a b A
B
Q R
0 1
1
x y
a b
A
B
Q R
An 08. p 64
a et b sont deux nombres réels strictement positifs tels que a < b. On désigne par A et B les points d’abscisses respectives a et b de la courbe (C) représentative de la fonction logarithme népérien dans un repère (O ; i→ ; j→)
Les points Q et R sont les projetés orthogonaux respectifs des points A et B sur l’axe des ordonnées.
1. a. Donner l’équation réduite de la tangente (T) à (C) au point A.
b. Déterminer l’ordonnée du point d’intersection P de (T) avec l’axe des ordonnées.
Calculer la longueur PQ. En déduire une construction simple de (T) ; la réaliser sur la figure jointe.
2. Restitution organisée de connaissances.
On suppose connue la propriété : Pour tout couple (x ; y) de nombres réels strictement positifs, on a : ln(xy) = ln(x) + ln(y).
En déduire que, pour tout nombre réel m strictement positif, on a : ln( m ) = 1 2 ln(m).
3. Utiliser le résultat de la question 2. pour placer sur l’axe des abscisses le point G d’abscisse ab .
Expliquer la construction et la réaliser sur la figure précédente (on laissera les traits de construction apparents).
Corrigé : a et b sont deux nombres réels strictement positifs tels que a < b.
A(a ; lna) est sur (C) et B(b ; lnb) est sur (C)
Les points Q et R sont les projetés orthogonaux respectifs des points A et B sur l’axe des ordonnées.
Donc Q(0 ; lna) et R(0 ; lnb)
1. a. Donner l’équation réduite de la tangente (T) à (C) au point A.
(T) a pour équation y = ln’(a)(x – a) + lna
or ln’(a) = 1/a donc (T) a pour équation y = (1/a)x – 1 + lna.
b. Déterminer l’ordonnée du point d’intersection P de (T) avec l’axe des ordonnées.
(T) coupe l’axe des ordonnées quand x = 0 on a alors y = lna – 1 donc P(0 ; lna – 1) Calculer la longueur PQ.
PQ = |yQ – yP| = |lna – lna + 1| = 1
En déduire une construction simple de (T) ; la réaliser sur la figure jointe.
A(a ; lna) étant placé sur (C), On construit le projeté orthogonal Q de A sur l’axe des ordonnées puis son image P par la translation de vecteur −→j. La droite (PA) est alors la tangente cherchée.
2. Restitution organisée de connaissances.
On suppose connue la propriété :
Pour tout couple (x ; y) de nombres réels strictement positifs, on a : ln(xy) = ln(x) + ln(y).
En déduire que, pour tout nombre réel m strictement positif, on a : ln( m ) = 1
2 ln(m).
Par définition ( m )² = m donc ln ( m )² = ln(m)
Or ln ( m )² = ln ( m × m ) = ln ( m ) + ln ( m ) = 2 ln ( m ) d’après la propriété donnée Et 2 ln ( m ) = ln(m) donne bien ln( m ) = 1
2 ln(m).
3. Utiliser le résultat de la question 2. pour placer sur l’axe des abscisses le point G d’abscisse
ab . Expliquer la construction et la réaliser sur la figure précédente (on laissera les traits de construction apparents).
Soit C le point de (C) d’abscisse ab ; C a donc pour ordonnée ln( ab ) Or ln( ab ) = 1
2 ln(ab) = 1
2 [ln(a) + ln(b)]
Soit S le projeté orthogonal de C sur l’axe des ordonnées.
yS = yR + yQ
2 donc S est le milieu de [RQ]. La parallèle à (O, i→) passant par S coupe (C) en C et la parallèle à (O, j→) passant par C coupe l’axe des abscisses en G.
