« A QUOI CA SERT
LES MATHS? »
Sommaire Sommaire
• Un peu d’histoire Un peu d’histoire
• Les mathématiques dans la vie courante Les mathématiques dans la vie courante
• Les mathématiques et l’art Les mathématiques et l’art
• Les mathématiques dans la nature Les mathématiques dans la nature
– Les nombres cachés Les nombres cachés
– Simulation de phénomènes naturels Simulation de phénomènes naturels
Les échanges commerciaux, la comptabilité des récoltes, la rémunération des soldats et des ouvriers nécessitaient l’utilisation de systèmes de gestion et de numération
dont les sociétés de chasseurs- cueilleurs n’avaient pas besoin.
Les jetons calculi
3500 av JC
Les premières sociétés du croissant fertile ont utilisé une numérotation concrète à l’aide de jeton calculi. Ceux-ci étaient parfois
mis dans une bulle-enveloppe en
Mais le problème de la bulle est qu’il faut la briser pour vérifier son contenu. On a alors commencé à laisser sur la surface une empreinte des jetons qu’elle contenait.
On s’est alors rendu compte qu’il était superflu de sceller les jetons-calculi dans une bulle.
Première abstraction
Il fallait représenter des grands nombres. L’idée de regrouper les unités est alors apparue.
Evolution de l’écriture des chiffres
Mésopotamie 3500av JC
Mésopotamie -3300
Egypte -2000
Rome -300
Les autres nombres
•Les fractions :Les fractions :
Très vite il a fallu partager les récoltes, les impôts… Les fractions sont donc très vite apparues. La mythologie égyptienne relate comment l’œil d’Horus fut partagé en 6… En Grèce, les pythagoriciens considéraient que tout dans la nature était rapport d’entiers…
•LesLes décimaux : décimaux : Il faut attendre les savants arabes du moyen-âge pour voir de véritables progrès sur les décimaux. Al Uqlidisi note 89’532 le nombre 89,532
•Les Les négatifs :négatifs : « Une dette retranchée du néant devient un bien, un bien retranché du néant devient une dette. » 600ap JC. Pourtant, les négatifs mettront très longtemps à être acceptés. Descartes, au XVII, n’admet toujours pas de solutions négatives!
3000 av JC
Mésopotamie
-500 av JC
Pythagore
952 ap JC
Bagdad
Première
apparition vers 630; introduit en Europe vers
1450. Acceptés progressivement jusqu’au XIXè!
Le calcul algébrique
2è mill av JC
Babylone
Dés le deuxième millénaire av JC les babyloniens et les égyptiens savent résoudre quelques problèmes concrets
en utilisant rarement des symboles.
+
et-
Le calcul algébrique
Entre 813 et 833 le savant perse Al Khwarizmi pose les bases de la résolution algébrique. Il s’en sert pour résoudre des problèmes quotidiens:
héritages, échanges commerciaux, …). Il se ramène à des équations connues par trois méthodes :
•Al jabr (le reboutement): 4x-Al jabr 3=5 devient 4x=3+5.
•Al muqabala (la réduction): Al muqabala (4x=9+3x devient x=9). Les termes semblables sont regroupés et réduits.
• Al hatt (2x=8 devient x=4). Al hatt Division de chaque terme par un même nombre.
Conclusion sur la partie historique
• Les mathématiques se sont développées pour répondre à des problèmes concrets (compter des moutons, puis calculer des longueurs, répartir les impôts, problèmes d’héritage, commerce, navigation, etc…).
• Plus les sociétés évoluaient, plus se posaient des problèmes complexes, qui ont permis l’apparition de nouveaux outils, plus abstraits (négatifs).
• Les mathématiques servent à comprendre les
phénomènes qui nous entourent.
II. Les mathématiques
dans la vie courante
Les maths dans la vie de tous les jours
• Gérer son argent, ne pas se faire avoir par son banquier.
• Faire du bricolage, aménager sa maison.
Fonctions, pourcentages, équations, suites
(1ère) …
Equations, systèmes, calcul.
Les maths dans la vie de tous les jours
• Comprendre et avoir un esprit critique sur les chiffres avancés dans les journaux, les infos…
• Comprendre un
graphe, un
histogramme.
• Savoir éviter les pièges: fausses promotions, jeux biaisés, etc....
Statistiques, fonctions, pourcentage,
calculs.
Les maths et les jeux
• Devenir fort aux jeux de stratégie!
Probabilité (1ère), statistiques,
fonctions, logique…
Le dilemme du prisonnier:
"Tu as le choix entre dénoncer ton complice ou non. Si tu le dénonces et qu'il te dénonce aussi, vous aurez une remise de peine d'un an tous les deux. Si tu le dénonces et que ton complice te couvre, tu auras une remise de peine de 5 ans, mais ton complice tirera le maximum. Mais si vous vous couvrez mutuellement, vous aurez tous les deux une remise de peine de 3 ans."
Le truel entre M. Noir, M. Gris, M. Blanc
‘’Monsieur Noir, monsieur Gris, et monsieur Blanc, fâchés, décident d’en finir sur le champ avec leur différend: ils feront un duel à trois, un truel.
Monsieur Noir ne tire pas très bien et il a une chance sur trois de toucher son adversaire. Monsieur Gris, lui, a une chance sur deux, et monsieur blanc touche sa cible à tous les coups. Pour équilibrer, c’est monsieur Noir qui tirera le premier, puis monsieur Gris, et enfin monsieur Blanc.
Que doit faire monsieur Noir?."
Les maths pour jouer!
Compléter la pyramide de telle façon que chaque case soit égale à la
somme des deux cases sur lesquelles
elle repose.
Quelle est la valeur de la case grisée.
Comment créer 4 triangles équilatéraux
avec 6 allumettes ?
Même question pour 8 triangles équilatéraux
(toujours avec 6 allumettes).
Une pièce sans fenêtre dispose d'une lumière. Trois interrupteurs sont placés à l'extérieur de cette pièce. Sachant que les trois interrupteurs sont en position 'off' et qu'on n'a le droit d'entrer qu'une fois dans la pièce, comment savoir quel est l'interrupteur qui allume cette lumière ?
Précision : on ne peut pas laisser la porte ouverte, on ne peut pas se faire aider de quelqu'un et la porte ne contient pas de vitre.
Donc les maths ça sert à…
• Gérer son argent, ne pas se faire avoir, bricoler, jouer, comprendre….
• Et à réfléchir! (’’s’il fait ça, alors.. Donc..’’).
Cf les sophistes et Platon.
• Cela sert aussi à comprendre la nature,
les phénomènes qui nous entourent, qui
s’expriment en langage mathématiques…
III. L’Art et les
Mathématiques
Mathématiques et musique
•La note obtenue en pinçant une corde est proportionnel à sa longueur.
•Si l’on multiplie par 2 la fréquence d’une note, on obtient la même note, une octave au-dessus.
•Pythagore avait remarqué que deux notes sonnaient justes si le rapport des longueurs des cordes était une fraction entière -> gamme pythagoricienne.
Les mathématiques et la peinture
• Les artistes de la renaissance considèrent que pour qu’une composition soit harmonieuse, elle doit respecter certains rapports mathématiques.
• Exemple : dans « l’homme de Vitruve », De Vinci définit les proportions harmonieuses du corps humain (1corps=7 têtes, etc….)
• Les artistes peignent leurs toiles selon une composition géométrique très étudiée. Le ciel est placé souvent aux 5/8 de la hauteur du tableau.
Les maths et le beau : les fractales
Les fractales sont des objets
en apparence très
compliqués, mais qui sont en fait définis par une simple fonction mathématique, elle peut donc être décrite en très peu de lignes! Si l’on zoome sur un point de la fractale, on a l’impression de voir la
Très peu de mots suffisent à décrire parfaitement ces images, générées mathématiquement!
Mais on pourrait Mais on pourrait aussi parler, par aussi parler, par exemple, de Max exemple, de Max Escher, qui joue Escher, qui joue sur la géométrie sur la géométrie dans l’espace…
dans l’espace…
Les mathématiques dans Les mathématiques dans
la nature
la nature
Les fractales dans la nature
• Beaucoup d’objets naturels sont des formes fractales :
– Les nuages
– La côte de Bretagne – Le chou
– Certains coquillages – L’univers lui-même
serait fractal!
Chou romanesco:
Une galaxie spirale
Un nombre caché : le nombre d’or
Les artistes de la renaissance considéraient le nombre comme exprimant les proportions parfaites.
• Le rapport entre la deuxième et la troisième phalange, entre la hauteur du corps et la hauteur des pieds au nombril correspond à ce nombre.
• Ce nombre se retrouve fréquemment dans la nature : tournesols, pommes de pin, fleurs, la coquille du nautile est une spirale d’or, etc…
Nautile et tournesol
Le langage de la nature
Les phénomènes naturels peuvent
être décrits, et simulés, par des
équations mathématiques
L’évolution du temps, la propagation d’une onde, la diffusion de la chaleur… Les lois naturelles suivent des équations mathématiques.
Navier-Stokes et la météorologie
Ces équations permettent de prédire le temps qu’il fera! Il faut les résoudre numériquement, en les simplifiant, à l’aide de puissants
avalanche
La mécanique classique La mécanique classique
Les équations de Kepler (lois des mouvements des planètes) et les équations de Newton (mécanique classique, description du mouvement des solides) permettent de prédire très précisément les positions, les vitesses des solides soumis à différentes forces comme la gravitation.
Elles permettent de prédire les trajectoires des météorites, de placer des satellites dans l’espace, etc.
La relativité générale La relativité générale
Quand les masses des objets observés deviennent trop élevée, quand leurs vitesses s’approchent de celle de la lumière, des phénomènes non prévus par la mécanique classique apparaissent. Les équations de la relativité générale complètent celles de la mécanique classique et prédisent le comportement des pulsars, la trajectoire de Mercure, la trajectoire des rayons lumineux…
Mobinet : simulons le mouvement
simple d’un objet
Mathématiques et traitement d’images
Les appareils photo numériques, mais également les astrophysiciens, les médecins travaillent à base d’images; ce sont des algorithmes mathématiques qui permettent de débruiter, compresser, détecter les Une image numérique
est un tableau de chiffre (0-> noir; 255-
>blanc).
Détection de contours : une
application en imagerie médicale
•
On souhaite insérer une vis dans une vertèbre (scoliose)
• Il ne faut surtout pas toucher la moëlle épinière!
• Il faut reconstruire une vue 3D de la vertèbre pour
guider le geste du chirurgien, mais un scanner est
encombrant…
C-arm, léger et mobile, Pour faire de la
radiographie
en salle d’opération
Méthode pour reconstruire la vue 3D de la vertèbre
• On prend deux radiographies, une
de face, une de profil, de la vertèbre, en début d’opération.
• On détecte les contours de la
vertèbre,
automatiquement, sur chaque radiographie.
• On recale un modèle 3D de vertèbre sur les contours détectés
