Ex.q,\lPN D'ANALYSE 2

(1)

Univ. Paris

1{II,

2072-2073

Ex.q,\lPN D'ANALYSE ²

Les calculatrices ^sontinterd,ites, et ^lestéLéphones portables d,oiuent être éteints.

( /tl\ ^Exercice

¹

-

^{Dans cet}^exercice,^1es^questionssont indépendantes'

'

\-=/ /,1.

^1.Déterminer

si la

suite

(2,)

définie par

un -

^{^tçF}

⁺

^S"

+S - ^r,

^converge'

^{et si}

^oui

//!t )

_calculer_sa_limitc.

/ l',

^2.Déterminer si la ^série

D # _"tt

convergente ou divergente

/ ^1,, ^s. n"intégrant

^pa.rparties, calculer

fr

^ze3'dz'

4.Enutilisant]aformuledesubstitution,calcu]erlesintégralessuivantes:

/ln

^@)

ff

xsin(r2)an.

/2 ^@ I;l' #a'

^{en Posant}

^r :

coslr'

5.Etudiersilesintégralesgénéraliséessuivantesconvelgentounon(sanslescalculer):

t1

dr

/2 _{k:, '} ^At/0.\ ^\", _.1. _? ^{t1 _l** ^,-"'a, k)t

^l+@^d,.r

,

6.

Calculer la matrice

jacobie""" [ffi]u,,

^de^lafonction suivante (en précisa'nt son ensemble

,

^de

délrnltrol]

^:

/Z,S

f

Q1.r2 ^r"1 - ("'2cos1t1:3) e" h(r'1)tf3)

'

À ^Exercice

2

-

^{Dans cet}^exercice^on^considèrela fonction

/

définie sur IR2 pa'r

f(r,s):

^s'u-u2^.

1. Calculer les dérivées partielles d'ordre

1

de

/,

c'est-à-dire uA

"t ^ué ^En

^déduire^Ie

gradient de

/.

/2

,/O"S

Z. Démontrer ^que^1egradient ^nes'annule qu'en un ^seulpoint' qu'on notera

M'

3.

Calculer ^lesdérivées pa.rtielles d'ordre 2 de

/,

c'est-à-dire

#'#'ffi _"t ^P* ^' ^vettït'

â2

f

^a21

que

a;6t :

_âta"-'

4.

Notons

g la

fonction ^défi.niesur IR par

9(g) :

_f

Q,ù'Déterminer

^1esextrema de 9'

Que11e pourrait être la nature du point critique

M

pour

/

^?

5.

considérons ^1afonction

h

définie sur ^IR^pa.r

h(a) : _TQa'a).

Déterminer ^1es^extrema' de À. Quelle

pourait

être la nature du point critique

M

pour

/

^?

/3

,/-t

/0.t

A. Quelle est fi,nalement la nature du point critique

M

^pour

I

^?

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