83,7

62 = 145,7

62 = 2,35 et AE

AD = 55 + 77 55 = 132

55 = 2,4.

AC AB≠ AE

AD , donc les droites ne peuvent pas être parallèles.

On augmente de 12% la longueur des côtés d'un carré. Il sont donc multipliés par 1,12.

L'aire est donc maintenant égale à : 1,12 × c × 1,12 × c = 1,12² × c² = 1,2544 × c² L'aire du carré est multipliée par 1,2544, soit une augmentation de 25,44%

6. Problème à rédiger Exercice n° : 82 page 179 Données : (AB) // (CD).

I centre du cercle circonscrit à ABC J centre du cercle circonscrit à ABD Montrons que (IJ) ⊥⊥ (DC)

Soit (∆ ) la médiatrice de [AB] .

Le centre du cercle circonscrit est le point de concours des médiatrices des trois côtés du triangle.

Donc I ∈ (∆ ) et J ∈ (∆ )

(IJ) et (∆ ) sont donc la même droite.

La médiatrice d'un segment est perpendiculaire à ce segment. Donc (∆ ) ⊥ (AB).

(AB) // (CD) et (∆ ) ⊥ (AB).

Si deux droites sont parallèles, alors toute droite qui est perpendiculaire à l'une est aussi perpendiculaire à l'autre .

Conclusion : (IJ) ⊥⊥ (CD).

(12)

Classe de 4^ème

- Corrigé du DM 2 février

1. Calculs

A =

15 7 60 48 6 42

3 5 15

4 9 7

− +

× +

= 7 9 + 4

9 7 + 4

5 - 7 15

=

11 9 105 + 12 - 7

15

= 11

9 110

15 = 11

9 × 3 22 = 1

6

B =

2

7 3 7

5 5 7 3

2 



 

−

−

×



 

 − = - 11

15 × 5 7 - 9

49 = - 11 21 - 9

49 = - 77 - 27

147 = - 104 147

C = 67,32 × 45,8 - 14,4 × 17,32 - 17,32 × 31,4 = 67,32 × 45,8 - 17,32 × (14,4 + 31,4)

= 67,32 × 45,8 - 17,32 × 45,8 = 45,8 × (67,32 - 17,32) = 45,8 × 50 = 2 290 2. Problème de construction

Programme de construction : v Tracer [AB] de 9 cm.

v Tracer un arc de centre A de rayon 4 cm et un arc de centre B de rayon 6 cm. Ils se coupent en I.

v Tracer [Ax) telle que IAx = BAI et [By) telle que IBy = ABI . Elles se coupent en C.

Nombre total de personnes 980 29 400 Ont voyagé à l'étranger 161 x 4. Calcul d'aire

Aire du quadrilatère :

A l'aire totale du carré, on retire les aires des quatre triangles rectangles "extérieurs". Ce qui donne

A_q = 8² - 1

2 × 3 × 4 - 1

2 × 3 × 5 -- 1

2 × 5 × 5 = 64 - 6 - 6 - 7,5 - 12,5 = 32 carreaux

Aire des triangles :

Triangle 1 : côté de 8 et hauteur de 3 : A₁ = 12 carreaux

Triangle 2 : côté de 8 et hauteur de 5 : A₂ = 20 carreaux

On retrouve A_q en ajoutant A₁ et A₂ .

aires en cm² si le côté d'un carreau du quadrillage est v 1^er cas : 5 mm

L'aire d'un carreau est donc 5² = 25 mm². Donc A_q = 25 × 32 = 800 mm² = 8 cm².

A₁ = 25 × 12 = 300 mm² = 3 cm² A₂ = 25 × 20 = 500 mm² = 5 cm² v 2^ème cas : 8 mm.

L'aire d'un carreau est donc 8² = 64 mm². Donc A_q = 64 × 32 = 2 048 mm² = 20,48 cm².

A₁ = 64 × 12 = 768 mm² = 7,68 cm² A₂ = 64 × 20 = 1 280 mm² = 12,8 cm² x = 161 × 29 400

980 = 4 830.

Œ •

(13)

Classe de 4^ème

- Corrigé du DM 2 février

5. Problème à rédiger Exercice n° : 83 page 179 Données :

RSTU est un parallélogramme.

K orthocentre de RST K' orthocentre de RTU

Montrons que O est le milieu de [KK']

K étant l'orthocentre de RST, (RK) est une hauteur de RST. Donc (RK) ⊥ (ST).

(RU) // (ST) et (RK) ⊥ (ST) donc (RK) ⊥⊥ (RU), car si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

K' étant l'orthocentre de RTU, (TK') est une hauteur de RTU. Donc (TK') ⊥⊥ (RU).

Si deux droites sont perpendiculaires à la même droite, alors elles sont parallèles.

(RK) ⊥ (RU) et (TK') ⊥ (RU) , donc (RK) // (TK').

De la même manière, on montre que (RK') // (TK)

Si un quadrilatère a ses côtés parallèles deux à deux, alors c'est un parallélogramme.

Dans le quadrilatère RK'TK, (RK) // (TK').et (RK') // (TK). Donc c'est un parallélogramme.

Dans un parallélogramme, les diagonales ont le même milieu.

On sait que O est le milieu de [RT] (car RSTU est un parallélogramme), donc O est aussi le milieu de [KK'].

O

R S

T U

K K'

(14)

Classe de 4

^ème

- DM 9 février 99

Résolution rédigée du problème 5

(15)

Classe de 4^ème

- Corrigé du DM 9 février

1. Calculs

Pour a = 2

3: A = 2a + 1 a + a

2a + 1 = 2× 2

3 + 1 2 3

+ 2 3 2× 2

3 + 1 =

7 3 2 3

+ 2 3 7 3

= 7 2 + 2

7 = 53 14 lorsque a = - 5 : B = (3a + 2) × (5 - 2a) = [3 × (- 5) + 2] × [5 - 2 × (- 5)] =

(- 15 + 2) × (5 + 10) = - 13 × 15 = - 195 lorsque a = - 2 : C = 4a - 3 × 3a + 5

2 - a = - 8 - 3 × - 6 + 5

2 - (- 2) = - 8 - 3 × - 1

4 = - 8 + 3 4 = - 29

4 lorsque a = - 1

4 : D = 3a + 2 × 5 - 2a = - 3

4 + 10 + 2

4 = 10 - 1 4 = 39

4 2. Construction

Programme de construction : Tracer [AB] de 9,4 cm

Placer le milieu I de [AB]

Tracer un arc de cercle de centre I et de rayon 4,7 cm.

Tracer un arc de cercle de centre B et de rayon 5,8 cm.

Les deux arcs se coupent en C.

Les 1 365 personnes travaillant 39 h par semaine accomplissaient 1 365 × 39 = 53 235 h de travail. En travaillant 35 h hebdomadaires pour accomplir la même quantité totale de travail, il faudra 53 235

35 = 1 521 personnes. Soit 156 personnes supplémentaires.

4. Calcul d'aire

Calcul de l'aire de la partie grise.

Commençons par calculer les dimensions manquantes :

HI = DE - (AI + HG) = 48 - (19 + 25) = 4.

Donc AH = 19 + 4 = 23.

BD = GE - AB = 84 - 21 = 63.

GF = AB + BC = 21 + 27 = 48.

FE = GE - GF = 84 - 48 = 36.

L'aire de la partie grise s'obtient en retirant à l'aire totale du rectangle les aires des quatre triangles "extérieurs".

A = GE × DE - (AB × AH

2 + GH × GF

2 + FE × DE

2 + BD × CK

2 )

= 84 × 48 - (21 × 23

2 + 25 × 48

2 + 36 × 48

2 + 63 × 19

2 ) = 4 032 - (241,5 + 600 + 864 + 598,5)

= 4 032 - 2 404 = 1 728 m²

48 m 21 m

19 m

25 m

84 m

H K

C D

E F

B A

G I

27 m

(16)

Classe de 4^ème

- Corrigé du DM 9 février

5. Problème à rédiger Exercice n° : 64 page 178 Données :

ABCD est un carré BEC est équilatéral O est le milieu de [BC]

Montrons que (AE) est bissectrice de OEB :

ABO = 90° (angle du carré) et OBE = 60° (angle du triangle équilatéral).

ABE = ABO + OBE = 90 + 60 = 150°

AB = BC (dans le carré) et BC = BE (dans le triangle équilatéral) , donc AB = BE, et le triangle ABE est isocèle. D'où : BEA = 180 -ABE

2 = 180 - 150 2 = 15°

Dans le triangle BEC équilatéral, O est le milieu de [BC] , [EO] est donc à la fois la médiane, la médiatrice, et la bissectrice de BEC; donc BEO = BEC

2 = 30°

BEA est la moitié de BEO , donc (AE) est bissectrice de OEB.

Autre démonstration possible :

AB = BC (dans le carré) et BC = BE (dans le triangle équilatéral) , donc AB = BE, et le triangle ABE est isocèle. D'où : BEA = BAE.

O est le milieu de [BC] et EB = EC (dans le triangle équilatéral). Donc (OE) est la médiatrice de [BC] . D'où : (EO) ⊥ (BC). Comme (AB) ⊥ (BC) (côtés du carré), alors (AB) et (EO) qui sont perpendiculaires à a même droite (BC) sont parallèles.

Pour ces parallèles coupées par la sécante (AE), les angles BAE et AEO sont alternes – internes, donc égaux.

BEA = BAE et BAE = AEO, dont BEA = AEO.

Conclusion : (AE) est bissectrice de OEB.

O

C

E B

A

D

(17)

Classe de 4

^ème

- DM 23 mars

Note sur 20

Barème Note

Calculs : 3 points

Calculs de A, B C et E : 0,5 chaque 2

Calcul de F 1

Le triangle rectangle : 7,5 points

Montrer dans chaque que les conditions permettent de calculer AB. 2,5

Calcul de AB : méthode et résultat 0,5 + 0,5 5

Construction 3 points

Justification de la nature du quadrilatère 1

Problème à rédiger : 6,5 points

Calculs détaillés pour le premier cas 2,5

Calculs plus rapides pour le cas 2 2

Cas n°3 2

Note sur 20

Barème Note

Calcul de F 1

Cas n°3 2

Note sur 20

Barème Note

Calcul de F 1

(18)

Classe de 4

^ème

- DM 23 mars

Cas n°3 2

(19)

Classe de 4^ème

-

Corrigé du DM 23 mars

Calculs

A = 3 × 5 – 7² = 15 – 49 = – 34 B = 3 × (5 – 7)² = 3 × (– 2)² = 3 × 4 = 12 C = (3 × 5 – 7)² = (15 – 7)² = 8² = 64

E = 1,35 . 10⁷ × 2,8 . 10^{– 4} = (1,35 × 2,8) × (10⁷ × 10^{– 4}) = 3,78 . 10³ F = 6,3.10³

1,26 . 10⁸ + 4,2 . 10¹³

3,5 . 10¹⁷ = 5 . 10^{– 5} + 1,2 . 10^{– 4} = 5 . 10^{– 5} + 12 . 10^–5 = 17. 10^{– 5} Le triangle rectangle

Cas n° 1 :

Dans BFG, rectangle en F : BF² = BG² – FG² = 10² – 8² = 100 – 64 = 36. Donc BF = 6.

EB = EF – BF = 8 – 6 = 2. De la même manière, EA = 2.

Dans AEB, rectangle en E : AB² = EB² + EA² = 4 + 4 = 8. D'où AB = 8 Cas n° 2 :

A = 180 – (B + C) = 180 – (30 + 60) = 180 – 90 = 90°. Dans le triangle ABC, rectangle en A, AB² = BC² – AC² = 9² – 6² = 81 – 36 =45. D'où : AB = 45

Cas n° 3 :

Dans le triangle ABC, rectangle en A, AB = BC × cosCBA = 10 × cos36 ≈ 8,1 Cas n° 4 :

Dans AHC, rectangle en H, HC² = AC² – HA² = 6,5² – 5,2² = 15,21. HC = 15,21 = 3,9.

HB = BC – HC = 12 – 3,9 = 8,1.

Dans HAB, rectangle en H : AB² = HA² + HB² = 5,2² + 8,1² = 92,65. D'où : AB = 92,65 Cas n° 5 :

ABC est rectangle en B car B est sur le cercle de diamètre [AC] . ABC est isocèle car BAC = BCA, d'où : AB = BC.

Donc : 2 × AB² = AC² = 10² = 100; d'où AB² = 50 et AB = 50 Construction

v Tracer [AC]

v Tracer un demi cercle C de diamètre [AC] . v Placer B sur [AC]

v Tracer les demi cercles C1 de diamètre [AB] et C2 de diamètre [BC]

v Tracer une demi droite [Ax) qui coupe C1 en M et C en N.

v Tracer [CN] qui coupe C2 en P.

v Tracer BMNP.

AMB est rectangle en M car M est sur le cercle de diamètre [AB]

BPC est rectangle en P car P est sur le cercle de diamètre [BC]

ANC est rectangle en N car N est sur le cercle de diamètre [AC]

BMNP.est donc un rectangle car il a trois angles droits.

(20)

Classe de 4^ème

-

Corrigé du DM 23 mars

Problème

(MP) est la médiatrice de [NQ] . I ∈ (MP) donc QI = NI = x

QJN est rectangle en J car J est sur le cercle de diamètre [NQ]. Donc QJI est rectangle en J.

QJ² = QI² – IJ² = x² – y².

Dans NQJ : NQ² = NJ² + QJ² = (x + y)² + x² – y².

NO = NQ

2 , donc NO² = NQ² 4 A = π × NO².

Cas général x = 5 et y = 2 x = 7 et y = 3 x = 3y QJ² x² – y² 5² – 2² = 25 – 4 = 21 7² – 3² = 49 – 9 = 40 (3y)² – y² =

9y² – y² = 8y² NQ² (x + y)² + x² – y² (5 + 2)² + 21 =

7² + 21 = 49 + 21 = 70

(7 + 3)² + 40 = 10² + 40 = 140

(3y + y)² + 8y² = (4y)² + 8y² = 16y² + 8y² = 24y²

NO² NQ²

4

70

4 = 17,5 140

4 = 35 24y²

4 = 6y²

A π × NO². 17,5 × π 35π 6y²π

(21)

Classe de 4

^ème

- DM 30 mars

Note sur 20

Exercice 1 : 4 points v Utilisation des écritures scientifiques v Calculs présentés et mis en évidence v Exactitude des réponses

v Choix dans la présentation des résultats Exercice 2 : 6 points v Calculs présentés et mis en évidence

v Mise en évidence des conversions nécessaires v Exactitude des réponses

Exercice 3 : 5 points v Présentation du problème

v Rédaction de la solution v Exactitude des réponses

Exercice 4 : 5 points.

v Présentation du problème

v Mise en évidence et justification des calculs v Rédaction de la solution

v Exactitude des réponses

Note sur 20

Exercice 1 : 4 points v Utilisation des écritures scientifiques v Calculs présentés et mis en évidence v Exactitude des réponses

v Choix dans la présentation des résultats Exercice 2 : 6 points v Calculs présentés et mis en évidence

v Mise en évidence des conversions nécessaires v Exactitude des réponses

Exercice 3 : 5 points v Présentation du problème

v Rédaction de la solution v Exactitude des réponses

Exercice 4 : 5 points.

v Présentation du problème

v Mise en évidence et justification des calculs v Rédaction de la solution

v Exactitude des réponses

(22)

Classe de 4^ème

- Corrigé du DM 30 mars

Calculs avec les puissances

Une année lumière : distance parcourue par la lumière en une année.

En une seconde 300 000 km En une minute 300 000 × 60 En une heure : 300 000 × 60 × 60 En un jour : 300 000 × 60 × 60 × 24

En une année : 300 000 × 60 × 60 × 24 × 365,25 ≈ 9,5 . 10¹² km.

Distance Terre – Soleil : 150 millions de km = 1,5 . 10⁸ km Temps de parcours pour la lumière : T = D

V = 1,5 . 10⁸

3 . 10⁵ = 500 secondes = 8 min. 20 s Distance Terre – étoile polaire : 350 × 9,5 . 10¹² = 3,3 . 10¹⁵ km.

Proportionnalité

Soit M la masse de pétrole : M = 344 000 tonnes = 344 000 00 kg = 3,44 . 10⁸ kg.

Soit V le volume de pétrole. Si 1 m³ correspond à 860 kg, alors V = 3,44 . 10⁶

860 = 4 . 10⁵ m³ 1 m³ = 10⁶ cm³ . Donc V = 4 . 10⁵ × 10⁶ = 4 . 10¹¹ cm³

La nappe forme comme un pavé dont on cherche la surface de base S et dont la hauteur (ici, l'épaisseur e) est de 10^{– 2} cm. V = S × e, donc S = V

e = 4 . 10¹¹

10^{– 2} = 4 . 10¹³ cm².

1 km² = 10¹⁰ cm², donc S = 4 . 10¹³

10¹⁰ = 4 . 10³ km² = 4 000 km².

Cubes et pavés

On commence par mettre deux rangées de cubes de 10 cm d'arête en laissant une largeur de 5 cm. Chaque rangée contenant quatre cubes, on peut en mettre 8.

Sur le fond, pour arriver à la même hauteur de 10 cm, il reste à remplir 5 cm × 40 cm. Pour cela, il faut deux couches de 8 cubes de 5 cm d'arête, soit 16 petits cubes. Pour arriver à 15 cm de hauteur, on rajoute une couche de 5 rangées de 8 petits cubes, soit 40 petits cubes. On a en tout : 8 grands cubes et 56 petits cubes, soit 64 cubes en tout.

Problème

Les quatre centres des bocaux forment un carré, dont le centre est le centre du fond de la marmite.

Les côté du carré est égal à deux rayons de bocal, c'est à dire 12.

Le diamètre D de la marmite est composé de

v l'hypoténuse h d'un triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle droit sont égaux à deux rayons de bocal : 12 cm

v et de deux rayons de bocal.

En appliquant la relation de Pythagore à ce triangle rectangle, on obtient : h² = 12² + 12² = 288.

Donc h = 288 et D = 288 + 12 ;

le rayon de la marmite est la moitié de D, soit 288 + 12

2 ≈ 14,5 cm

(23)

Classe de 4

^ème

- DM 13 avril

Note sur 20

Barème Note

Calculs avec des formules Masse et volume; proportionnalité

Plus court chemin

1 + 1

Qualité de la rédaction et des explications 1 + 1

(24)

Classe de 4^ème

- Corrigé du DM 13 avril

Calculs avec des formules V = π R²h

1) h = 12 cm et r = 5 cm. V = π R²h = π × 5² × 12 = 300π ≈ 942 cm³ 2) AL = 2π Rh , donc R = AL

2π h = 47,1

π × 4,8 = 3,125 cm 3) h = V

π R² si V = 220 cm³ et R = 2,5 cm, alors h = 220

π × 2,5² ≈ 11,2 cm si V = 12 dm³ et R = 15 cm = 1,5 dm, alors h = 12

π × 1,5² ≈ 1,7 dm.

4) h = AL

2π R = 101

2π × 1,6 ≈ 10 cm V = π R²h ≈ 3,14 × 1,6² × 10 ≈ 80,4 cm³ Masse et volume

Volume du pavé 1 : V1 = 5 × 5,2 × 6 = 156 cm³ Volume du pavé 2 : V2 = 6 × 6,5 × 4,2 = 163,8 cm³ Masse de la matière 1 au cm³ : 1 638

156 = 10,5 g/cm³ Masse de la matière 2 au cm³ : 2 211,3

163,8 = 13,5 g/cm³ Ces matières sont donc différentes.

Masse du pavé 1 dans la matière 2 : 156 × 13,5 = 2 106 g Masse du pavé 2 dans la matière 1 : 163,8 × 10,5 = 1 719,9 g Plus court chemin

Les faces Œ et • forment un rectangle.

(BC) et (ED) sont parallèles.

B est le milieu de [AE] et F est le milieu de [BC] , donc les points D, F et A sont alignés.

La plus courte distance de D à A s'obtient quand les points sont alignés.

C'est donc ce "chemin" D → F → A qui est le plus court.

Problème : la pyramide du Louvre.

V = AB² × h

3 = 34² × 22

3 ≈ 8 477 m³ Par la propriété des milieux : HI = AB

2 = 17 m.

Dans SHI : SI² = SH² + HI² = 22² + 17² = 773. SI = 773 ≈ 27,8 m.

ASBC = BC × SI

2 = 34 × 27,8

2 ≈ 472,6 m²

Aire du verre utilisé (4 faces) : 4 × 472,6 ≈ 1 890 m²

A

B

A F C

G

E D

Œ

•

A

S

C B

H D

I