,.
,....,.HAPITRE 6 - INFILTRATION (février 1986) 6 . 1 1 ntroduction
Le terme "infiltration" désigne communément le passage de l'eau à travers la sur
face du sol et son mouvement descendant. L'eau n'étant pas le seul fluide susceptible de pénétrer dans le sol, il est préférable d'identifier l'infiltration à toute pénétration d'un fluide mouillant dans un sol, à travers sa surface, sans intervention de forces autres que la capillarité et la pesanteur. Nous négligerons donc les écoulements liés à des gradients de concentration ou à des gradients thermiques . L'eau et l'air sont les deux fluides intervenant en permanence dans les processus naturels d'infiltration.
Pour l'hydrologue, l'infiltration, l'évaporation et le ruissellement sont des processus interactifs contrôlés par les apports extérieurs de matière (eau, air) et d'énergie. Ils dépendent de l'état du sol et de l'état de la végétation. Il serait donc logique de traiter le problème de la redistribution .des précipitations, à différentes échelles de temps et d'espace, à partir d'une analyse détaillée des transferts de masse et d'énergie dans le
....--..
stème sol - végétation - atmosphère. Si ce point de vue n'a été suivi que par un petit nombre d'auteurs, c'est probablement parce que les très nombreux travaux consa
crés aux diverses facettes de cette question donnent l'impression que. dans son ensem
ble, le probème est d'une insurmontable difficulté . On a donc cherché à le simplifier, d'abord en se plaçant dans des conditions particulières où chacun des processus évo
qués plus haut peut être analysé indépendemment des autres, ensuite en s'attachant à résoudre les problèmes les plus simples. Ainsi . la "théorie de l'infiltration" se réduit actuellement à l'analyse de certains écoulements en milieu poreux non saturé dans des conditions que l'on rencontre rarement en dehors du laboratoire. Malgré d'évidentes limitations, elle permet de résoudre certains problèmes d'hydrologie en s'appuyant sur des bases physiques relativement solides .
6 . 2 L e milieu non saturé 6 . 2 . 1 Défi ni ti ons
La zone non saturée englobe tout l'espace poreux compris entre la surface du sol et la surface libre d'un aquifère phréatique. Trois phases sont en présence:
une phase solide ou matrice;
une phase liquide correspondant à l'eau d'imbibition. laquelle contient toujours des substances dissoutes;
une phase gazeuse: l'air.
Le sol correspond à la tranche superficielle de la zone non saturée. Il se distingue par une intense activité biologique et biochimique.
6.2 . 2 Relations entre Je volume e t l a masse des constituants
On définit les grandeurs suivantes en se référant aux notations de la figure 6 . 1 .
_...,.
.>rosi té:
Teneur en eau:
Sat uration en eau:
Teneur en air:
n!:: v, 1 vt
ew!:: v w 1 vt s !:: w v w 1 v, e a = v 1 a vt Ces grandeurs sont liées par les relations:
6 . 2 .3 La pression capillaire
e w = n s w ew = n - ea
(6 . 1) (6.2) (6.3) (6.'1)
(6.5) (6.6)
Deux fluides qui ne se mélangent pas lorsqu'on les met en présence sont dits immis·
cibles. Chacun garde son identité propre et développe avec l'autre un ou plusieurs interfaces, sièges de tensions interfaciales encore appelées tensions de surface.
La différence de pression entre deux fluides, de part et d'autre de leur interface, est la "pression capillaire". C'est une grandeur non négative. Pour le système eau (indice w) - air (i ndice a), l a pression capill aire p est défi nie par: c
(6.7) Les hydrologues ont l'habitude d'exprimer cette pression en hauteur d'eau:
h !:: p 1 (p a) = h - h
c c w- a w (6.8)
he est la hauteur de pression capi l l aire, g l ' accélération due à l a pesanteur.
La figure 6 . 2 représente un élément d'interface. Sa courbure au point P est défi ·
,,,c! par:
1 1 2
x = + -- = (6.9)
r ' r" R
r' et r" sont des rayons de courbure de l'interface selon deux directions orthogonales;
R est le rayon de courbure moyen.
La loi de Laplace permet d'exprimer la pression capillaire en fonction de la courbure de l'interface. Dans Je cas du système eau - air:
(6 .10)
a \o\0 est 1 a tensi on i nterfaci ale eau - air que 11 on notera si mpl errent a.
On peut se représenter un milieu non saturé comme un assemblage de conduits capillaires, les pores, contenant de l'eau et de l'air. Ces deux fluides non miscibles sont séparés par des interfaces. La courbure de ces "ménisques", et donc la pression capillaire, dépendraient seulement de la teneur en eau. Ce schéma est en défaut pour les faibles teneurs et les milieux de texture fine. Un mince film d'eau adsorbée épouse alors le contour des éléments solides de la matrice. La forme de l'interface eau - air est dans ce cas insuffisante à rendre compte de la pression capillaire. JI faut faire inter
venir d'autres forces que la capillarité.
La relation teneur en eau - pression capillaire, souvent appelée "courbe de réten
tion" est caractéristique de chaque sol. Elle est influencée par la structure et la tex·
-"e du milieu ainsi que par les propriétés du fluide. Elle détermine les conditions d'utilisation de l'eau du sol par les plantes (fig. 6.3).
Différents auteurs (Gupta et Larson, 1979; Arya et Paris, 1982; H averkamp et Par/ange, 1983) ont proposé des modèles physico-empiriques de prédiction de la courbe de rétention à partir de la distribution granulométrique du milieu et d'autres paramètres aisément accessibles à la mesure.
La relation pression capillaire - teneur en eau diffère selon que l'humidité du sol augmente ou décroÎt (fig. 6 .'1). Une théorie de l'hystérésis a été développée à partir du concept de domaines indépendants. Mualem et Dagan (1975) décrivent plusieurs méthodes de simulation de cet effet.
6.3
É
coulements en milieu non saturéL'eau et l'air se déplacent simultanément dans l'espace poral non saturé: l'entrée d'eau dans le sol s'accompagne nécessairement d'une sortie d'air. JI peut également se .-..oduire un mouvement de vapeur d'eau, mais nous le négligerons.
6.3 .1
É
quation de continuiéLes équations de conservation de la masse pour l'eau supposée incompressible et pour l ' air, dans un écoulerrent unidirectionnel orienté selon xi' sont respecti verrent:
av w ae w
+ = 0 (6. 11)
ax. J at av a ae a
+ -- = 0 (6 .12)
ax. at
J
�
et v w sont les vitesses de l ' air et de l ' eau, au sens de Darcy (quotient du débit par l'aire apparente de la surface traversée).6.3 .2 Loi de Darcy et perméabilité relative
La loi de Darcy peut être étendue aux écoulements de fluides immiscibles en milieu non saturé. L'écoulement de l'eau est décrit par:
qiw =
-k. . ca ) 1� w
(
a P. w az)
k (a ) � w(
aP. w-- +
Pvf' -
= - k i j-
+J.l. w ax . 1 ax . 1 J.l. w ax . 1
az
)
Pvf/-
ax. 1 L'écoulement de l'air est régi par une expression analogue:
où:
-k.. ca J 1 JO a az
)
Pcfl-
ax. =1
kra(aa)
(
apa az)
k.. -+ pa-
If J.I ax. a- ax.
a 1 1
(6.13)
(6.1'1)
q. : i-ième co mposante du vecteur débit s ur{aci que, équi valent de la vitesse de 1 •
Darcy pour l'eau ou l'air;
k .. (a.): permiabi/ité effecti ve à l ' eau ou à l ' air, fonction de l a teneur en eau ou en 11 • a1r; .
k r. (a.): permiabilité relati ve, quotient de la perrréabilité effective par l a perrréabilité intrinsèque. C'est une fonction de la teneur en eau.
On admet toujours que la relation liant la perméabilité relative à la teneur en eau est indépendante de la composante considérée. La vitesse de Darcy équivalant au débit surfacique apparent, on écrit pour le fluide i:
k. 1 ca.) 1
v. =1 ---
J.l· 1
(grad pi + pig grad z) (6.15)
Tout comme la pression capillaire, les perméabilités relatives dépendent de la répartition microscopique des fluides dans l'espace poral (fig. 6. 5). On constate donc un effet d' hystérésis dans la relation k .(a.). r1 1
Différents modèles physico-empiriques s'efforçent de rattacher la perméabilité re/a·
tive à des caractéristiques aisément mesurables du milieu poreux considéré.
Marle fait remarquer, au sujet des relations pression capillaire - teneur en eau et perméabilité relative - teneur en eau, qu'il n'existe a priori aucune raison pour qu'elles soient les mêmes selon que les fluides sont à l'équilibre ou en repos. C'est pourtant ce que l'on suppose implicitement puisque ces relations sont déterminées expérimentalement dans des conditions proches de l'équilibre.
P-...q Infiltration dans un sol nu sous charge hydraulique constante 6 .'1 � 1 Modèle de Green et Ampt (1911) et modèles dérivés
Ces auteurs analysent l'infiltration dans une colonne de sol verticale, semi-infinie, homogène, dont l'extrémité supérieure est submergée à partir de l'instant t = 0 par une lame d'eau d'épaisseur constante H (fig. 6.6). Les hypothèses retenues sont les sui
vantes:
• Il existe un interface abrupt, appelé "front d'infiltration", entre une zone saturée ce = e s ) progressant vers le bas au cours du temps et une zone où la teneur en eau est égale à sa valeur initiale (e = e.). 1
• Le front est caractérisé par une "hauteur de pression ca pi /lai re" Hf. Pour les autres notations, se référer à la figure 6.6.
La loi de Darcy, appliquée entre la surface du sol et le front d'infiltration situé à la profondeur zf perrrEt de calculer le débit i nfiltré:
1 = K s = K + s = A+ B (6.16)
Ks est la perm§abilité à saturation effective, laquelle est toujours i nférieure à 1 en raison du piégeage d'air dans certains pores.
La vitesse d'avancée du front d'infiltration est:
V = dz f = K (H + Hf + z f) = K
(
H + Hf + z f)
f dt s zf (es - a;) s
w où W est l'infiltration cumulée, exprimée en hauteur d'eau.
En intégrant (6 .17), on obtient:
ou encore:
---
= Z f - (H + Hf) Ln es - ai(6 .11)
(6.18)
(6 .19)
Tous les paramètres de ce rrr:>dèle sont bien définis, à l'exception de Hf que l'on interprète comme une valeur représentative de la hauteur de pression capillaire pour le front d'i nfiltration réel. Bouwer (196'1) suggère de relier Hf à une caractéristique
5
-�surable du sol:
... ante:
la perméabilité relative à l'eau, par la relation de pondération sui-
h ce.)
Hf =
f
c 1 k (h ) dh=
0 rw
c ch .
J 0
Cl krw
(he) dh c (6 .20)Bien qu'arbitraire, cette esti rootion de Hf a perrris d' obtenir de bonnes prédic
tions de l'infiltration.
Morei-Seytoux et K hanji, 1974, ont établi une solution complète du problème en tenant compte de la présence d'air dans le sol. Le débit infiltré est donné par:
1 =
K s
(
H + H c + ceB( a: eJ
sw
a i)
)
(6.21)
où 13 est une facteur de correction visqueuse, sans dimension, caractéristique du sol et du fluide. Il est défini par:
e dl fw
13 = ce - e .) fas
-
J.l (e)--
des 1 r rt del (6.22)
Le volume W infiltré au temps t est donné par (6 .23), expression presque identique au résultat (6.19) de Green et Ampt.
Kst = W - (H + H ) (e - e .) Ln
[
1 +13 c s 1 (6.23)
Le terme a mbigu Hf de (6 . 19) est remplacé par une quantité bien définie: l a JUssée capillaire effective":
h .
H c
= f
0 Cl f dh w cLes fonctions f et w À r t sont défi nies par:
(6.24)
6
est la viscosité relative totale.
k rw
1
(6.25)
(6.26)
Morei-Seytoux et Khanji ont complété ces rés ultats en 1975 par une analyse des effets de l'air sur l'infiltration , dans le cas d'une colonne de sol limitée en profondeur par une couche imperméable ou une surface libre.
Le modèle d'infiltration dans un sol s ubmergé par une lame d'eau d'épaisseur peu variable peut être appliqué à la résolution de divers problèmes pratiques: évaluation des fuites des canaux et des retenues d'eau , conduite de l'irrigation, infiltration des crues des oueds, etc. Nous développerons ce dernier point en raison de son importance pour les zones arides .
6 . 3 .2 L'infiltration des crues des oueds
Les aquifères des régions arides chaudes sont parfois rechargés par l'infiltration de crues produites par des averses de forte intensité.
Nous considérons un tronçon de lit d'oued de largeur 2L, initialement sec, que nous s upposons être instantanément submergé par une lame d'eau ruisselante de hauteur H . Le processus d'infiltration comporte deux phases:
• D ès la submersion du lit de l'oued, le sol commence à se saturer par la surface. Cette zone saturée tend à se développer vers le bas tout en s'élargissant (fig . 6 . 8 a) . -r:omme en général le lit de l'oued est assez large, on peut admettre que l'écoulement d'infiltration est vertical. On se trouve donc, pourvu que la hauteur H ne soit ni trop faible ni trop variable dans le temps , dans les conditions d'application du modèle de Green et Ampt. • Après qu'un certain temps se soit écoulé depuis le début de la submersion du lit, le front d'infiltration atteint la surface libre de l'aquifère (fig . 6 . 8 b). Un débit 2q0 par unité de longueur d'oued est alors infiltré et il s'établit une continuité du modèle saturé entre l'oued et l'aquifère.
À
cet instant, on pose t = 0.La réponse de la surface libre de l'aquifère à une injection d'eau à travers le plan x = 0 peut être déterminée en résolvant l'équation de Boussinesq pour un écoulement unidirectionnel:
= = x (6.27)
Abdulrazzak (1983) obtient la solution suivante:
l
erfc
[
2 x T(&H) qox [T(&H))l qo xt qo 1 xt�]
h(x, t)=(&H) - e e erfc +
/Tt T(&H) 2 (6.28)
q l 0 xt
[
q,nt]
q(t) = qoe erfc
[T (H + D)]z T(D + H ) (6.29)
où erfc(•) est la fonction erreur complémentaire, liée à la fonction erreur erf(•) par:
erfc (z) = 1 - erf(Z)
Abramowitz et Stegun (1970) donnent une approximation rationnelle simple de la fonction erreur, dont la précision est largement suffisante pour les calculs pratiques.
b . 5 Infiltration de la pluie dans un sol nu
6. 5.1 Modèle de Mein et Larson (1 97 3) et modèles dérivés
Consi dérons une averse d'i ntensité constante P et de durée t . sur un sol i nitia/e-1 ment sec (figure 6 . 9) . Depuis le début de la pluie (t = 0) j usqu'à l ' i nstant t , J e débit infiltré 1 est égal à l'intensité de la pluie si du moins la capacité d'infiltr
ft
ion dusol est au moins égale à P , ce que nous supposons être . La surface du sol tend vers l 'état sat uré, attei nt a u t e mps t appelé "te mps de sat uration". Au-dela de cet instant, l'excès d'eau qui apparaÎt
�
st d'abord retenu dans les petits creux de la surface du sol . Puis, dès l ' i nstant t , Je ruissellement se déclenche et son i ntensité va r en augmentant j usqu'au temps t , selon une courbe caractéristi que d' un régime tran-m sitoire durant lequel se superposent trois phénomènes: diminution continue du débit infiltré , augmentation de la rétention superficielle mobilisable et, dans une moindre rresure, du stockage défi nit i f . Au-dela du temps t , l ' i nfiltration atteint une valeur m .
'· ni ma l e - l i mite et Je ruissellement est m:JXim:JI . Dès l ' i nstant t.auquel l 'averse cesse, Je ruissellement décroÎt pour s'annuler au temps tf . 1
Naturellement, si l'intensité P est inférieure à la capacité d'infiltration du sol, toute la pluie s'infiltre et le débit ruisselé est nul.
De nombreux auteurs ont proposé des expressions de l'infiltration cumulée en fonc
tion du temps, applicables seulement lorsque la surface du sol est saturée. On retient généralement que Je débit infiltré varie comme l'inverse de la racine carrée du temps (Philip, 1957) .
Mein et Larson (1973) étendent l'approche de Green et Ampt au cas de l'infiltration d' une averse d' i ntensité constante P supérieure à l a capacité d'i nfi ltrati on du sol f . La teneur e n eau i nitiale e. de l a colonne verti cale de sol horrogè ne est supposée p constante, de l ' ordre de l a teneur e n eau i rréduct i ble 1 e r . Des profi ls caractéristi ques de la teneur en eau en fonction de l a profondeur, aux temps t = t p et t � t p sont re- présentés sur la figure 6.10.
... -
Au temps de saturat i o n t , l e débit i nfiltré est égal à l ' i ntensité P de l a pluie.
"'e débit est donné par la loi de PDarcy:
Ls +Hf
1 = K s ----L = P (6.30) s
où H a l a rrêrre signification que dans l e !TDdèle de Green et Am/1.
b'après la figure 6.10 a, on a par construction:
d'où, en combinant (6.30) et (6.31) , on obtient:
Hf ce - e.J s 1 F s =
p
- 1 K s
(6.31)
(6.32)
Cette relation permet de calculer la lame d'eau Infiltrée depuis le début de l'averse jusqu'au déclenchement du ruissellement. Le temps de saturation est donné par:
F s Hf (es e.) 1
t = = (6.33)
p p
�:
-t)
s
Hf peut en pratique· être évalué par l a formule de Bouwer (6 .20) .
Après saturation de la surface du sol, (t � t ), la capacité d'infiltration f peut être évaluée en appliquant la loi de Darcy. Avlc les notations de la figure 6 .
fo
b, onobtient:
Or par construction:
et
�Hf + Ls + L) f p = K
L s + L (6.311)
(6.35)
L = CF - F s ) 1 ce - e . s )
1
L + s L = F 1 ce -a.) s 1
C6.36)
Naturellement l'infiltration est équivalente à la capacité d'infiltration du sol:
C6 . 37)
C6.38)
Morei-Seytoux ( 1976) a établi une solution plus rigoureuse de ce problème en tenant compte de l a présence d'air dans le sol. Le débit i nfi ltré au temps t t::: t p est:
où:
Ks
[
C 1 - fw ce;)) W]
- H ce , e.) + ---
B c s ' e s - e. 1
1 = - - ---
dt w C 1 - f w ce.)) 1
h .
H C c e , s e 1 . -
) - I
h Cl cs w f �� un cC6.39)
C6 .LlO)
W p Sous une forme intégrée re présente l ' i nfiltration cumulée au temps de saturation. (6 .39) devient: B est défi ni en (6 .22).
. Ks
- - (t - t )
B P
ces - ei ) 1
]
H ce , e.J + wP c 1 -
:
J1 - f w (S.) 1 c s t �
(6 . '1 1 )
(1 - f (8 ) )H
1 + ___ w ______ _
(8 s - e 1 . J H (8 c s , e. J 1 Ln t---1 - f w(8; )) W P
1 + ------
(8 - 8 . J H (8 s 1 c s , 8.) 1
Le temps de la première apparition de la teneur en eau 8 a la surface du sol est donné par:
(8 - 8.J H (8 , 8.) s 1 c s 1
T(8) = --- e
(1 - f w (8 .)) 1 p
K s 8 - 8. 1
•
Ï3P - K s
temps de saturation t p = T(8 ) s sera:
où Ï3 :::: 1 + -fj
2
(8 - 8.) H (8 s 1 c s , e.) 1 t p = --- e
(1 - f w (8 1 .)) p
Ï3P - K s
6 . 5 .2 Modèles d'infiltration d'une averse d'intensité variable
- 1
- 1 (6 .112)
(6.'l3)
Dans le prolongement des travaux qui viennent d'être passés en revue, différentes analyses de l'infiltration d'une averse d'intensité variable dans une colonne de sol homo
gène dépourvue de végétation ont été développées par Morei-Seytoux (1978), Smith et p-,.lange (1978), etc. L'intér�t principal de ces modèles pour l'hydrologue réside dans
Jo... description qu'ils proposent de l'évolution de la teneur en eau à la surface du sol.
Nous renvoyons le lecteur intéressé aux articles cités en bibliographie.
f>.-6. Le rôle de la végétation
Le sol, la végétation et l'atmosphère formant un continuum, il est clair que les conditions d'infiltration vont être directement affectées par le prélèvement racinai re, lui-même contrôlé par le degré d'ouverture des stomates.
6 . 6 . 1 La circulation de l'eau dans'les plantes
La plus grQnde partie de l'énergie solaire absorbée par la végétation est ensuite perdue sous forme de chaleur sensible et surtout de chaleur latente. Ce dernier flux induit un transfert de sève brute des racines vers les feuilles à travers la plante. Le flux d'eau qui transite journalièrement dans la plante est plusieurs dizaines de fois plus important que la réserve d'eau emmagasinée, notamment celle qui est mobilisable pour la transpiration.
L'eau du sol est absorbée par les racines, souvent munies de poils absorbants. Elle suit ensuite un parcours soit pariétal, soit intracellulaire avant de déboucher dans Je :-...ème, ensemble de vaisseaux conducteurs d'un diamètre compris entre 10 et 50 JJm.
Les nervures, parties terminales du système conducteur, amènent dans la feuille l'eau qui doit traverser un massif cellulaire non vascularisé avant d'aboutir dans la zone d'évaporation. Les échanges gazeux sont assurés par une série de pores, les stomates, qui perforent l'épiderme des feuilles. La densité de pores varie de 50 à 500 par mm1, leur longueur est de 10 à 50 JJm, leur largeur varie de 0 à 10 JJm, selon qu'ils sont fermés ou ouverts. La porosité superficielle d'une feuille est comprise entre 0,3 et 1 %.
Du degré d'ouverture des stomates dépend l'intensité des échanges de gaz carbo·
nique et de vapeur d'eau entre la plante et l'atmosphère. Il existe une grande variété de modèles du comportement des stomates en réponse à des variations de facteurs externes: lumière, température, humidité de l'air, . . . ou internes: teneur en col des méats foliaires, état hydrique, balance hormonale, . . .
6 . 6 .2 Prélèvement d1eau par les racines et transpiration des plantes
..-... I.R. Cowan (1965) a proposé un modèle simple de prélèvement de 11eau du sol par les
ru..:ines. Celles-ci sont supposées être toutes de même dimension et uniformément réparties dans la rhizosphère.
Le prélèvement d1eau par unité d'aire serait donné par:
'l's - 'l'r
fl s = KD --h a (6.45)
'l' est le potentiel de /1eau du sol; 'l' le potentiel de l ' eau à la surface de la racine; D ,
s r
l'épaisseur du sol (rhizosphère), K la perméabilité du sol correspondant à la moyenne géométrique ('f , s 'l' r ) 1n, h est un facteur de conversion des hauteurs d1 eau en pression (h = 9,81 kPa m-1 ), a dépend de la dimension des racines et de leur distribution:
a = (1 1 8 fi) [ô - 3 - 2 Ln ô 1 ( 1 - ô)] (6.46)
J L est la longueur de racine par unité de volume de sol, ô étant le volume de racine par unité de volume de sol.
La relation (6 .'16) suppose un espacement uniforme entre racines, de telle sorte que:
et
L
=
1 1 71 R1 lô = 71 R1 L = R1 1 R1
1 1 l
(6 .'11)
(6.1J8) R 1 est le rayon moyen des racines, R1 la demi-distance moyenne entre racines. Le flux E
;
est souvent normal i sé par l a longueur totale de raci nes par unité d'aire LD. On défi nit ai nsi une résistance i nterne de l a plante par unité de l ongueur de racine r . rLe mouvement de l'eau dans la plante serait décrit par:
E' s = LD (� - f - hd) r 1 hr r (6.1J9)
f est le potentiel de l'eau dans la plante, d une "hauteur de déplacement" dont nous précisons rapidement la signification (figure 6 .8).
En l'absence de végétation, la vitesse du vent u(z) s'annule à une hauteur Zo dépendant de la rugosité du sol. Pour cette raison, z 0 est appelé "paramètre de ru go·
sité". Dans le cas d'une végétation de hauteur uniforme H , l'annulation intervient à une hauteur d + z0 (fig. 6 . 1 1) .
Szeicz propose les relations empiriques suivantes:
log z0 = 0, 997 log H - 0,883 (6.50)
log d = 0,979 log H- 0,15/J (6.51)
F.,derer (1969) divise le sol en une série de couches horizontales d'épaisseur D; afin de
\._,,ir compte du fait que la distribution verticale des racines n'est pas uniforme. En combinant (6./JS) et (6.1J9), on obtient:
D. 1 (f . - f - hd) SI 1 h E' s =
L E'
. =L -
---i SI i (r r 1 L .) 1 + (a. . 1 1 k.) 1
(6.52)
Ceci suppose qu'une même valeur du potentiel de l'eau du sol f s'applique aux différentes couches du sol.
L'équation de continuité pour la plante s'écrit:
E' - E' s = q ' (6.53)
oiJ E' est le débit transpiré , q' la variation instantanée du stock d'eau emmagasiné dans plante. Ce terme serait donné par:
If ne dépendant que de l a réserve en eau de l a plante Q. Federer utilise l a relation l,q , . 1nea1re:
If = If q c (1 - Q 1 Q0) (6.55)
Ife est l a valeur criti que de If pour laquelle les storrates se ferrœnt complèterœnt; ao est lp valeur maximale de Q .
L e transfert d'eau d'un couche à l'autre serait donné par:
F1• =(K. K .+ 1)11z [ 1 + (If' . + 't' . 1) 1 (0,5 h (D. + D. 1 ))} ( i = 1 , 2, • • • , n - 1 )
1 1 SI SI+ 1 1+
F0 représente l es préci pitations; F = n peuvent être déterminés empiriquement en couche.
6 . 6 .3 L'évapotranspiration
(6.56)
K l 'écoulerœnt gravitationnel . K. et n 1 't' . �
fonction de la teneur en eau de chaque
En combinant une approche aérodynamique avec les principes de conservation de l'énergie, Penman (19'18) a établi une équation qui permet, à partir de mesures effec
tuées à un seul niveau au-dessus de la surface concernée, de décrire l'évaporation d'une surface d'eau libre ou d'une végétation dense et rase où aucune restriction phy
siologique à la transpiration n'es t censée se produire . Une équation générale a été établie par Monteith (196'1) en incluant des paramètres d'état du couvert végétal. Thom (1972) a donné une version plus rigoureuse de l'équation de Monteith. Récapitulons, d'après Thom (1975), les relations utiles à l'établissement de ces équations .
Le bilan d'énergie s'écrit:
C + ÀE = H (6 .57)
C: flux de chajeur sensible (W _z ), E: é vaporation (kg m-z s-1) , À: chaleur latente de vaporisation de l'eau liquide, H : flux de chaleur totale. m
Dans le cas d'une plante, le flux de chaleur latente >.E doit traverser deux résis
tances e n série: l a résistance stomatale r t et l a résistance aérodynarrique r
s av
(figure 6 . 12 ) . Thom établit:
pd/= {:Cp (T(0) - T(z))
c (6.58)
rav - --
pC p r s t = T
(6.59)
>..E
(ew(T(o) - e(o))
(6.60)
).f
p: masse volumique de l'air. C : chaleur spécifi que de l ' ai r à pression constante,
e(·): pression de vapeur, e w (T
f
pressi on de vapeur saturante à l a température T, T: valeur thermodynamique de la constante psychrométrique .O n élimine e(o) en additionnant (6 .59) et (6 .60):
Pour éliminer T(o), on doit d'abord poser:
e (T(o)) w = e (T(z)) w + Â (T(o) - T(z))
(6.61)
(6.62)
où A est la pente de la courbe de pression de vapeur saturante en fonction de la tempé·
rature de l'eau , évaluée à T = 0 , 5 (T(o) + T(z)) ou simplement à T(z) si T(o) est incon·
nu .
Les équations (6. 58) et (6 .57) sont ensuite utilisées pour remplacer la différence ( T(o) - T(z) par le produit ( H - XE) r hl (p C a p ) • En substituant (6 .62) dans (6 .61).
on obtient:
� + pCP {ew (T(z)) - e(z)] 1 rah
>..E = ---
Le rapport de Bowen est défini par:
On pose:
Si on introduit la "quasi-résistance":
B = C 1 ()..E)
o: : >..E 1 H = --1 1 + B
(6.63)
(6.64)
(6.65)
pCP (ew ( T( z) - e(z)) ri - -r- ----
H
pCP ôe
--T- H (6.66)
et si on rermrque qu'en général r av et r aH ne diffèrent pas si gni(icati verre nt:
on établit aisément d'après (6 .63):
).f !J.r a + Ir. 1
tt = - = ---
H !::.ra + Ir a + Ir st rst + ra - ri
13 =
ç_
).f = ---6-- Variabilité spatiale des propriétés du sol
(!::. 1 1) r + r . a 1
(6.67)
(6.68)
(6.69)
L'analyse de l'infiltration, déjà passablement compliquée dans le cas d'un sol homo
gène, est rendue encore plus difficile par la très grande variabilité spatiale des pro
priétés physico-chimiques des sols naturels. Un nombre considérable d'observation montre que cette variabilité est une caractéristique essentielle des milieux naturels . On est donc conduit à se poser plusiques questions:
• Quelles sont les techniques de mesure bien adaptées à l'étude de cette variabilité ?
• Comment la caractériser statistiquement ?
• Comment introduire cette variabilité des propriétés du sol dans les modèles d'infiltra
tion ?
6 . 7 . 1 Essais d'infiltration
Ces essais, très courants en géotechnique, permettent une é valuation rapide et peu C"-'Îteuse de l a perméabilité Ks d'un sol non saturé. Ils sont prati qués i n situ, dans
t.. • • trou généralement cylindrique, tubé ou simplement rempli de gravier grossier. On
injecte un débit d'eau suffisant pour que le niveau statique reste constant au cours de l ' essai . Les différentes sol ut ions anal yti ques approchées qui perrrettent d'é valuer K s sont toutes (ondées sur l'hypothèse que l'écoulement est confiné dans une zone saturée séparée du reste du sol par une enveloppe dite ''surface libre" qui est simplement une surface de courant (figure 6 . 13). Une des formules les plus utilisées dans le cas du trou libre est celle de Glover:
K =
s
Q
--·
,
2 TI (H/r) cu = ---
arcsinh (H/r)-1 et (H/r) � 20 (6.70, 6 . 7 1 )
Q est le débit injecté lorsque le "régime permanent" est atteint. Une formule plus éla
borée a été établie par Nasberg et Terletskata:
Q 2H
Ks = .oq23 -- l og
Hz r 50 S H/r s 200 (6.72)
Stephens et Neuman ( 1 980) montrent par une série de simulations que les condi
tions réelles d'écoulement sont bien différentes de celles qui sont représentées sur la figure ( 6 . 1 0) . Une proportion non négligeable du débit total s'écoule à l'extérieur de la surface libre. Il existe bien une zone saturée en contact direct du trou, mais Je sol reste non saturé ailleurs. Chaque ligne de courant passe allègrement d'une zone a l'autre ce qui contredit l'hypothèse classique. Step hens propose la relation:
l og Cu = 0 .658 log (H/r) - 0.238 � - 0 . 398 log H + 1 .3q3 (6 . 73) a représente l a pente moyenne de /Q courbe k ('!') dans l'i nterval l e 0,5 S K s 1 . ,
� r r
e rimée en mètre à la puissance moins un. H est en mètre.
Connaissant Hr et a , o n détermine Cu par (6 .73) . La val eur de K s est ensuite tirée de (6 . 70) . D'autres grandeurs caractéristiques des milieux non saturés peuvent être déduites d'analyses granulométriques, en faisant intervenir divers modèles physico
empiriques.
6 . 7. 2 T héorie de la similitude
Deux milieux poreux sont dits semblables si leur géométrie interne ne diffère que par une longueur caractéristique. A utrement dit, il suffit de multiplier toutes les caractéristiques géométriques de l'un par une constate pour obtenir les caractéristiques géométriques de l'autre. Deux milieux poreux semblables ont une porosité égale et les mêmes distributions relati ves de l a dirrension des grains et des pores. Si À. et À
d 1 . . , . .
d . . . 1 d' 11 d r;f , sont es ongueurs mtcroscoptques caracatertsttques u 1-teme so et un so e re e- rence, on définit un "facteur d'échelle" sans dimension:
a. = >... 1 À
1 1 r (6 Jq)
En général , on choisit comrre terrre de référence l e sol rroyen (Àr =À) . La connais
sance du seul facteur a permet, si la théorie s'applique, de déduire les propriétés hydrodynamiques d'un sol quelconque de celles du sol de référence.
Les relations de passage pour la pression capillaire et la perméabilité sont:
hi(8) Àj = hr (8) >.r K.(8) 1 >.z. 1 1 = K (8) 1 >.z r r
(6 . 75) (6 . 76)
h est la hauteur capillaire, K la perméabilité; fonctions de la teneur en eau e.
L'analyse dimensionnelle permet de généraliser les relations (6 . 75) ou (6 .76) a d'autres propriétés hydrodynamiques W selon l'expression:
w = r
o?.,
rv ,J J . w. (6. 77)aW ,, . est le facteur d'échelle relatif à l a grandeur W.; l a valeur de l ' exposant p dépend • J de celle-cl .
L ' hypothèse de s i mil i t ude i mplique que tous l es facteurs aW . doi vent être i den-
• •
1 ,J
t1ques pour un meme so .
Plusieurs applications de cette théorie à des problèmes d'infiltration et de drainage ont été présentées dans la littérature .
6 . 7 .3 Caractérisation statistique de la variabilité
La théorie des variables régionalisées , dé veloppée par G . Matheron et introduite d'!_ns les sciences de l'eau par J.P . De/homme (1976 et 1978) permet de rendre compte, s une forme mathématiquement appropriée, des caracté ristiques structurales de la variable étudiée et de résoudre les problèmes d'estimation qui se posent à partir d'un échantillonnage fragmentaire. Il existe dans la littérature de très nombreux exemples de caractérisation de la variabilité spatiale et/ou temporelle des propriétés du sol, à l'aide de grandeurs statistiques classiques: moyenne, variance, coefficient de corré
lation, ou à l'aide d'outils géostatistiques . 6 . 7 .Il Approches stochastiques
Bien qu'étant conscients des effets de la variabilité spatiale des sols sur l'infiltra·
tion, la plupart des modélistes admettent - au moins implicitement - l'existence d'un milieu homogène équivalent dont les propriétés peuvent être dé terminées à partir d'un échantillonnage limité , en utilisant une procédure appropriée de prise de moyenne . Depuis quelques années, se dé veloppe une analyse stochastique des écoulements en milieu poreux . On interprète le milieu poreux réel comme résultant d'un tirage du sort
,· ïS un ensemble de fonctions, c'est-à-dire comme une réalisation d'une fonction aléa
toire . Si cette fonction est stationnaire et si une hypothèse dite d'ergodicité est satis·
faite, les moyennes statistiques et spatiales peuvent être commutées: l'espérance d'une variable est égale à sa moyenne arithmétique spatiale . Dans ce cadre, on cherche à é valuer les moments des variables hydrodynamiques (teneurs en eau, flux, etc.) en fonction des propriétés du milieu , pour des conditions initiales et aux limites données . La connaissance de ces moments épuise l'information utile pour les calculs pratiques . Ainsi, dans la plupart des applications, il sera suffisant d'estimer, en fonction de la profondeur et du temps , la valeur moyenne d'une variablt;! (teneur, en eau, flux, etc . ) pour une section horizontale d'un milieu hétérogèene.
Dagan et Bres/er (1983) assimilent un sol hétérogène à une collection de colonnes verticales homogènes sans interaction, ce qui implique l'indépendance statistique des propriétés hydrodynamiques dans un plan horizontal. Ils montrent que l'on est fondé à
utiliser des modèles d'infiltration simplifiés, particulièrement dans Je cas d'une grande variabilité spatiale, dans la mesure où les erreurs dues aux approximations du modèle lui-même sont beaucoup moins importantes que celles commises en négligeant l'hétérogé
néité du milieu . Cette conclusion encourageante doit être acceptée avec réserve dans la mesure où les structures stratifiées se remontrent très fréquemment et dans ce cas, la plus grande variabilité s'observe dans la direction verticale .
6 .8 Modèles empiriques d'infiltration et de recharge 6 . 8 . 1 Bases conceptuelles
L'aspect purement scientifique du problème de l'infiltration dans les milieux naturels ne doit
·p
as faire oublier la nécessité pour le modéliste de disposer d'outils opérationnels suffisamment simples et économiques pour pouvoir être utilisés de façon quasi routinière, et n'utilisant qu'un nombre restreint de paramètres. Dans ces conditions, aucun modèle ne peut prétendre à l'universalité et il n'est pas étonnant que les facilités de calcul actuelles aient été exploitées par les hydrologues, chacun s'efforçant de réaliser
J �-til le mieux adapté aux circonstances particulières dont il a à traiter. D 'où une floraison de modèles dont l'apparente variété dissimule un assez large consensus sur les principes méthodologiques.
On peut considérer comme commune à tous les modèles empiriques l'idée que la variabilité des teneurs en eau du sol est beaucoup plus importante dans la zone d'enra
cinement des végétaux qu'à plus grande profondeur. C'est donc dans la tranche superficielle du sol que seraient concentrés l'essentiel des processus fortement non linéaires . A u-dela d'une certaine profondeur, l'eau aurait définitivement échappé au pompage de la rhizosphère et finirait tôt ou tard, par un processus approximativement linéaire, pour atteindre la surface libre d'un aquifère.
Une seconde simpntication consiste à introduire les non-linéarités sous forme d'effets tout ou rien, d'effets de seuil, etc.
En général, les modèles empiriques d'infiltration sont présentés sous la forme d'un système de réservoirs linéaires et/ou non linéaires soumis aux précipitations naturelles et à la demande atmosphérique en vapeur d'eau. Le ruissellement est assimilé au refus n réservoir superficiel de faible capacité . Pour simuler les conditions d'écoulement dans la rhizosphère, on fait appel aux concepts un peu vagues de réserve facilement utilisable (RFU) , point de flétrissement . . . censés traduire la disponibilité de l'eau du sol pour les plantes. La mobilité de l'eau dans ce système est définie par des coeffi
cients de transfert entre éléments du système, généralement dépourvus de signification physique.
6 . 8 .2 Transformation de l'infiltration nette en recharge
Au-del à d' une certai ne profondeur critique Pc• o n adrret que les pompage de l a rhizosp hère devient nul . L e fi ux à l a profondeur p est appelé i nfiltration nette. c Après retard et étalement dans le temps, il se transformerait intégralement en recharge de l'aquifère. On admet souvent que ce processus est linéaire, invariant dans le temps.
La relation infiltration nette-recharge s'écrit alors:
R( t) =
J0
t k ( t - 1) 1 (1) d1 (6.78)où k(•) est la réponse imp ulsionnelle.
Dès lors que l'excitation 1 (t) et la réponse R(t) sont connues, le plus souvent sous forme discrétisée, il est aisé d'identifier la réponse imp ulsionnelle k(• ) .
L e débit de recharge R(t) peut être estimé à partir des enregistrements des flue · tuations de la surface libre de l'aquifère. Pour ce faire, on Interprète les fluctuations piézométriques observées comme résultant des effets simultanés mais opposés du taris
sement et de la recharge. Lorsque celle-ci est nulle, la courbe de tarissement pur doit avoir l'allure d'une exponentielle décroissante. Réciproquement, on admet que si cette évolution est obsevée, la recharge est nulle. Pour évaluer la recharge, il s uffit donc de filtrer les effets du tarissement. En remarquant qu'au cours d'un cycle complet d'alimentation de l'aquifère, le volume d'infiltration nette est égal au volume de recharge, on calcule la valeur d'un coefficient d'emmagasinement permettant de conver
tir les fluctuations piézométriques filtrées du tarissement en débits de recharge R(t).
La méthode est illustrée sur la figure 6 . 1 1 . Levassor (1976) analyse ainsi plusieurs :les de recharge des aquifères du bassin de l'Orne, séparés les uns des autres par des épisodes d'une durée d'environ six mois , au cours desquels aucune recharge ne semble se produire. Une réponse imp ulsionnelle étant identifiée pour chaque cycle,
l'auteur constate que:
• pour chaque cycle de recharge, la relation de convolution (6 .78) permet une excel
lente reconstitution de variations piézométriques observées;
• la réponse imp ulsionnelle associée aux différents cycles sont significativement diffé
rentes les unes des autres;
• l'utilisation de la réponse impulsionnelle calculée pour l'ensemble des cycles donne une recons titution toujours inférieure.
Ces rés ultats suggèrent que la transformation de l'infiltration nette en recharge est un processus approximativement linéaire, mais non invariant dans le temps . Cette déduction rejoint l'analyse de Morei-Seytoux, '(198'1).
Cet auteur étudie la transformation de l'infiltration nette en recharge, à partir des équations de l'écoulement biphasique en milieu saturé. Il cherche à identifier la
')onse indicielle K(t) à un palier unique d'infiltration nette. L'expression proposée par Morei-Seytoux est:
(C + f t ) tanh (�ft)
K(t) = --- (6. 79)
p + 1 t
où C est un paramètre capillaire et d'emmagasinement, ayant la dimension d'une lon
gueur, défini par:
(6.80)
2...0
e 1 é t a nt l a teneur e n eau à l a profondeur criti que pc, Hb l a valeur maximale de Hb(e, er), p est un paramètre de résistance visqueuse et d' e mmagasi nement ayant également la dimension d'un longueur:
e -8
t r p =
Jlr l {Hb + 0.02 (D - 300)] (6.81) D est l a distance, e n centimètres, entre l a profondeur critique pc et l a surface l i bre de l'aquifère. Cette distance est supposée constante. a est un paramètre composite de dimension {L -t ]:
où:
6
a = ---
1* = 1 1 K s •
La teneur en eau à l a profondeur p est 'donnée par: c
(
1)
1 ln el = e + (8-
e J--
r s r K s
n est un exposant dont la valeur est généralement comprises entre '1 et 10.
(6.82)
(6.83)
Manifestement, le système n'est pas linéaire. Cependant, pour une valeur constante de l'excitation 1 (t), la fonction K(t) possède toutes les caractéristiques d'une réponse indicielle caractérisant un système linéaire. On peut toujours écrire la recharge au n-ième pas de temps:
R(n) = n L â (n - v + 1, v) /(v) v=1
(6.85)
R(n) est une fonction des deux paramètres n et v. SiM est la mémoire du système, on aura à identifier n X JJ coefficients. Le problème s.erait considérablement simplifié si on connaissait une expression analytique du noyau discret â. Or, il est facile de déduire une telle formule de (6 . 79). Le nombre de paramètres à identifier est considérablement réduit et ces paramètres K , Hb, n, s 8 s , e r et D ont tous une signification physique.
6. 9 Conclusion
L'infiltration est un phénomène fortement non linéai.re, induit par une excitation (les précipitations) très variable dans le temps et dans l'espace, affectant un milieu généra-
,----------
/ement hétérogène, soumis à un contrôle biologique de la végétation. De plus , diffé·
rentes échelles de temps et d'espace doivent être considérées . Cette accumulation de difficultés situe le problème de l'infiltration hors de portée d'une théorie générale.
Malgré cela, des progrès considérables ont été accomplis dans la compré hension et la modélisation du phénomène. Il reste encore de vastes zones d'ombres , très préjudicia/es à la crédibilité de nombreux modèles hydrologiques . Ainsi l'estimation de la recharge des aquifères à l'échelle infra-régionale n'a pas reçu une attention suffisante. L'analyse de transferts de masse et d'énergie dans Je système sol - végétation - atmosphère appa
raÎt comme la clef de la compréhension de ces processus interactifs que sont l'évapo
ration, le ruissellement et l'infiltration .
CHAPITRE 6 - R
É
FÉ
RENCES BIBLIOGRAPHIQUEABDULRAZZAK� M.J. et H . J . MOREL-SEYTOUX ( 1 983) .
Recharge from an ephemeral stram following wetting front arriva/ to water table.
klater resources research 1 9 (1)1 194-200.
ARYA� L .M . et J . F . PARIS (1981) .
A physico-empirica/ mode/ to predict the soi/ moisture characteristics from particle size distribution and bulk density data. Discussion Soi/ Sei . Soc . Am. J . � 45: 1023-1030.
BESBESI M. (1978).
L'estimation des apports aux nappes souterraines.
fierre- ah 4a..rie C�.m·e. .
P� '{1
.. · 'BEUCHER� H . � DELHOMME� J . P . et G . DE MARSILY (198 1 ) .
Analyse stochastique des propriétés des systèmes poreux naturels hétérogènes.
-.
É
cole des Mines de Paris1 CIG.BROOKS� R .H . et A . T. COREY (1964 ) . Hydraulic properties of porous media.
University� Fort Collins . COWANI I . R . (1965).
Hydrology papers !hp 3� Colorado State
Transport of water in the soi/ - plant - atmosphere system. Journal of applied eco/ogy� 2_: 221-239.
DAGAN� A . et E . BRESSLER (1983).
U nsaturated flow ln spatial/y variable fields . 1 : Derivation of mode/s of Infiltration and redistribution . 2 : Application of water flow models to various fields . 3:
Solute transport mode/s and their application to two fields . klater Resources Research1 19(2): 413-435.
vcLHOMML J . P . (1978) .
Applications de la théorie des variables régionalisées dans les sciences de l'eau, Bulletin du BRGM1 2° Série, section 3 , n ° 4� 341-375.
DELHOMME, J . P . (1976) .
Application de la théorie des variables régionalisées dans les sciences de l'eau .
Thèse de doc!_eur-ingénieur,
Thise de. doéteur- rn'à'én
/(J.U(I. un,ve rs.itri f.Uf't:l. eé Mctr,·e..Cur; e. . 1 Pé1NS v' -
FAIRBRIDGE, R .kl. et C .kl. FINKL (1979) .
The encyclopedia of soi/ science. Part 1 : Physics, chemistry � bio/ogy, fertility and tech no/ogy. Dowden, Hutchinson & Ross� (articles: Ca pi/lary pressure� lmbibi · tion, Infiltration, Permeability, Wetting front) .
FEDERER , C . A . (1979).
A soif - plant - atmosphere mode/ for tran�piration and availability of soif water .
Water Resources Research, Ji(3): 555-562.
GUPTA, G . et W . E . LARSON (1979) .
Estimating soif water retention characteristics from partic/e size distribution, organic matter percent and bulk density . Water Resources Research , 1i(6): 1633-1635.
MARLE, C . (1972)
Les écoulements po/yphasiques en milieu poreux . ·
. T� . P� . �oo � .
-
HILLEL, D . (1974).
p·hli�ique..S
L'eau et le sol. Principes et processus · ·
-
Vanderr
HYRE, J . H . (198 1 ) .
Experimental investigations of ponding-time and soif water content evolution formulas. Thesis, Colorado State University, Fort Collins.
LAFFORQUE, A . (1978).
Détermination des variations de la capacité d'adsorption d'un sol en place sous averses simulées. Bulletin des Sciences hydrologiques, AIHS, 23(1 ) : 355-372.
LEDOUX, E . (1980).
Modélisation intégrée des écoulements de surface et des écoulements souterrains sur
un bassin hydrologique. Thèse de..
cioc..fe.ur-lnfj
e hl'e.tJ r . Lh?.i verr. t'té. Fïer-f'e. e); 11ar;e. Cu r1 e.-
Ec.o{e deç, J...\lneç dq_ Part-ç .
LEVASSOR, A . (1976).
Modèle de simulation et de gestion des ressources en eau des bassins de I'Brne, la
'Ji
ives et laS
eulles.É
cole des Mines de Paris, CIG.de MARSIL Y G.
( .1�3-1)
Hydrogéologie quantitative. Masson.
�- . 2AS �
MATHERON, C . (1969).
La théorie des variables régionalisées et ses applications . Cahier n° 5 du Centre de morphologie mathématique,
É
cole des Mines de Paris, Fontainebleau, 212 p .MEIN, R . G . et C . L . LARSON (1973).
Modeling infiltration du ring a steady rain . Water Resources Research, 9 (2), 38'1-39'1 .
MOREL-SEYTOUX, R .J . (1983).
From excess infiltration to aquifer recharge: A derivation based on the theory of flow of water in unsaturated soifs . Water resources research, 20 (9), 1230-12'10.
MOREL -SEYTOUX, H .J. (1982).
Analytical results for prediction of variable rainfa/1 infiltration . Hydrology, 59: 209-230 .
MOREL-SEYTOUX, H . J . (1978).
Journal of
Derivation of equations for variable rainfa/1 infiltration. Water Resources Research, 1'1('1): 551-558.
MOREL-SEYTOUX, H . J . (1975) .
Derivation of equations for rainfa/1 infiltration . Journal of Hydrology, 31 (3): 203- 2 1 9 .
MOREL-SEYTOUX, H . J . (1973).
Pour une thPnrie modifiée de l'infiltration. Cahiers ORSTOM, Série hydrologie, 10(3): A'J'5 -20�
MOREL-SEYTOUX, H . J . et J . KHANJI (1975).
Equation of infiltration with compression and counterf/ow effects . Bulletin des sciences hydrologiques, AIHS, 20('1): 505-5 1 7 .
MOREL-SEYTOUX, H . J . et J . KHANJI (197'1).
Derivation of an equation of infiltration . Water Resources Research, 10('1): 795- 800.
AI' ' 4LEM, Y. (1975) .
A new mode/ for predicting the hydraulic conductivity of unsaturated porous media.
Water Resources Research, 12(3): 513-522.
MUALEM, Y. (1975).
Hysterical mode/s for prediction of the hydrau/ic conductivity of unsaturated porous media. Water Resources Research, 12(6): 12'18-125'1.
MUALEM, Y. et G . DAGAN (1975).
A dependant domain mode/ of capillary hysteresis . Water Resources Research, JJ_(3): '152-'150.
NEUMAN, S . P . (1976) .
Wetting front pressure head in the infi(tration mode/ of Green and Ampt. Water Resources Research, 12(3): 56'1-565 .
PECK, A . J . , LUXMOORE, R . J. et J . L . STOLZ (1977) .
Effects of spatial variability of soif hydraulic properties in water budget mode/ing.
Water Resources Research, 13(2): 3'18-35'1, R USSO, O. et E . BRESSLER (1982)
A univariate versus a multivariate parameter distribution in a stochastic - concept·
ua/ ana/y sis of unsaturated flow. Water Resources REsearch, 18(13): '183-'188 .
R U TTER . A . J . (1975).
The hydrologica/ cycle in veaetation . ln: Vegetation and atmosphere. J . L .
V� A ·.�� · � JlA�-ASo. À� �
Monteith éditeur--:
� . Qi- ?1/}-. .
SI:IARMA, M . L . , GANDER, G . A . et C . G . HUNT (1980) .
Spatial variability of infiltration in a watershed. Journal of Hydrology, '15: 1 0 1 - 122 .
SMITH, R . E . et J . PARLANGE (1978).
A parameter-efficient hydrologie infiltration mode/. Water Resources Research, 1.!1.(3): 533-538 .
STEPHEN$, Vadose zone permeability tests. 0 . 8 . et S . P . NEUMAN (1982) .
!
18(HY5): 623-67 7 . THIRRIOT, C . (1982) .
Journal of the hydrauics division . ASCE,
L'infiltration dans les sols vue à travers l'image des modèles capillaires. Eau du Québec, Montréal, 1.i(2): 12'1-131 .
OM, A . S . (1975) .
Momentum, mass and heat exchange in plant communities . ln: Vegetation and
-!::.L
atmosphere, J . L . Monteith éditèur, Academie p, e33•.
\)�
..-1 :.p-wrt.u.�. �
� · � ; Zr$ � ·. S7 -
vAucuN, M . (1982) .
Infiltration in unsaturated soifs. ln: Mechanics of fluids in p.orous media . New approaches in research . NATO/AS/, University of Delaware .
V AUCUN, M . (1982) .
Méthodes d'étude de la variabilité spatiale des propriétés d'un sol. ln: Variabilité spatiale des procesus de transfert dans les sols . Colloque.
_,/-4F- i/JeA .
24-<.S"::JLUM 1022.
T�M� �� kea- ��� ��1\,QYYl,L4UQ_I ÎNU-0 .
VAUCLIN, M . HAVERKAMP, R . et G . VACHAUD (1979).
Résolution numérique d'une équation de diffusion non linéaire . Application à l'infil-
tration de l'eau dans les sols non saturés. Presses universitaires de Grenoble.
�/.(8�
L. ·WARRICK, A .W. et A . AMOOZEGAR (1979) .
.. . 'l�
1 nfiltration and drainage ca/culation using spatial/y var hydraulic properties . Water Resources Research, 12(5): 1 1 16-1120.
WARRICK, A .W. , MULLEN, G . J . et D . R . NIELSEN (1977).
Scaling field measured soif hydraullc propertles using a similar media concept
Water Resources Research, 13(2): 355-362.
S . R . VIEIRA, O . R . NIELSEN, J.W. BIGGAR (198 1 ) .
Spatial variability o f field measured infiltration rate. Soi/ Science Soc. Am. Jour.
Vol. '15, No. 6, Nov. -Déc . 198 1 , 10'10-1048.
Volumes Pha.ses Musse5
lf y
,ia. , Air (a.)�<L f � O
J �
Eau(w-) �ur
-
Vt
SolideMt
V�!> (.�)
T'
l
Figure 6 . 1
Masse et volume des constituants d ' u n milieu poreux non saturé
