Erratum : « Sur la construction des fonctions $L$ $p$-adiques abéliennes »

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THEORIE D E S NOMBRES A n n é e s 1979-1980 B E S A N Ç O N et 1980-1981

S U R L A CONSTRUCTION

D E S FONCTIONS L p - A D l Q U E S A B E L I E N N E S

G e o r g e s G R A S

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S U R LA CONSTRUCTION

D E S FONCTIONS L p - A D l Q U E S A B E L I E N N E S

G e o r g e s GRAS (ERA au CNRS n°070654)

(Texte publié dans le Sém. D e l a n g e - P i s o t - P o i t o u , 2 0e année, 1 9 7 8 - 1 9 7 9 , n°22)

E R R A T U M

Nous apportons ici un complément de justification à la démonstration de la proposition V. 4. (pages 1 7 - 1 8 ) . Nous r e m e r c i o n s S . Kobayashi qui a attiré notre attention à c e sujet.

L o r s q u ' o n obtient la c o n g r u e n c e :

TAU S TP + 1 U' - u"1 R ^ ( s ) T mod-a^ ,

la conclusion p = A - 1 ne peut s'obtenir que si l'on montre que e s t

non i n v e r s i b l e ; c e c i est vrai, et on obtient même une c o n g r u e n c e i n t é r e s s a n t e : S o i t X^ un c a r a c t è r e de Qoo tel que ( xrt y ) ( c ) = 1 (ceci est p o s s i b l e

puisque \|! est d ' o r d r e p u i s s a n c e de p) ; dans l ' e x p r e s s i o n : i Sc ^ (T , s) = qf (T , s) (T + u v j ) + r ^ s ) , l'évaluation T -» X (T ) - 1 conduit à : r ^ r /

c ( l -

<c>

^S^{- L}^p^{( s}^{, n} ^r ^{) - ^}

(x

^r

(

^V

)

- 1 , s ) c ( l - <c>S - + r„(s) , donc, puisque ^-L (s,t|(X ) est entier par hypothèse, il vient :

z* P r/

r^(s) = 0 mod (s - 1) q , soit R ^ s ) = 0 mod (s - 1) q-nr^ 1. Ceci conduit au résultat ; on a même, en s = 1 , la relation :

ï S C f * ( T ' 1 ) - V T ' ] ) ( T + u ^ ) d a n s V