COURS MECANIQUE DU POINT MATERIEL

UNIVERSITE HASSAN II DE CASABLANCA FA CUL TE DES SCIENCES BEN M'SIK

CASABLANCA

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al.,.;,,.,~.,•n,,.,H,.-.,,.>UJ, ,:..-.-1.,.,_..1 1,0,'1.o!Jh l ...0,.. ùt-.:0 ~fi I ft..0-11' ljl'J\'f.i::~r:-. n;.,.,:,,i.: 11 t)(, • •• i\,"411l-">-

HII~

MODULE : PHYSIQUE 1 / SEMESTRE _ 1

COURS MECANIQUE DU POINT MATERIEL

FILIERE .

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SMI/SMA / SMP / SMC

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. · .... ;:

. Isaac Newton .

{1643-1727)

ANNEE UNIVERSITAIRE : 2015-2016

Prs : S. MORDANE & C. CHAHINE

Avenue Cdt Driss El Harti, BP 7955 Sidi Othman Casablanca, Maroc Tél :212 (0)22 70 46 71/ 06 61 90 20 14; fa-,;: 212 (0)22 70 46 75 e.cmail fsbmîamnivh1m.11c:.ma www.univh2m.ac.ma

~-_,____ -~ ^. ---, -·- -··· __,

,/

MQDULES_ DE_ eHYSJQUE :

S1

Mo _ dule_ 1: Mé.caniqÜe d~ pQ_ int.(Cour.s; i1H,_ TD __ :2,1H)

PLAN DU COURS :

• Chapitre 1: Rappels mathématiques (Opérations sur les vecteurs, Opérateurs _ différentiels.)

• Chapitre 2: Cinématique du point matériel sans et avec changement de référentiel.

• Chapitre 3: Dynamique du point matériel.

• Chapitre 4: Travail, énergie, théorème de l'énergie cinétique et théorème du moment cinétique.

• Chapitre 5: Les forces centrales : application à la mécanique céleste.

• Chapitre 6: Les oscillateurs hannoniques.

r.

Chapitre 1: Rappels mathé11iatiques (Opérations sur les vecteurs, Opérateurs différentiels.)

lntrotfuction

Le concept de vecteur et le calcul vectoriel sont des outils mathématiques indispensables pour la représentation et l'étude de plusieurs grandeurs physiques. La longueur, le volume, la masse, le moment d'inertie, le travail, la puissance etc ... sont des quantités scalaires : c'est à dire des grandeurs non orientées dans l'espace. Par contre, le rayon vecteur (ou vecteur position), la vitesse, l'accélération. la quantité de mouvement, la force, le moment d'une force etc ... sont des grandeurs physiques orientées dans l'espace (quantités vectorielles caractérisées par une origine, un support, un sens et un module).

Les vecteurs se diffèrent des scalaires, ils ont des expressions régies par le calcul vectoriel et ont des propriétés qui leurs sont propres. La représentation en termes de vecteurs et 1e calcul vectoriel ont l'avantage de conduire à des expressions plus simples et élégantes. Ils permettent d'éviter des calculs longs et fastidieux et diminuent les causes d'erreurs. Leur concision et l'indépendance des lois de la physique, écrites sous formes vectorielles dans des systèmes d'axes choisis, rendent, en général, leur utilité importante en physique.

Cette première partie sera consacrée, d'une part, à l'introduction du concept de vecteur et à la présentation du calcul vectoriel largement utilisée en mécanique et d'autre part, aux méthodes de résolution des équations différentielles du second ordre.

1- Scalaires et 'Vecteun :

Les grandeurs physiques que l'on étudie en mécanique se scindent en grandeurs scalaires et · · grandéurs vectorielles. Les " grandeurs scalaires' sont représentées complètement par l e u r s ~ - Quant aux grandeurs vectoriellés, en plus de leurs valeurs numériques (modules), ils sont caractérisés p_~ une orientation (sen_§).

1. · 1. Scafaire :

On · appelle scalaire toute grandeur géométrique ou pfiysiq ue qui est· caractérisée par un nombre réel.

<&:empfés : _

- la longueur, la largeur, la hauteur, la surface, le volume, etc ... sont des scalaires _ de type géométrique

- la masse, la masse volumique, le temps, la pression, la température, l'énergie, le travail, la puissance etc.:. sont des scalaires de type physique.

1. 2.

'Vecteur:

On appelle vecteur toute grandeur géométrique ou physique orientée dans l'espace.

Elle est caractérisée par son origine ( ou point d'application)., son support, son s~ et

son module. . / _,,,,.

________,

Le vecteur

V

est défini par le bipoint

{Q,P)

d'origine Q, d'extrémité P et de support

➔

~ de vecteur directeur u (voir figure 1 ).

ModuJe d'un vecteur :

Le module du.vecteur

v,

^n~té

\lvll

⁼

^{IIQP\1 = v,}

est la longueur du vecteur

v .

➔ ➔ ➔ ➔

Le module du vecteur u est égal à l'unité, il donne l'orientation du vecteur V : V= Vu

~sent.a.tûm:

➔

(t.)

Figure 1 : Vecteur et ses caractéristiques

~empfes

âe

wcteurs :

➔ ➔ ➔

Le vecteur position: r = QM d'un point matériel _M, son vecteur vitesse: V, son

➔ ➔ ➔

vecteur accélération:

r,

son vecteur quantité de mouvement: P, la force F s'exerçant

➔ ➔ ➔

·sur ce point matériel, le moment: Mo(F) de la force: F par rapport à un point O et le

➔

moment cinétique cr o (M) etc ...

Z~Cafcut vectoriel

- ~e a'un esgµ:e

wcwrie{

Définition:

Un espace vectoriel E sur un corps K, (K

=m.)

est de dimension

n

s'il possède une base de

n

éléments, c'est-à-dire:

➔ ➔ ➔ ➔

3

e_{1 ,} e2 , ... e₀ EE tel que

'if

^U E E,

3 x

_{1 ,}

x

2 , ... X0 E9t,

➔ n ➔ - ➔ -

u

⁼

Lx, e

i = X

e

+Le + ... +X

en

i=l ' ^{1 l •}

➔

est la base de · E et la décomposition de U sur la base· est unique. Les

➔

coefficients xi, (i

=

^{1,n ),} sont appelés composantes de U sur la base considérée.

Notation usuelle:

- Proauit scafai.re

On appelle produit scalaire toute application :

ExE

(u,v)

➔➔

qui satisfait les propriétés sùivantes :

...

e'v'U,VeE

Définitions:

➔➔ ➔➔

U.V=V.U

• Norme ou module d'un vecteur:

(symétrie)

➔➔

u.v

On appelle norme d'un vecteur

Û

(ou module) le réel positif qu'on note

~

^ou

lûl

définie par: ·

➔

➔ !➔➔

U =-VU.U

• Un vecteur U est unitaire (ou normé) si:

➔- ➔➔

U =l ~ U· U =1.

➔ ➔· ^➔

• Deux vecteurs U et V sont:orthogonaux si

➔ ➔·

U·V=O

• Une .base {

i, j, k}

est orthonormée si ses vecteurs sont unitaires et orthogonaux deux à deux:

➔➔ ➔➔ ➔➔

i·

j = i·k= j-k=O

➔➔ ➔➔ ➔ -➔ - _{➔ ➔ ➔}

. . . . k k 1

l · l

=

^{J · J}

= ·

^{= OU} i = j = k = l .

• Expression analytique d'un produit scalaire dans une base orthonormée

{7,1,k}:

4

- - ---- - -- - -

➔ ➔ ➔ ➔

Soient U

=

^{x i} + y j + z k ,

➔ ➔ ➔ ➔

V

=

x' i

+ y' j + z'

k

ona

➔ ➔

U· V=

xx'+yy'+zz'

➔!

u!= ✓x2+y2+z2

1

➔ _V

_=1v(x)

I

^{, 2}

_+(y)

^{' 2} _+(z) ^{' 2}

• Représentation géométrique du produit scalaire :

➔ ➔

Le cosinus de l'angle 0 entre deux vecteurs V 1 et V 2 est donné par:

Ce qui donne:

• Projection d'un vecteur sur une base:

La projection vectorielle du vecteur

V

sur une base orthonormée {

i, j, k}

s'écrit sous la forme:

- <Protfuit vectorie{:

➔·· ➔➔➔ ➔➔➔ ➔➔➔

V =(V· i) i +(V· j) J+(V· k)_k

On définit le produit vectoriel sur un espace vectoriel

E

comme une application

ExE E

(u,v)

➔➔ ^{W=U/\V --+ ➔· ➔}

➔➔ ➔➔ ➔➔

-VU, VEE, U/\V=-V/\U (anti - symétrie)

➔ ➔ ➔

- Le triplet ( U , V , W) est direct.

.,

I ^{➔ !} ➔ ➔ 1➔, ➔ 1 ➔/\.➔

- _ S~n ~~d~e₀^:

~I~? '; v_ ~

^U

I

v_

Jsin(U , V) _·

Sa direction est celle de la perpendiculaire au plan (

7t)

qui contient les deux vecteurs

➔ ➔

U et V .

Une base {

Î, Î, k}

est orthonormée directe ·

W

vecteurs sont orthogonaux deux à deux et si:

➔➔➔➔➔➔ ➔➔➔

i /\. j

=

^{k , j /\ k}

=

i et k /\. i = j

➔

k

➔ ^➔

J

l

Définition d'un repère:

➔ ➔ ➔

L'ensemble d'un point O et d'une base ( i, j ,k) constitue un repère. Le point 0

➔ ➔ ➔

est dit l'origine du repère qu'on note R(O, i, j ,k).

- Présentation d'un repère:

z

- ➔

➔ ➔ ➔

(k - -~

➔ 0 y

R(O, i, j,k)

^{l - ➔}

~ j

X

- Expression analytique d'un produit vectoriel dans une base orthonormée directe

➔ ➔ ➔

( i, j ,k) : Soient

! . . -

➔ ➔ ➔ ➔ ➔ ➔ ➔ ➔

/ V=

x i +y j +z k , V

=

x' i

+

y' j

+

z' k on a : 1

➔

^{-+ '}

, .➔.

t

' ➔ ' '➔

U/\ V=

(yz ~ey) i'+(zx -xz) j +(xy -yx) k

_ 3- Cfiamp scafaire et cfiamp vectorie{:

3.1. Cfiamp

scalaire:

^{' ' . ~ ' " .- -•..,_'} !"". '.,__ ' ..

On est fréquemment amené à considérer, en mécanique, une grandeur physique définie localement en chaque point d'un milieu. Par exemple, la masse volumique (la pression, la température, l'énergie potentielle, etc .. ). La valeur de ces grandeurs physiques dépend alors des coordonnées x, ^y et z du point et éventuellement du temps t si le milieu évolue.

La répartition des valeurs d'une grandeur physique ou géométriqueG, dans le milieu considéré, forme un champ scalaire qui peut être représenté par une fonction G(x,y,z) supposée continue et dérivable. Quand G est une constante, le champ est dit uniforme.

3. 2. Cfia.mp vectorief:

Les grandeurs vectorielles sont aussi définies localement, elles peuvent dépendre des coordonnées x, y et z dù point où on les mesure. La vitesse d'écoulement d'un fluide, le champ de pesanteur, le. champ électrique et le champ magnétique, etc... sont des exemples de champs vectoriels physiques.

➔

La répartition d'une grandeur vectorielle G( x, y, z), dans le milieu considéré, s'appelle un

➔

champ vectoriel. La fonction vectorielleG(x,y,z), supposée continue et dérivable, représente ce champ vectoriel.

3. 3.

Çraâient

tf'un cfia_mp scalaire:

➔

Le gradient d'un champ scalaireG(x,y,z), noté par gradG(x,y,z), est un vecteur défini par :

Où

t~~;~ ,~}

est une b~se orthonormée directe et

a:)

^{(resp. a~) et à:)) est là}

dérivée partielle de G par rapport à la variable x (resp. y et z) avec y et z constantes, (resp. avec x, z et x, y constàntes).

Ce vecteur permet de calculer la variation du champ scalaire G lorsqu'on passe d'un . point M à un point voisin M · .

➔ ➔ ➔ ➔ ➔

En effet, si l'on considère le vecteur infiniment petit MM'= dM = dxe₁ + dy e₂ + dze₃^, alors la différentielle de G s'écrit:

aG 8G aG

dG(x,y,z) =-dx+-dy +-dz

ôx ôy

oz

➔ ➔

=

grad G(x,y,z) • dM

1 '

3. 4.

(J)ivergence âun cfiamp vectorie[

➔ ➔ ➔ ,

I.,~

divergenc~ d'un champ veètoriel G(x,y,z)=Gxe1+Gye2+G,e3, notée

➔

div G , est un champ scalaire défini par :

' ➔ ôG 8G" ôG div G

= - -

¹ + - - ·

+ --•

&x

ay az

· 3. 5.

Œ.ptationne[ âun cliamp wctorie[:

➔ ➔ ➔ ➔

Le rotationnel d'un champ vectoriel G(x, y, z) = G, e₁ +GY e₂ + G, e 3 ,

➔ ➔

rot G , est un champ défini par :

➔

e1

➔ ➔ ô rotG

= - ·

àx G,.

➔ ➔ .

C2 CJ

a a ay

^ôz

GY G1

=( a:: -:, ):.{:· -~- F,+(~ -8!·) ;,

Le rotationnel d'un champ vectoriel caractérise la rotation des particules du milieu. Il nous petmet de vérifier est ~e que le champ est conservatif ou non. ·

. 4-

9,1.étfwtfes

rie réso{ution âes équations âifférentiefies 'Equations âifftrentielles au

second orrlre:

Définition:

Une équation différentielle du second ordre s'écrit sous la forme:

F(y" ,y' ,y, x)=.0

t11",··-·~

. ~

avec y,,;, f(x) est la solution de l'équation y'= "'1et y"= d ; .

· dx di:

'Equations âifforentielies finéaires à aefficien.ts constants sam secona mem6re.:

Définition: .

noté

Les équations différentielles linéaires à cœfficients constants sans second membre s'écrivent sous la forme:

avec a , b et c sont des constantes.

Méthode de résolution:

ay' '+by'+cy

=

0

On considère l'équation caractéristique associée

· ar² +hr+c=O Puis on cherche les racines de cette équation.

Si deux racines réelles différentes r₁ et r₂ alors la solution est y= Aer,x

+

Ber,x

Siuneracineréelledouble r₁ ==r₂ =r alorslasolutionest y=erx(Ax+B) -:: :._.

8

- Si deux racines complexes r

=

a.

± if3

alors la solution est y= ear (Acos(!h)

+

B sin(~x))

'Equations aifftren~lies finéaires à cœfjicients consta.nts avec seœruf membre:

Définition:

Les équations différentielles linéaires à cœfficients constants avec second membre s'écrivent sous la fonne:

ay"+by'+cy

=

D(x) avec a , b et c sont des constantes.

Méthode de résolution:

On cherche une solution de l'équation sans second membre appelé solution homogène ( y h )

ay"+by'+cy = 0

et une solution particulière ( y P )de l'équation avec second mèmbre ay¹¹+by'+cy

=

D(x)

La solution générale est la somme de la solution homogène et de la solution particulière.

Recherche de la solution particulière:

- Si D(x)

=

^P0 (x) ( P₀ (x) est un polynôme de degrés n en x alors on a trois cas:

a) Si c ^:;i1: 0 alors y P (x) = Q₀ (x) ( Q₀ (x) un polynôme de degrés n)

b) Si c = 0 et b :;il: 0 alors y ^P (x)

=

Qn+I (x) ( Q₀+1 (x) un polynôme de degrés ⁿ + 1) c)Si c=O, b=O et a:;i1:0 alors yp(x)=Qn+i(X) (Q₀+2(x)unpolynômededegrés

n+2)

Si D(x)

=

Acosa.x + Bsin ~x alors y P = Ccosax+ Dsinl3x

1 - ___ .

I

Chapitre 2: Cinématique du point matériel sans et avec cha1tgement de référentiel•' · · -

1-

Introauctûm

La mécanique est une science qui se préoccupe de l'étude des mouvements des corps de l'univers et les relations établies au sein de cette discipline sont des relations spatio-temporelles explicites ou implicites.

Cette discipline a pris un essor fondamental avec l'énoncé des quatre principes fondamentaux de Newton (1687). Einstein en 1905 fonde la mécanique relativiste pour élargir les lois de la mécanique dans le cas où la vitesse est grande. Après cela, la mécanique Newtonienne s'appellera la mécanique classique.

On définit plusieurs branches en mécanique:

- La Cinématique se propose de décrire les mouvements indépendamment des causes qui

les produisent. -

- La Dynamique complèt~ la cinématique par la prise en compte des causes qm provoquent le mouvement.

. - La .Statique.est une science de l' équilibrf!. Cette branche permet d¹étudier les conditions pour lesquelles il n'existe pas de mouvement.

Les objets dont la mécanique a commencé à étudier le mouvement étaient des corps rigides, formant au cours du temps des figures invanables au sens de la géométrie euclidienne et si les dimensions de tels objets étaient relativement petites par rapport aux échelles choisies, on peut raisonnablement assimilé un tel objet à un point matériel. On parle alors de la mécanique du point matériel.

~ton:

, : , ,, , '. : ' ' ,, " '. ':"· ,,,&<<\f

⁰

pbtiii

matériel est un corps dont les dimensions peuvent être négligées tt:trrn'tes

conditions du problème considéré. ·

Note:

Au cours de notre programme, on se place dans le cadre de la mécanique classique, et on considère que tout système physique est réduit à un point matériel.

2- Caâre spatio-t.empore{ âe .

Ca

cinématique newtonienne

2-1 !Notion tfu

temps

La notion du temps est une notion intuitive, on sait seulement distinguer 'avant' et 'après' et par des dispositifs physiques appropriés (horloges) constater la simultanéité de deux événements par rapport à un observateur donnée.

Une échelle de temps est destinée à affecter à chaque instant un nombre t, avec des conventions:

- A deux instants différents correspond deux valeurs distinctes de t.

- L'-instant ^t1 est antérieur à fi

et

^t2 est postérieur à t1 si fi< t2• J\101_:~ t e.st ~pujours en

croissance du passé vers l'avenir. ·

10

- Un intervalle de temps

[t

0 ,

T]

s'appelle une durée.

Ce paramètre temps se mesure par une Horloge par l'unité Seconde dans le système international MKSA.

Postulat de Newton de l'universalité du temps:

Le temps est une durée absolue existant indépendamment des corps et des repères d'espace. Il existe un temps "universel" qui s'écoule "uniformément" en tout point de l'espace.

Conséquences:

- Quelque soit l'observateur, les positions de tout les corps de l'univers s'exprime par des fonctions qui dépendent d'un paramètre évolutif unique t.

- Ce postulat distingue la mécanique classique de la mécanique relativiste.

2-2 :Notion

tI'

espace

L'espace est euclidien et absolu (un espace est absolu s'il est indépendant des corps

qui s'y trouvent). On y associe un repère pour définir la position des corps qui s'y trouve.

Notion de repère:

Un repère est un ensemble constitué d'une origine et trois droites concordantes, orientées, normées et orthogonales:

z

➔

r➔k o'i

^y

i ➔

➔➔➔

_y

R(O, i,j,k)

X

La distance entre la position du poinf matériel et rorigine du repère est mesurée par le mètre dans le système MKSA. On rappelle que la notion d'orientation est définit par le produit vectoriel et les notions de norme et d'orthogonalité sont définit par le produit scalaire.

Définition:

On désigne par Référentiel ou Observateur l'ensemble d'un repère pour schématiser l'espace et d'une Horloge pour la mesure du temps.

Référentiel

=

Repère + Horloge

+

.-or-·•·-

Il résulte de l'universalité d:u temps que deux référentiels ne se distinguent que par leur . repère d'espace pajsque le temps est absolu.

{,, . ' ,,. :·~: .. ^~ ';:, "f;":•:'-• ·-~:' ... ,';-';. . -~ .. -.. ' .. -

·Remarque:

En mécanique classique, on parle indifféremment du repère d'espace et du référentiel.

2-3 Les systèmes tfe COOt"aonnées A- Coordonnées cartésienne

➔ ➔ ➔

Soit R(O, i, j,k) le repère de l'espace supposé orthonormé direct, ce qui se traduit par les relations suivantes:

Ili!\

=

11

1

₁₁

_{= llkll =}

¹ _;

➔➔ ➔➔ ➔➔

i-j = i•k= j•k=0;

➔ ➔ ➔ ➔ ➔ ➔ ➔ ➔. ➔

i " j

=

k , j " k

=

i ' kA i

=

j Le point M est repéré par ses coordonnées x, y et z où

➔ ➔ ➔

x

=

OM .. i est la projection du vecteur OM sur l'axe des x appelé abscisse.

➔ ➔ ➔

y= QM. j est la projection du vecteur OM sur l'axe des y appelé coordonné.

➔ ➔ ➔

z

=

OM• z est la projectio~ du vecteur OM sur l'axe des z appelé côte.

OM=(;l '

_z

-+ -➔ ➔

( i, j .k)

➔ ➔ ➔ -➔

OM=xi+yj+zk,

z

_.} ... •<

..

^•·

.. ··

:

~ ~

~ ~

r

^k

rM

: : Q\

!

^{0 .}

j j : .•••. / V

.-··

pi : .·

,.

... -·

... .,-:

X

Les composantes x, y et z ne sont autres que les abscisses sur les axes des projections P, Q et R du point M. La correspondance des points de l'espace géométrique avec les éléments (x,y,z) de R³ est ~ijective. Les trois axes jouent un rôle symétrique:

B- Coordonnées cylindriques 1- Coordonnées polaires

La position.du point M dans le plan (Oxy) peut être déterminer par (p,8). p ~st la

➔

distance de M à O ou le rayon polaire. 8 est l'angle entre l'axe des abscisses et OM,

➔" ➔

0

=

(Ox , OM) appelé angle polaire.

y

....

....

M

Q...__ _ _ _ ..__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ X

(p,9) sont. les coordonnées polaires de M dans le plan (Oxy). La base orthononnée

....

...

polaire est formée par deux vecteurs ep et ee respectivement définis par le déplacement vectoriel de M lorsque p et 0 varient séparément. On obtient:

.... ➔

- e ^P colinéaire à OM et dirigé dans le sens des p croissant.

➔ ....

- e e .l OM et dirigé dans le sens des 0 croissant.

On a finalementOM

=

p~ , {;

P,;

e} est une base liée au point M et change quand M change par rapport

à

^R. On a les relations suivantes:

x = p cos(9),. y= psin(8)

·p2=x2+y2, tg(0)=y

X

Avec (x,y)coordonnées cartésiennes.

Proposition:

....

d•ep. ;+

- - = ee d0

·2- Coordnnnées cylindriques

➔

d-.e&-· ^•··-!· ➔-

- - = - e

d0 p

La connaissance du point M par rapport au repère R peut être détenninée par la connaissance respective des points P, projection de M sur le plan (Oxy) et H, projection de M sur l'axe(Oz). On peut écrire que

➔ ➔ ➔ ➔ ➔

OM =OP+PM =OP+OH.

P peut être déterminé par les coordonnées polaires (p~ 0) et H par la côte z. En

➔

conséquence le vecteur position est fonction de ces trois paramètres : OM (p, 0, z).

- p est la distance de P à O ( p

= l\ôr\\ ).

➔ -➔ " ➔

- 0 est l'angle entre l'axe des abscisses Ox et OP (0

=

(Ox, OP) ).

- La côte z est la distance de H à l'origine

c\rHll ).

I •--.

z

H_

➔

X

M

' •➔

....

,

➔

, ,

-: ·:.-:·:. " .. ,·: .. •· --~

y

p, 9 et z sont les coordonnées cylindriques du point M dans l'espace. Ils sont liés au.x coordonnées cartésiennes PlV les relations suivantes:

x = pcos(0), ·

y=

psin(0), z = z p2=x2+y2

tg(0)

=

^Y.

X

Avec ( x, y, z) coordonnées cartésiennes.

La base orthonormée directe cylindrique est formé de trois vecteurs {;

P,;

^s

,_k}

respectivement définie par le déplacement vectoriel de M lorsqµe p, 0 et z varient séparément. On obtient :

➔ ➔

- e P colinéaire à OP ^et dirigé dans le sens des p croissant.

➔ ➔ ·,

- !e ..L OP et dirigé dans le sens des 0 cro/ïsant.

- k colinéaire à l'axe (Oz) . 0n a finalement:

➔ ➔ ➔

OM=peP+zk Remarque:

- Si z

=

⁰ on trouve les coordonnées polaires.

{

^{➔ ➔ ➔}}

- e ^{P ,} e a, k est une base liée au point matériel M .

Proposition:

. d -:PJ ^{= ;}

0

d8

R

.a-:aJ--➔e·

, - - - - p

d0

. R

d; _ J

⁼⁼

⁰

d0'

R

14

C- Coordonnées sphériques

➔➔➔

Soit R(O, i, j, k) un repère orthonormé direct Ur:1 point géométrique M p~ut être.

repéré par les paramètres suivants:

.. r est la distance de M à l'origine O ( r =

lioMll ).

➔ ➔ I\ ➔

- 0 est l'angle entre l'axe (Oz) et OM appelé colatitude ( 0 =(Oz, OM) ).

➔ ➔ A ➔

- q> est l'angle entre l'axe (Ox) et OP appelé longitude ( <p

=

(Ox, OP) ).

On note P la projection de M par rapport au plan (Oxy) et H projection de M par rapport à l'axe(Oz).

z

H.

X

➔

➔

ep ...

eq,

➔

ee

,-

y

,-

r, 0 et cp sont les coordonnées sphériques du point M dans l'espace. La base

{

... ➔ ➔}

orthonormée directe sphérique est formé de trois vecteurs e,, ea,e"' respectivement défi.nie par le déplacement vectoriel de M lorsque r , 9 et q> varient séparément. On obtient:

➔ ➔

- e, colinéaire à OM et dirigé dans le sens des r croissant.

➔ ➔ •

- ee J_ OM et dirigé dans le sens des 0 croissant.

➔

- e"' ^J_ au plan q> = co.ns tan te et dirigé dans le sens des cp croissant.

On a finalement:

➔ ➔

O:M

=

rer

z

Définitions:

➔ ➔

Le plan méridien est le plan défini par (Oz, OM) , il correspond au plan cp = cons tan te

➔ ➔

Le plan parallèle est le plan défini par (0x,OP), il correspond au plan 0

=

cons tan te.

➔ ➔ ➔ ➔

q,

=

^(ox,OP) est appelé longitude ou azimut et 0

=

(oz,OM)est appelé colatitude.

z

Remarque:

Plan parallèle

0 = ^cte

P.

1

an men 1cn

. .d. m ^'t"

= cte

0=-

1t _'r plan équatorial .:.

• Lorsquè le problème ne dépend pas de 9 on retrouve les coordonnées polaires.

Les coordonnées sphériques, ( r , 0 , cp ) du point M dans l'espace, sont liées aux coordonn~s cartésiennes parles relations suivantes:

X

^x

=

rsin(8)c~s(cp) f<'Y

=

rsin(0)cos(cp),\z

=

r cos(8) r2=x2+y2+z2, tg(<p)=r

. X

Avec (x, y, z) coordonnées cartésiennes. D'après la figure ci-dessus on a:

➔ • ➔ ➔ ➔

er

=

sin(0)cos(cp) i+sin(0)sin(cp) j+cos(0)k

16

➔ ➔ ➔ ➔

e e

=

cos(0) cos( cp) i + cos(0) sin(cp) j-sin(0) k

➔· . -·~--- ➔ .::,.._ ·➔·-..

e q,

= -

siri( cp) i + cos( q>) j Proposition:

➔ ➔ ➔

der= d0 ee+ dcpsin(0) e,

➔ ➔ ➔

de₈ = -d0 er+ dcp cos(8) eq,, d~ = -de{ sin(0); r+ cos(0);: )

2-4 (J)éfinition

au

^nwuvement

2-4-1 tDifinitio11.r

Il est très important de comprendre que le mouvement ne peut être correctement défini que si on précise le référentiel. C'est pour cela qu'il est pédagogique de mentionner le repère dans tous les symboles utilisés en mécanique. Une fois qu'on change de référentiel on change les car:actéristiques du mouvement.

Définhions:

• On dit que pendant la durée ·

[t

0, T] un point M est en équilibre dans le référentiel R, si .pour tout t, tel que t₀ :St :ST, le point M est cinématiquement lié à R c'est à dire que la

. ➔ ➔

position du point M ne varie pas par rapport au temps: 'v t, OM

=

^OM0 , Mo est un point lié au repère R. Dans ce cas, les coordonnées du point M dans le repère sont constants pour tout instant t. Le point Mo est une position d'équilibre.

• Si le point M n'est pas en équilibre par rapport au référentiel R il est en mouvement par rapport au référentiel R. Dans ce cas le vecteur position _est une fonction du temps t :

➔

'vt,OM(t); M est en mouvement par rapport à R.

24-2 <Définition âe Ca trajectoire

Soit Run repère donné et soit Mun point matériel en mouvement par rapport à

➔

R. Le point M est repéré par le vecteur position OM(t) et à chaque instant il est représenté par un point cinématique qui correspond à un point géométrique dans l'espace.

(C)

l

Définition 1

On appelle trajectoire du point M, l'ensemble des positions successives que prend le point M par rapport à R lorsque le temps varie. Cet ensemble de position correspond ·

-

au lieu de l'extrémité du vecteur position OM(t) lorsque

t

varie et il est représenté par une courbe dans l'espace.

Décrire la nature de la traje~toire revient à décrire la nature de la courbe. Ainsi, on dit que:

- la trajectoire est circulaire si la courbe est un cercle.

- La trajectoire est rectiligne si la courbe est une droite.

· - La trajectoire est hélicoïde si la courbe est une hélice.

Déterminer la trajectoire revient à déterminer les caractéristiques géométriques de la courbe, pour cela on se ramène en générale à l'utilisation des systèmes de coordonnées.

Définition 2

• Les équations horaires du mouvement sont des équations paramétriques sous la forme :

pnon.

{

X= f(t) y= g(t).

z

=

h(t)

Où f, g et h sont des fonctions connues à

• L'équation cartésienne de la trajectoire s'obtient en éliminant le temps t:

F{x,y,z) = 0 Définition 3

• Les équations horaires du mouvement sont des équations paramétriques sous la forme :

' {p(t) ⁼

^f(t)

0(t)

=

^g(t)

Où f et g sont des fonctions connues à priori.

•L'équation polaire de la trajectoire s'obtient en éliminant le temps t:

2+3

~empres ae

trajectoïm o/cnrcours

F(p,9)

=

0

18

3- Vitesse

et

accéCération d'un point matérie[

3-1

(J)éfinitions .

Soit R un repère donné et soit M un point matériel en mouvement par rapport à ce

➔

repère. Le mouvement de ce point est défini par le vecteur position OM .

... ... dOM

➔ J

- La vitesse du point M par rapport à Rest le vecteur V(M / R) : V(M / R)

= - -

dt

-+

- L'accélération de M par rapport à R est le vecteur r(M / R):

i(M/R)=dV(M/R)) =d

2

0M)

dt dt2

R R

·Remarque:

R

- L'écriture "par rapport à R" signifie pour lil1 observateur lié

à

R c'est à dire pour lequel les vecteurs de base de R sont fixes.

➔

- La vitesse du point M par rapport à R, V(l\t / R), est une fonction vectorielle du temps

➔

qui représente la variation instantanée

du

vecteur position OM :

➔· ➔ ➔

V(M/R)= dOM

=

lim OM(t+At)-OM(t) dt At ➔O At

" ····: .. -'.:::' ^. ...,.. ^.

- L'accélération du point M par rapporf_'à R, f(M / R), est une fonction vectorielle du

➔

· temps qui ~eprése!:1te la variation instantanée du vecteur vitesse V(M / R):

➔ ➔ ➔

r(M/R)= dV

=

lim V(t+At)-V(t) dt ,M➔O At

3-2 'Vitesse et accéfératwn en âifférents systèmes

de

coortlonnées

3-2-1 'JJitesse et accér.ération en cooraonnées curvûllJnes

➔ ➔ ➔

Soit R(O, i, j, k) un repère orthonormé direct donné et soit Mun point en

➔

mouvement par rapport à R, définie par son vecteur positionOM. Sur la courbe (C) décrivant ·la trajectoire du pointM, on choisit une origineM₀ ·et on définie un sens de parcours. La position du point M par rapport à R peut être définie par l'abscisse curviligne s(t) sur (C) orienté et qui représente le chemin parcouru par M à l'instant t.

➔

Ainsi on peut établir une application· entre t, s(t) et le vecteur position OM de tel

➔

manière qu'on peut écrire OM(s(t)).

. -.. -.. :-<i~ .. ,-· .... .. ,.

'-;.œ

~ -' ·

.

s

:."'..F. .,~-.• ~-}~ ,· • • "

(t)

(C)

Remarques:

- Cette représentation est dite intrinsèque car elle est indépendante de la base associée au repère R. Elle ne dépend que de la trajectoire.

- s(t) est une coordonnée curviligne qui se mesure en mètre.

A-Ecriture de la vitesse en coordonnées curvilignes

La vitesse du point M pat ràpport à R peut s'écrire sous la forme:

V(M/R)=

dOM(s(t)J = dOMJ ds

dt ds dt

R R

Chaque terme qui compose l'expression de la vitesse peut être interprété de la manière suivante:

dOM) . . . dOM] ^➔

• - - est un vecteur unitaire tangent: - -_

=

^'t

~ ~

R R

e

. n en e mt ^{d 'd ·}

V➔(M

^{/ R)} ·

= - - dOMJ = -

^ds

➔

^T ou s(tt est a sc1sse curv..i 1gne. ^{• l' b · · ·1·}

dt

^dt

R

• IIV(M / R)II

^{= :: .}

• Cherrùn parcouru entre deux instants t

=

^{0 et t :}

ds=l\v(M/R),rt ⇒ s(t)-s(t=O)= fds= fllv(M/R),1dt

B- Ecriture de l'accélération eri coordonnées curvilignes: ·

Par définition, l'accélération représente la variation instantanée du vecteur vitesse.

Tenant compte du résultat établit en A-, on peut écrire:

r(M / R) = d

V(M / R))

⁼

~[ds ;J

⁼

^d

²

^{s ;+ ds d ;]}

dt · · df dt R dt2 dt dt

R R

...

Par définition, le vecteur tangent dépend localement de l'abscisse curviligne : 't (s(t)) d; d; ds ... - .

d ² s ➔

^(ds)2

d;J

Onpeutécrireque - = - -,onendéduitque r(M/R)=-₂ t+ - -

dt ds dt dt dt ds

ds · Or --==v

dt Remarque:

Définitions:

...

n

⇒

➔ d

^{2s ...}

(ds)

¹

1 ...

r(M/R) =--r+ - --n dt² dt Re

➔

➔

't

➔ dv ➔ v¹ ➔

r(M/R)=--r+-n dt Re

(C)

Une droite est caractérisée par une courbe nulle.

R

L'accélération d'un point M se décompose stùvant la tangente et la normale à la trajectoire (C):

➔

I',(M) est Ja composante ~gentielle:

➔

-• d²s ➔ rt(M)=-,t,

de

r

ⁿ (M) est la composante normale:

➔ -ds t ➔

( )

l

rD(M) == dt Re n,

(C)

➔ ➔ ➔

r(M / R) =

r

^,(M) + rn(M)

Il

... 1: d

2

s

Id"!

r ,(M)1 =

^dt2

=

^dt

➔

...

r(M)

➔ ➔ ➔ I'➔

^{Ill I'\--+ \12}

11➔

¹¹²

f{M /R)==

r, ^{(Ml t{•.,(M?}

^{⇒.ft1) .}

⁼ r,5~\ ^+. r

^u(M)'

➔ ➔

(-r• n

=

0),

~(ds)l

^{> 0}

Re dt Définition: Trièdre de Fresnet

➔ ➔ ➔

Soit le vecteur unitaire b

=

^'t/\ n, son support est bi-nonnale en M à la courbe (C):

➔➔ ➔➔

b. ^'t = 0 et b. n = 0

➔ ➔ ➔

Le trièdre (,:, n, b) est le trièdre de Frenet.

➔➔ ➔

- Le plan ( -r, n) est le plan osculateur en M à la courbe (C). Le sens de n détermine la concavité de la courbe.

- La vitesse et l'accélération d'un point M appartenant toujours au plan osculateur:

--+ --+ --+- . d,; ➔ v2 ^--+

V(M/R)=V't, r(M/R)=-'t+-n

dt Re

3-2-2 'Vitesse et accéfération en coorâonnies cartésimnes

➔" ➔ ➔

On pose R(O, i, j,k) le repère de l'espace qui est considéré orthonormé

➔ ➔ ➔ ➔

direct. Le vecteur position peut s'écrire sous la forme : OM

=

x i + y j + z k et son module

lrMI I

⁼

✓x2+yl

^{+ z2.}

- La vitesse :

-L'accélération:

Remarques:

. V➔(M

₁^··R·).

-[d 0~] _ dx-;-

_{- - -} - - 1 + - J + -

.

^{dy -:}

dz k.:..

dt dt dt dt

R

➔ [d . ~ (M / R)] d

^{2 X;}

d

²

Y; d

^{2 Z}

➔

r(M/R)= . = -1 + - J + - k

. dt dt2 dt2 dt2

< -·: ·.r •· R

22

➔ ➔ ➔

-

~

=

~ ^{= d k =}

Ô

car ce sont des vecteurs liés au repère R.

dt dt dt . . ··

- On peut utiliser la notation pointée : ~ = dx , ;

=

d¹ x

dt dtl

- Si l'une des composantes est nulle pour tout instant t, on a des mouvements plans.

- Si deux composantes sont hulles pour tout instant t, on a des mouvements rectilignes.

- ds = ~V~dt = .Jdx² + dy² + dz^{2 •}

3-2-3 Vitesse et a.ccéfération en coortftmnées cylintfriques

{

^{➔ ➔ ➔}}

La hase cylindrique ep, ee,k est une base orthonormée directe formée de trois vecteurs respectivement définie par le déplacement vectoriel de M lorsque p, 8 et z varient séparément. On obtient :

➔ ➔ ➔ ➔

- e ^P colinéaire à OP et dirigé dans le sens des p croissant, e a l. OP et dirigé dans le

➔

sens des 0 croissant et k colinéaire à l'axe (Oz) . z

B

-

_M

➔

y

, ,

➔ , , '

X ^➔

- Le vecteur position : OM ^➔ = pep+zk ^{➔ ➔}

➔ • dOMl

^d

^{➔ ➔)}

^{• - •}

^{➔ • ➔}

V(M/R)=-- =-(pe +zk) =peP+p0e₆+zk

dt dt P R

R

- Le vecteur vitesse :

Le

'l' • • ➔ dV(M/R) ·

²

➔

^{• •}

➔ ••➔

- vecteur acce erat1on. r(M/R) = - - -

=

(p-p0 )e +(p0+2p8)e + zk

dt P 6

. R

- L'abscisse curviligne:

ds

= l!V(M /

^R)~t

~

3-2-4 'Vitesse et a.ccéfération en coort:funnées spfiirique.s

La base orthonormée directe sphérique est fonné de trois vecteurs {;.,; e, ~}

::}iJp6~tf{ ; ~m~~t

définie par le 'dêplaêement vectb~iel de M 1orsque

r;

ff

'èf~

\'arient séparément. On obtient:

➔ ➔

- e ^r colinéaire à OM et dirigé dans le sens des r croissant.

➔ ➔

- es l. OM et dirigé dans le sens des

e

croissant.

➔

- e11> .i au plan q> = cons tan te et dirigé dans le sens des cp croissant.

z

H.

➔

e

k

➔

➔ ➔ ➔

1

r ' ea

, , , , ,

y

Soit R(O, i, j, k)un repère orthonormé direct. Un point géométrique M peut êtr~ repéré

➔- ➔

par le vecteur position: OM

=

rer

Le vecteur.vitesse,en coordonnées sphériques:

➔ dOM)

^d

➔)

^•

➔

^•

➔

^{• -+}

V(M/R)=-- =-(rer =rer+r9e₈+r<psin(8)eop

dt dt R

R

Le vecteur accélération en coordonnées sphériques:

➔

r(M) = dV . dt

➔ ➔ ➔

•• • 2 • l

r, =

r-r0 -rcp SÎn²8

r

6 =2r0+r9-r<p sin0cos0

:: ^"

;,•·

=

rr er+re es+rcp ec:p

rcp

=

2rcpsin0+rq,sin0+2r<p9cos6

24

4- P.tuâe âe

(a

nature ti; ^mouvement

4-1 (J)éji.nitions .

1 '1 ' , .

\\➔

^{•11 .}

V➔ ➔

^{0 dv 0}

- ,e mouvement est acce ere s1 V cr01t <=> •

r

^{> ~ v}

dt

^>

(C)

^➔

ï(M) Mouvement accéléré

1!

^{➔ 11 ➔ -• dv}

- Le mouvement est retardé si V I

décroît~ V•

r

^{< 0} ~ v

dt

^{< 0.}

~VfM)

-

➔

r,.(M)

➔

r(M)

Mouvement refaroe

Le mouvement est uniforme quand v : : ·

=

^{0 (}

ij~

^t

^{Il =}

⁰⁾

^~ l~l

^est

constant:

!\vil

^{=~ este}

~ V• r

^{= 0 ~t ~·}

V

^_1_

r

➔

V

➔ --+

r(M)

= r

0{M)

Mouvementunfforme

4-2 !Notion

âe

l'¾otfograpfie tfu mouvement

L 'hodographe du mouvement est le lieu des positions des extrémités du vecteur

--+ ➔

vitesse: c'est la trajectoire formée par les points P vérifiant: 0₁P

=

V(M / R), 0 ₁ étant un point quelconque. La courbe obtenue en considérant l'ensemble des positions de H constitue l'hodographe du mouvement.

V

(H)

•➔ r(M)

r(M)

5- ~empfe ae ^mowement particuliers

'Voir cours

26

:..

6-

fF.tuaes ies mouvements refutijs

.. Position du problème:

• ➔,,_;

Soient deux référentiels R et R' en mouvement quelconque l'un par rapport à l'autre. Connaissant le mouvement d'un point matériel M par rapport à R' et de R' par rapport à R on peut définir le mouvement de M par rapport à R.

• M

➔

\✓

,,,. .

'f-_.

o, .

-'': ^'\

j Jt_-

.

...

k

^.

,J

➔

j

La connaissance de ce mouvement nécessite la connaissance des trois éléments cinématiques: le vecteur position, le vecteur vitesse et le vecteur accélération.

Définitions

➔ ➔- ➔

- Le repère R(O, i, j, k) est considéré comme absolu., appelé aussi fixe ou galiléen.

➔ -➔ ➔

Le repère R · (0', i , j, k) est considéré comme relatif, · appelé aussi mobile.

1- Le mouvement absolu est le mouvement de M / R (trajectoire absolue, vitesse absolue, accélération absolue):

v

a ^(M)

⁼

^V(M/R)

⁼

^{d 0}dt ^_

M]

R

2- Le mouvement relatif est le mouvement de M / R' (trajectoire relative, vitesse

relative, accélération relative): . . - .

v,<Ml = v(M1R') = d~~J f<M)=r(M1R·)= d'd~~J

~ ~

- -- - - -- - - -- ·-- - - - -

3- Le mouvement d'entraînement de M à l'instant t est le mouvement d'un point P lié au repère , avec lequel M coïncide à l'instant t (trajectoire

:r· d'entraînement, vitesse d'entraînement, accélération d'entraînement): ·

➔ ➔ ➔ ➔

Ve(M)

=

^{V(M e R' /R)} f,(M) = ï(M e R⁰ /R)

6-1 Le wcteur 'Vitesse tfe rotation instantanée Définition:

➔➔➔ ➔➔➔

Soient deux référentiels R(O, i, j,k) et R'(O', i',j',k') en mouvement quelconque l'un par rapport à l'autre. Le vecteur vitesse de rotation instantanée de R' par

➔

rapport à Rest le vecteur O(R' / R) qui vérifie les équations vectorielles suivantes :

d;J ~ ~ ^d{J ~ ~ ^dk·J. ~ ^k--+'

- =;i.,1;/\l - = u A J - -. =;i.,1;/\,

dt dt dt

.R R R

Définition:

➔

Les dérivées d'un vecteur U par rapport au temps relativement à R' et à R sont liées par la relation suivante:

_{- · = -}

^dU

➔] ➔]

^dU

₊

Q(R /R)AU ^{➔ , ➔}

dt dt

R R'

-Remarques:

➔

1- Justification de la nomination de Q vecteur vitesse de rotation de R' par rapport à R:

➔

^]

. . .. ' ' ' . d'0°A ➔ Soit A un pomt be a R c'est-a-dire - -

=

0 ;

dt -R'

• A

➔

0, V

<:>~JI -~

1 •

i .

. '

' .. .

k

Q,_;...-_ _

..

➔

➔

i J

'"" 28

➔ ➔ ➔

On a OA

=

oo·+o·A, alors

dOA] ⁼ düü' J

⁺

dO;AJ ⁼

V(O / R ) + - -^{-► • do'A}

➔ J +

O(R /R)AOA ^{➔ , ;}

dt dt dt dt

R R R ^R'

Pour un point lié à R on a la formule suivante:

➔ ➔ ➔ ➔

V:(A/R)= V(0° /R)+ O(R⁰ /R) Aü'A

Le mouvement quelconque de R' / R se décompose d'un mouvement de translation et d'un mouvement de rotation.

2· Mounment de translation de R · par rapport à R

Définition:

•A!. ^{~ l}

~~

. . k" ➔ ,' ~

i ^{' j . ._}

_, j

➔ ' ➔

R' est en mouvement de translation par rapport à R s1 O(R' / R)

=

0. Alors

-► ➔

O(R' / R) ,t. 0 caractérise la rotation.

J. R' en rotation autour d'un axe de R . (par exemple Oz):

➔ ➔ ➔ ➔

On considère que R · en rotation par rapport R autour de l'axe Oz ( k ·

=

^{k ) . i' et j'}

sont des vecteurs tournants :

d(] ^➔

^{; •}

^➔

^•

^➔

^;

-_{dt ·} =Otd

=

_· ^{0j' =0ktd}_· ^, _-··

R

d{] ^{➔ ➔}

^•

^➔

^•

^{➔ ➔}

- =

^0.A

f =

-0{ = 9kAf, dt · · · ·

R

dk] =ÙAk=O=kAêk

dt

R